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    专题26.2 反比例函数(二)(知识解读)-最新九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》(人教版)

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    专题26.2 反比例函数(二)(知识解读)-最新九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》(人教版)

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    这是一份专题26.2 反比例函数(二)(知识解读)-最新九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》(人教版),共23页。
     专题26.2 反比例(知识解读)
    【直击考点】

    【学习目标】
    1. 能根据解析式画出反比例函数的图象,
    2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式,进一步理解反比例函数的图象和性质.
    3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题.

    【知识点梳理】
    考点1 反比例函数系数k的几何意义
    K的几何意义
    在反比例函数上任取一点P(x,y),过这个点分别作x轴,y轴的垂线PM、PN,于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k
    基本图形面积


    基本图形面积











    考点2 反比例函数解析式的确定
    待定系数法
    1. 设所求反比例函数解析式为:

    2. 找出反比例函数图像上一点P(a,b),并将其代入解析式得k=ab;

    3. 确定反比例函数解析式
    利用k得几何意义
    题中已知面积时,考虑利用k得几何意义,由面积得,再综合图像所在象限判段k得正负,从而得出k的值,代入解析式即可

    考点3 反比例与一次函数的综合
    方法1:分类讨论的符号;
    方法2:四个图逐个分析判断;
    方法3:运用特殊点(值)去排除(此种方法作参考,不能完全排三选一)

    【典例分析】
    【考点1 反比例函数系数k的几何意义】
    【典例1】(2022•梁溪区校级二模)已知反比例函数的图象如图所示,若矩形OABC的面积为3,则k的值是(  )

    A.3 B.﹣3 C.6 D.﹣6
    【变式1-1】(2021秋•海州区期末)已知点P在双曲线y=第一象限图象上,PA⊥x轴于点A,则△OPA的面积为(  )
    A.2 B.3 C.4 D.6

    【变式1-2】(2021秋•牡丹区期末)如图,点A在双曲线上,AB⊥x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=2,则k的值为(  )

    A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
    【变式1-3】(2021秋•霸州市期末)反比例函数的图象如图所示,则△ABC的面积为(  )

    A. B. C.3 D.6
    【典例2】(2021秋•砚山县期末)如图,两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2,设点P在C1上,PA⊥x轴于点A,交C2于点B,则△POB的面积为(  )

    A.1 B.2 C.4 D.无法计算
    【变式2-1】(2021秋•莲池区期末)双曲线与在第一象限内的图象如图所示,作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为(  )

    A.1 B.2 C.3 D.4
    【变式2-2】(2012•庆元县模拟)如图,过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线,分别与反比例函数y1=和y2=的图象交于点A和点B.若点C是y轴上任意一点,连接AC、BC,则△ABC的面积为(  )

    A.1 B.2 C.3 D.4
    【典例3】(2020秋•商河县校级期末)如图,在平面直角坐标系中,过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线,分别交函数y=(x>0)、y=﹣(x>0)的图象于点A、点B.若C是y轴上任意一点,则△ABC的面积为(  )

    A.9 B.6 C. D.3
    【变式3-1】(2021•贵池区二模)如图,直线x=t(t>0)与反比例函数y=(x>0)、y=(x>0)的图象分别交于B、C两点,A为y轴上任意一点,△ABC的面积为3,则k的值为(  )

    A.2 B.3 C.4 D.5
    【变式3-2】(2012•深圳模拟)如图,A、B是函数y=的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴,AC∥y轴,△ABC的面积记为S,则S=  .

    【考点2 反比例解析式的确定】
    【典例4】(2022•仙居县校级开学)已知y与x成反比例,且其函数图象经过点(﹣3,﹣1).
    (1)求y与x的函数关系式;
    (2)求当y=﹣4时,x的值.







    【变式4-1】(2022•富阳区二模)已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(2,3).
    (1)求这个反比例函数的表达式:
    (2)判断点B(﹣1,6)是否在这个函数图象上,并说明你的理由;
    (3)点C(x1,y1),D(x2,y2)是图象上的两点,若x1<x2,比较y1和y2的大小,并说明你的理由.




    【变式4-2】(2022春•衡阳期中)已知y是x的反比例函数,且函数图象过点A(﹣3,8).
    (1)求y与x的函数关系式;
    (2)当x取何值时,y=.






    【变式4-3】(2021秋•泸西县期末)已知y+1与x成反比例函数关系,且x=4时,y=2.
    (1)求y与x之间的函数关系式;
    (2)当x=﹣2时,求y的值.








    【考点3 反比例与一次函数的综合】
    【典例5】反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是(  )
    A. B.
    C. D.
    【变式5-1】在同一平面直角坐标系中,函数y=x和y=﹣的图象大致是(  )
    A. B. C. D.
    【变变式5-2】在同一平面直角坐标系中反比例函数y=与一次函数y=x+3的图象大致是(  )
    A. B.
    C. D.

    【变式5-3】函数y=x﹣a与y=(a≠0)在同一坐标系内的图象可以是(  )
    A. B.
    C. D.
    【典例6】(2022•大足区模拟)如图,一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数(k2≠0)的图象交于点A(﹣1,3),B(n,﹣1),与x轴交于点C.
    (1)求反比例函数和一次函数的解析式;
    (2)点P在x轴上,且满足S△APB=8,求点P的坐标.

    【变式6-1】(2022•咸丰县模拟)如图,平面直角坐标系xOy中,函数的图象上A、B两点的坐标分别为A(n,n+1),B(n﹣5,﹣2n).
    (1)求反比例函数和直线AB的解析式;
    (2)连接AO、BO,求△AOB的面积.

    【变式6-2】(2021秋•金水区校级期末)在平面直角坐标系中,四边形AOBC为矩形,且点C坐标为(8,6),M为BC中点,反比例函数y=(k是常数,k≠0)的图象经过点M,交AC于点N,连接OM、ON.
    (1)求反比例函数表达式.
    (2)求△MON的面积.















    专题26.2 反比例(知识解读)
    【直击考点】

    【学习目标】
    2. 能根据解析式画出反比例函数的图象,
    2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式,进一步理解反比例函数的图象和性质.
    3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题.

    【知识点梳理】
    考点1 反比例函数系数k的几何意义
    K的几何意义
    在反比例函数上任取一点P(x,y),过这个点分别作x轴,y轴的垂线PM、PN,于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k
    基本图形面积


    基本图形面积











    考点2 反比例函数解析式的确定
    待定系数法
    4. 设所求反比例函数解析式为:

    5. 找出反比例函数图像上一点P(a,b),并将其代入解析式得k=ab;

    6. 确定反比例函数解析式
    利用k得几何意义
    题中已知面积时,考虑利用k得几何意义,由面积得,再综合图像所在象限判段k得正负,从而得出k的值,代入解析式即可

    考点3 反比例与一次函数的综合
    方法1:分类讨论的符号;
    方法2:四个图逐个分析判断;
    方法3:运用特殊点(值)去排除(此种方法作参考,不能完全排三选一)

    【典例分析】
    【考点1 反比例函数系数k的几何意义】
    【典例1】(2022•梁溪区校级二模)已知反比例函数的图象如图所示,若矩形OABC的面积为3,则k的值是(  )

    A.3 B.﹣3 C.6 D.﹣6
    【答案】B
    【解答】解:∵矩形OABC的面积为3,
    ∴|k|=3,
    根据图象可知,k<0,
    ∴k=﹣3,
    故选:B.
    【变式1-1】(2021秋•海州区期末)已知点P在双曲线y=第一象限图象上,PA⊥x轴于点A,则△OPA的面积为(  )
    A.2 B.3 C.4 D.6
    【答案】B
    【解答】解:∵PA⊥x轴于点A,
    ∴S△OPA=|k|=×6=3.
    故选:B.
    【变式1-2】(2021秋•牡丹区期末)如图,点A在双曲线上,AB⊥x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=2,则k的值为(  )

    A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
    【答案】D
    【解答】解:∴S△AOB=2,
    ∴|k|=4,
    ∵函数在二、四象限,
    ∴k=﹣4.
    故选:D.
    【变式1-3】(2021秋•霸州市期末)反比例函数的图象如图所示,则△ABC的面积为(  )

    A. B. C.3 D.6
    【答案】B
    【解答】解:连接OA,
    由反比例函数系数k的几何意义得S△AOB=|k|==,
    又∵AB⊥x轴,
    ∴S△ABC=S△AOB=,
    故选:B.

    【典例2】(2021秋•砚山县期末)如图,两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2,设点P在C1上,PA⊥x轴于点A,交C2于点B,则△POB的面积为(  )

    A.1 B.2 C.4 D.无法计算
    【答案】A
    【解答】解:∵PA⊥x轴于点A,交C2于点B,
    ∴S△POA=×4=2,S△BOA=×2=1,
    ∴S△POB=2﹣1=1.
    故选:A.
    【变式2-1】(2021秋•莲池区期末)双曲线与在第一象限内的图象如图所示,作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为(  )

    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】A
    【解答】解:设直线AB与x轴交于点C.
    ∵AB∥y轴,
    ∴AC⊥x轴,BC⊥x轴.
    ∵点A在双曲线y=的图象上,∴△AOC的面积=×5=.
    点B在双曲线y=的图象上,∴△COB的面积=×3=.
    ∴△AOB的面积=△AOC的面积﹣△COB的面积=﹣=1.
    故选:A.

    【变式2-2】(2012•庆元县模拟)如图,过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线,分别与反比例函数y1=和y2=的图象交于点A和点B.若点C是y轴上任意一点,连接AC、BC,则△ABC的面积为(  )

    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】A
    【解答】解:设线段OP=x,则PB=,AP=,
    ∴S四边形ACOP=(OC+AP)×OP=OC+1;SBCOP=(OC+BP)×OP=OC+2,
    ∴S△ABC=S四边形BCOP﹣S四边形ACOP=1.
    故选:A.
    【典例3】(2020秋•商河县校级期末)如图,在平面直角坐标系中,过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线,分别交函数y=(x>0)、y=﹣(x>0)的图象于点A、点B.若C是y轴上任意一点,则△ABC的面积为(  )

    A.9 B.6 C. D.3
    【答案】C
    【解答】解:连接OA、OB,
    ∵C是y轴上任意一点,
    ∴S△AOB=S△ABC,
    ∵S△AOP=×3=,S△BOP=×|﹣6|=3,
    ∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=+3=,
    ∴S△ABC=,
    故选:C.

    【变式3-1】(2021•贵池区二模)如图,直线x=t(t>0)与反比例函数y=(x>0)、y=(x>0)的图象分别交于B、C两点,A为y轴上任意一点,△ABC的面积为3,则k的值为(  )

    A.2 B.3 C.4 D.5
    【答案】D
    【解答】解:由题意得,点C的坐标(t,﹣),
    点B的坐标(t,),
    BC=+,
    则(+)×t=3,
    解得k=5,
    故选:D.
    【变式3-2】(2012•深圳模拟)如图,A、B是函数y=的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴,AC∥y轴,△ABC的面积记为S,则S=  .

    【答案】4
    【解答】解:如图,连接OC,设AC与x轴交于点D,BC与y轴交于点E.
    ∵A、B两点关于原点对称,BC∥x轴,AC∥y轴,
    ∴AC⊥x轴,AD=CD,OA=OB,
    ∴S△COD=S△AOD=×2=1,
    ∴S△AOC=2,
    ∴S△BOC=S△AOC=2,
    ∴S△ABC=S△BOC+S△AOC=4.
    故答案为:4.

    【考点2 反比例解析式的确定】
    【典例4】(2022•仙居县校级开学)已知y与x成反比例,且其函数图象经过点(﹣3,﹣1).
    (1)求y与x的函数关系式;
    (2)求当y=﹣4时,x的值.
    【解答】解:(1)设y与x的函数关系式为y=,
    又图象经过点(﹣3,﹣1),则k=﹣1×(﹣3)=3,
    y与x的函数关系式为y=.
    故答案为:y=;
    (2)将y=﹣4代入y=,得到x=﹣,
    ∴当y=﹣4时,x=﹣.
    【变式4-1】(2022•富阳区二模)已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(2,3).
    (1)求这个反比例函数的表达式:
    (2)判断点B(﹣1,6)是否在这个函数图象上,并说明你的理由;
    (3)点C(x1,y1),D(x2,y2)是图象上的两点,若x1<x2,比较y1和y2的大小,并说明你的理由.
    【解答】解:(1)∵反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(2,3),
    ∴k=2×3=6,
    ∴这个函数的解析式为y=;

    (2)把B(﹣1,6)代入y=﹣2x,则6≠,
    故点B不在这个函数图象上;

    (3)∵k=6>0,
    ∴反比例函数y=(k≠0)的图象在一、三象限,且在每个象限y随x的增大而减小,
    ∴当两点在同一象限时,y1>y2;
    当两点在不同象限时,y1<y2.
    【变式4-2】(2022春•衡阳期中)已知y是x的反比例函数,且函数图象过点A(﹣3,8).
    (1)求y与x的函数关系式;
    (2)当x取何值时,y=.
    【解答】解:(1)设反比例函数的关系式为y=,
    ∵反比例函数的图象过点A(﹣3,8).
    ∴k=﹣3×8=﹣24,
    ∴反比例函数的关系式为y=﹣;
    (2)当y=时,即﹣=,
    解得x=﹣36.
    【变式4-3】(2021秋•泸西县期末)已知y+1与x成反比例函数关系,且x=4时,y=2.
    (1)求y与x之间的函数关系式;
    (2)当x=﹣2时,求y的值.
    【解答】解:(1)设y+1=,
    把x=4,y=2代入得:k=12,
    则y+1=,即y=﹣1;
    (2)把x=﹣2代入得:y=﹣6﹣1=﹣7.
    【考点3 反比例与一次函数的综合】
    【典例5】反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是(  )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解答】解:A、一次函数y=ax+b的图象经过第一、三象限,则a>0,与y轴交于负半轴,则b<0,所以ab<0,则反比例y=经过第二、四象限,不符合题意;
    B、一次函数y=ax+b的图象经过第二、四象限,则a<0,与y轴交于负半轴,则b<0,所以ab>0,则反比例y=经过第一、三象限,不符合题意;
    C、一次函数y=ax+b的图象经过第二、四象限,则a<0,与y轴交于正半轴,则b>0,所以ab<0,则反比例y=经过第二、四象限,不符合题意;
    D、一次函数y=ax+b的图象经过第一、三象限,则a>0,与y轴交于负半轴,则b<0,所以ab<0,则反比例y=经过第二、四象限,符合题意;
    故选:D.
    【变式5-1】在同一平面直角坐标系中,函数y=x和y=﹣的图象大致是(  )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解答】解:∵y=x中的1>0,
    ∴直线y=1x经过第一、三象限.
    ∵y=﹣中的﹣2<0,
    ∴双曲线y=﹣经过第二、四象限,
    综上所述,只有B选项符合题意.
    故选:B.
    【变变式5-2】在同一平面直角坐标系中反比例函数y=与一次函数y=x+3的图象大致是(  )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解答】解:∵反比例函数y=中,3>0,
    ∴反比例函数过第一、三象限,
    ∵y=x+3中,k=1>0,b=3>0,
    ∴一次函数过第一、二、三象限;
    故选:A.
    【变式5-3】函数y=x﹣a与y=(a≠0)在同一坐标系内的图象可以是(  )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解答】解:A、由函数y=x﹣a的图象可知a>0,由函数y=(a≠0)的图象可知a<0,相矛盾,故选项不可以;
    B、由函数y=x﹣a的图象可知a<0,由函数y=(a≠0)的图象可知a>0,相矛盾,故选项不可以;
    C、函数y=x﹣a的图象错误,故选项不可以;
    D、由函数y=x﹣a的图象可知a>0,由函数y=(a≠0)的图象可知a>0,一致,故故选项可以;
    故选:D.
    【典例6】(2022•大足区模拟)如图,一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数(k2≠0)的图象交于点A(﹣1,3),B(n,﹣1),与x轴交于点C.
    (1)求反比例函数和一次函数的解析式;
    (2)点P在x轴上,且满足S△APB=8,求点P的坐标.

    【解答】解:(1)将点A(﹣1,3)代入(k2≠0)中,
    得k2=﹣3,
    ∴反比例函数的解析式为.
    将点B(n,﹣1)代入中,
    得n=3,
    ∴点B的坐标为(3,﹣1),
    将A(﹣1,3),B(3,﹣1)代入y=k1x+b(k1≠0)中,
    得,
    解得,
    ∴一次函数的解析式为y=﹣x+2.
    (2)对于一次函数y=﹣x+2,令y=0,
    得x=2,
    ∴点C的坐标为(2,0).
    设点P坐标为(a,0),
    ∵S△APB=S△ACP+S△BCP=8,
    即|2﹣a|×3+|2﹣a|×1=8,
    ∴|a﹣2|=4,
    解得a=﹣2或a=6.
    ∴点P的坐标为(﹣2,0)或(6,0).
    【变式6-1】(2022•咸丰县模拟)如图,平面直角坐标系xOy中,函数的图象上A、B两点的坐标分别为A(n,n+1),B(n﹣5,﹣2n).
    (1)求反比例函数和直线AB的解析式;
    (2)连接AO、BO,求△AOB的面积.

    【解答】解:(1)∵A、B两点在的图象上,而A(n,n+1),B(n﹣5,﹣2n),
    ∴n(n+1)=(n﹣5)(﹣2n),即n2+n=﹣2n2+10n3n2﹣9n=0,
    解得n1=0,n2=3
    ∵的图象与坐标轴没有交点,
    ∴n1=0舍去,
    ∴n=3,
    ∴A(3,4),B(﹣2,﹣6),
    ∴k=3×4=12,
    设直线AB的解析式为:y=ax+b,
    则,
    解得:
    ∴直线AB的解析式为:y=2x﹣2,反比例函数解析式为:;
    (2)设直线AB交x轴于点D,则
    当y=0时,2x﹣2=0,
    ∴x=1,
    ∴D(1,0),

    ∴△AOB的面积为5.
    【变式6-2】(2021秋•金水区校级期末)在平面直角坐标系中,四边形AOBC为矩形,且点C坐标为(8,6),M为BC中点,反比例函数y=(k是常数,k≠0)的图象经过点M,交AC于点N,连接OM、ON.
    (1)求反比例函数表达式.
    (2)求△MON的面积.

    【解答】解:(1)由四边形AOBC为矩形,且点C坐标为(8,6),M为BC中点,得AC=OB=8,OA=BC=6,
    M(8,3),N点的纵坐标是6,
    ∴BM=3,
    将M点坐标代入函数解析式,得
    k=8×3=24,
    反比例函数的解析是为y=;
    (2)当y=6时,=6,
    解得x=4,
    ∴N(4,6),
    ∴AN=4,
    ∴NC=8﹣4=4,CM=6﹣3=3,
    ∴S△MON=S矩形AOBC﹣S△AON﹣S△BOM﹣S△MCN
    =AC•BC﹣OA•AN﹣OB•BM﹣NC•NM
    =6×8﹣×6×4﹣×8×3﹣×4×3
    =18,
    即△MON的面积为18.

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