湖北省武汉市武珞路中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版含解析）

这是一份湖北省武汉市武珞路中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版含解析），共31页。
2022—2023学年度九年级上学期期中测试
数学试卷
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑
1. 以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程的二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A. 和 B. 和 C. 3和 D. 3和8
3. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019
4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　）

A. 90° B. 75° C. 60° D. 45°
6. 如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B度数为（　　）

A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
7. 为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为万元，若设5月、6月每月的增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，是边上的中线，将线段绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
9. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图1，点在边上，点是上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图像，其中点是函数图像的最低点，则的值为（　　）

A. 24 B. 26 C. 28 D. 30
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卡指定的位置。
11 若点关于原点对称，则 __________
12. 某种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干又长出相同数目的小分支,若小分支、枝干和主干的总数是73,则每个枝干长出　　　　个小分支.
13. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线． 若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2，则小球飞出______s时，达到最大高度．

14. 如图，要设计一本书的封面，封面长，宽正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果使四周的边衬所占面积是封面面积的五分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上下边衬的宽度为___________，左右边村的宽度为___________

15. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在之间(包含端点)，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有___________

16. 人们把这个数叫做黄金分割数，如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数，如图，线段的长为2，C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，即，则ED的长为___________

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17. 解方程：
18. 已知二次函数解析式
（1）二次函数顶点坐标为___________
（2）当x___________时，y随x增大而增大；
（3）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线解析式
（4）根据图象，直接写出当时的y取值范围是___________
19. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，．
（1）求k的取值范围；
（2）若，满足，求实数k的值．
20. 如图，点都在上，且

（1）求证：四边形为菱形；
（2）求的度数
21. 如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上用无刻度的直尺作图；

（1）在图1中画出一条恰好平分△ABC周长的直线；
（2）在图2中AC上画出点P，使BP平分∠ABC；
（3）在图2中上画出点F（点F不与点C重合），使
22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨价1元，每月要少卖10件，售价每降价1元，每月要多卖30件，为了获得更大的利润，现将售价调整为（元/件）即售价上涨，即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围
（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润
（3）要使每月利润为6000元，销售价格为多少元？（直接写出答案）
23. 问题背景

如图1，在等边中，点是等边内一点，连结，将绕点逆时针旋转得到， 连结，则是___________三角形；
尝试应用 如图2，在等腰中，，点是内一点，连结，，求面积
拓展创新 如图3，在等腰中，，为平面内一点，且，则的值为___________

24.已知关于的一元二次方程
（1）求证：当取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根。
（2）若，（）是此方程的两根，并且。直线交轴于点A，交轴于点B，坐标原点O关于直线的对称点’在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式。
（3）在（2）的成立的条件下，将直线绕点A逆时针旋转角（），得到直线’， ’交轴于点P，过点P作轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形’的面积为时，求角的值。











数学试卷 答案解析
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑
1. 以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，根据这一特征即可得到答案．
【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键是熟悉中心对称图形的定义．
2. 方程的二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A. 和 B. 和 C. 3和 D. 3和8
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的概念即可求解．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：方程的二次项系数和一次项系数分别为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019
【答案】A
【解析】
【分析】把代入方程求出，把化成，再整体代入求出即可．
【详解】∵把代入方程得：，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，采用了整体代入的方法．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用配方法进行配方即可．
【详解】解：


故选：D．
【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等．
5. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　）

A 90° B. 75° C. 60° D. 45°
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转角的定义可得旋转角为∠BOD，结合图形即可求得旋转的角度．
【详解】解：由题意可知，旋转角为∠BOD，
由图可知，∠BOD=90°，即旋转的角度为90°，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转角，根据题意正确找到旋转角是解答的关键．
6. 如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
【答案】D
【解析】
【详解】解：如图，

连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故选D．
7. 为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为万元，若设5月、6月每月的增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元”，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
200（1+x）2＝500，
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题．
8. 如图，是的边上的中线，将线段绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接利用性质的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求解 再证明： 再利用勾股定理求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接
由题意得：









故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
9. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案；
【详解】∵，
∴图象开口向上，对称轴是直线，
∴x＜3时，y随x的增大而减小，
∵关于直线的对称点是，
又∵，
∴；
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．
10. 如图1，点在边上，点是上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图像，其中点是函数图像的最低点，则的值为（　　）

A. 24 B. 26 C. 28 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，取中点，取中点，连接，，由图2可知，当时，，此时与重合，为的中点，即为的中点，分别为的中点，同理可证是的中位线，过点作于，连接并延长交于，由图2可知，点与点重合时，取得最大值,最大值即的长．
【详解】解：如图，

取中点，取中点，连接，，
由图2可知，当时，，
∴当时，，即当与重合时，，
∵此时与重合，为的中点，即为的中点，
∴，
同理当与重合时，即时，，
∵分别为的中点，
∴为的中位线，
∴，
同理可证是的中位线，
∴，
∴点在上，
∴当时，的值最小，即此时的值最小，
过点作于，连接并延长交于，由图2可知，
∴，，
∴，
∴，
∴点与点重合时，取得最大值，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，动点的函数图象，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理等等，正确读懂函数图象作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卡指定的位置。
11. 若点关于原点对称，则 __________
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数即可求解．
【详解】解：∵点关于原点对称，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了原点对称的两个点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
12. 某种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干又长出相同数目的小分支,若小分支、枝干和主干的总数是73,则每个枝干长出　　　　个小分支.
【答案】8
【解析】
【分析】设主干长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，得方程1+x+x 2=73，整理求解即可．
【详解】设每个枝干长出x个小分支，
由题意得1+x+x2=73，
∴（x+9）（x-8）=0，
解得x 1=8，x 2=-9（舍去）
答：每个支干长出8个小分支．
故答案为8.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，本题设长出x个支干，根据乘方的意义，把小分枝用x2表示是问题的关键．然后再根据题意找出等量关系列出方程.
13. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线． 若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2，则小球飞出______s时，达到最大高度．

【答案】2
【解析】
【分析】根据函数关系式，求出抛物线的对称轴即可解决．
【详解】解：h=-5t2+20t，
a=-5，b=20，
∴t=-，
则小球在2s时，达到最大高度．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
14. 如图，要设计一本书的封面，封面长，宽正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果使四周的边衬所占面积是封面面积的五分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上下边衬的宽度为___________，左右边村的宽度为___________

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由条件知道中间矩形的长宽比是，设中间的矩形的长为，宽为．根据封面的面积关系建立方程求出其解即可．
【详解】解：∵封面长，宽，
∴封面的长宽比为．
设中间的矩形的长为，宽为，由题意得：
，
解得：，
∵不符合题意，舍去，
∴．
∴上下边衬为：．
左右边衬为：
故答案为：①，②
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，相似多边形的性质，一元二次方程的解法的运用，解答时根据矩形的面积公式建立方程是关键．
15. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在之间(包含端点)，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有___________

【答案】①③④
【解析】
【分析】①由抛物线的对称轴为直线x=1，当，利用图象可得，即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定的符号，由对称轴方程求得与的关系是，将其代入，并判定其符号；③利用一元二次方程根与系数的关系可得，然后根据的的取值范围利用不等式的性质来求的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到，利用的取值范围可以求得的取值范围．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴直线是，
当，
故①正确；
②观察图象得：抛物线开口方向向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，即，故②错误；
∵抛物线与轴交于点，
∴方程的两根为，
∴，即，
∵抛物线与y轴的交点在之间(包含端点)，
∴，
∴，即，故③正确；
∵，，
∴，
∵顶点坐标为，
∴当时，，
∵，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键．
16. 人们把这个数叫做黄金分割数，如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数，如图，线段的长为2，C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，即，则ED的长为___________

【答案】##
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义进行计算分别求得即可求解．
【详解】解：∵线段长为2，C为线段的黄金分割点，
∴
∴
∵D为线段的黄金分割点，
∴
∴
∵E为线段的黄金分割点，
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键掌握黄金分割数，．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17. 解方程：
【答案】.
【解析】
【分析】直接应用公式求解.
【详解】解：∵，
∴.
∴原方程的解为：.
【点睛】根据方程的特点选择解一元二次方程的方法可以简化计算．
18. 已知二次函数解析式
（1）二次函数的顶点坐标为___________
（2）当x___________时，y随x增大而增大；
（3）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线解析式
（4）根据图象，直接写出当时的y取值范围是___________
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）
【解析】
【分析】（1）化为顶点式即可求解；
（2）根据顶点式判断开口方向，对称轴，即可求解；
（3）根据二次函数的平移规律，左加右减，上加下减即可求解；
（4）根据抛物线的开口方向以及对称轴，分别求得最大值与最小值即可求解．
【小问1详解】
解：，
∴二次函数的顶点坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
∵，
∴，开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大；
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵，先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴，
故答案为：或；
【小问4详解】
由，，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，最小值为，
∵，
∴时取得最大值，最大值为，
∴当时，，
故答案：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
19. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，．
（1）求k的取值范围；
（2）若，满足，求实数k的值．
【答案】（1） （2）2
【解析】
【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系找出，，结合即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值，结合（1）的结论即可得出k的值．
【小问1详解】
解：关于的方程有两个实数根和．
△，
．
【小问2详解】
解：，，，
∴
，即，
解得：或，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是根据方程解的情况结合根的判别式得出关于k的不等式．
20. 如图，点都在上，且

（1）求证：四边形为菱形；
（2）求的度数
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
（2）根据等边三角形的性质解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
【小问2详解】
解：连接，

∵四边形为菱形，
∴，
又，
∴
∴为等边三角形，
∴，
同理，
∴．
【点睛】本题考查的是圆周角定理和菱形的性质，掌握圆周角定理、菱形的性质定理是解题的关键．
21. 如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上用无刻度的直尺作图；

（1）在图1中画出一条恰好平分△ABC周长的直线；
（2）在图2中AC上画出点P，使BP平分∠ABC；
（3）在图2中上画出点F（点F不与点C重合），使
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据网格的特点取的中点，格点，作直线即为所求；
（2）取与网格线的交点，连接，则即为所求，根据垂径定理即可求解；
（3）取格点，连接，交于点，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，直线即为所求，

理由：勾股定理可得，
∴的周长为，
∵
为中点，,
∴；
即恰好是平分△ABC周长的直线，
【小问2详解】
如图所示，取的中点，设与网格线的交点为，连接，则即为所求，

理由：根据网格的特点可得，
∴，
∴，
∴平分，
【小问3详解】
如图所示，取格点，连接，交于点，即为所求，

理由：取格点，勾股定理可得，
则，且，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了无刻度作图，勾股定理与网格问题，相似三角形的性质与判定，垂径定理，综合运用以上知识是解题的关键．
22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨价1元，每月要少卖10件，售价每降价1元，每月要多卖30件，为了获得更大的利润，现将售价调整为（元/件）即售价上涨，即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围
（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润
（3）要使每月利润为6000元，销售价格为多少元？（直接写出答案）
【答案】（1）
（2）当售价降价5元，即售价为55元时，月利润最大，最大月利润为元
（3）销售价格控制为50元或70元才能使每月利润为6000元
【解析】
【分析】（1）直接根据题意，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖30件，进而得出等量关系，列出函数关系式；
（2）利用每件利润×销量=总利润列出w与x之间的函数关系式，进而利用配方法求出即可；
（3）根据二次函数的性质，得出符合题意的答案．
【小问1详解】
解：由题意得:涨价时：，
降价时：，
即．
【小问2详解】
解：由题意可得：，
化简得：，
即，
∵，
∴当售价降价5元，即售价为55元时，月利润最大，最大月利润为元；
【小问3详解】
解：令w=6000，
即，，
解得：．
∵，
∴当时，（元），（元），
故销售价格控制为50元或70元才能使每月利润为6000元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用自变量x的取值范围分情况得出函数解析式是解题的关键．
23. 问题背景

如图1，在等边中，点是等边内一点，连结，将绕点逆时针旋转得到， 连结，则是___________三角形；
尝试应用 如图2，在等腰中，，点是内一点，连结，，求面积
拓展创新 如图3，在等腰中，，为平面内一点，且，则的值为___________
【答案】（1）等边；（2）（3）或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；
（2）将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，连接，证明，在中，，设，，则，勾股定理求得，进而得出根据面积公式即可求解．
（3）分类讨论①将绕点旋转得到，得出，连接，延长交于点，进而得出设,则，得出，将绕点旋转如图，过点作于点，得出，②如图，将绕点旋转得到，求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形；
故答案为：等边；
（2）如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，连接，

∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是等腰直角三角形，
设,
∴
∴，
∴
∴
在中，，设，，则
,
,
∴,
又,
∴，
∴,
∴,
∴,
∴,
（3）如图，将绕点旋转得到，

∵，
∴，
连接，延长交于点
设,则，
∵
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,，
∴
在中，
∴，
将绕点旋转如图，过点作于点，

∴,，,
∴,
∴，
∴，
在中，，
∴，
如图，将绕点旋转得到

∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴
∴
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．


24.已知关于的一元二次方程
（1）求证：当取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根。
（2）若，（）是此方程的两根，并且。直线交轴于点A，交轴于点B，坐标原点O关于直线的对称点’在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式。
（3）在（2）的成立的条件下，将直线绕点A逆时针旋转角（），得到直线’， ’交轴于点P，过点P作轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形’的面积为时，求角的值。



24.（1）证明：