湖北省武汉市新洲区阳逻街2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题(解析版)

湖北省武汉市新洲区阳逻街2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    方程化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

2.    抛物线的顶点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列交通标志中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    在抛物线上的一个点是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    关于方程的根，下列说法正确的是(    )

A. 两实数根的和为 B. 两实数根的积为
C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根

6.    已知的半径为，点到直线的距离为，若直线与公共点的个数为个，则可取(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，五角星可以由四边形绕着旋转若干次后生成，若每次旋转角度和旋转方向都相同，则旋转角度的度数不可能是(    )
    

A.  B.  C.  D.

8.    如图，点是正方形中上的一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.    如图，的弦交直径于，，：：若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 四位同学研究二次函数的图象与性质时，甲发现当时，；乙发现函数的最大值是；丙发现是方程的一个根；丁发现函数图象关于直线对称．已知这四个同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 点关于原点的对称点的坐标为______．
12. 将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位后，所得抛物线的解析式为______．
13. 有一人患流感，经过两轮传染后共有人患了流感，则每轮传染中平均一人传染了______人．
14. 如图．在中，，将绕着点逆时针方向旋转得，其中、分别为与的中线，则______．

15. 下列关于二次函数的四个结论：当时，抛物线的顶点为；该函数的图象与轴总有两个不同的公共点；该函数的最小值的最大值为；点、在该函数图象上，若，，则；其中正确的是______．
16. 如图，中，，点为内一点，若，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 解方程：．

四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    如图，将绕点顺时针旋转得到，使得点落在线段上．若，求证：．

19. 本小题分
    已知抛物线．
    则该抛物线的对称轴为______；
    若该抛物线的顶点在轴上，且交于轴正半轴，求其解析式；
    在的条件下，若、、为该抛物线上三点，且总有，请直接写出与与的大小关系．
20. 本小题分
    如图，的顶点坐标分别为、、．
    画出与关于原点对称的，并写出点的坐标为______．
    是轴上一点，使的值最小，画出点保图痕迹，点坐标为______．
    是轴上的动点，将点绕点顺时针旋转至点，直线经过点，则的值为______．

21. 本小题分
    四边形是菱形，经过、、三点点在上．
    
    如图，若是的切线，求的大小．
    如图若，，与交于点，求的半径．
22. 本小题分
    某商品销售量件与售价元满足一次函数关系，部分对应值如下表：当售价为元时，每件商品能获得的利润．

求与的函数关系式；
售价为多少时利润最大？最大利润为多少？
由于原材料价格上涨，导致每件成本增加元，结果发现当售价为元和售价为元时，利润相同，求的值．

23. 本小题分
    如图，在和中，，，，点、分别是、的中点，连接、、．
    求证：；
    求的值；
    若四边形的面积为，周长为，则______．

24. 本小题分
    抛物线与轴交于、两点．与轴交于点、点在抛物线上．
    
    求抛物线的解析式．
    如图，连接、，点在对称轴左侧的抛物线上，若，求点的坐标．
    如图，过点的直线，点是直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标及四边形面积的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：化成一元二次方程一般形式是，
它的一次项系数是，常数项是．
故选：．
一元二次方程的一般形式是：是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线的顶点坐标为．
故选：．
根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点，同学们应熟练掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：此图形旋转后能与原图形重合，
此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.此图形旋转后不能与原图形重合，
此图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.此图形旋转后不能与原图形重合，
此图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.此图形旋转后不能与原图形重合，
此图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，进而判断得出答案．
本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，，因此不在抛物线上，
当时，，因此不在抛物线上，
当时，，因此不在抛物线上，
当时，，因此在抛物线上，
故选：．
把各个点的坐标代入验证即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
该方程有两个不相等的实数根．
设方程的两根分别为，，
则，．
故选：．
由方程的系数结合根的判别式可得出，进而可得出该方程有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可得出两根之和与两根之积，对照四个选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：直线与公共点的个数为个
直线与圆相交
半径
故选：．
根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设的半径为，圆心到直线的距离为直线和相交直线和相切，直线和相离．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：定点旋转中心；旋转方向；旋转角度．
分清基本图形，判断旋转中心，旋转次数，根据旋转一周为即可解答．
【解答】
解：根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是或的倍数．
不是的倍数，
旋转角度的度数不可能是，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，
绕点顺时针旋转到的位置，
≌，，，，，
，
即，解得或舍去，
在中，，
．
故选：．
设正方形的边长为，利用旋转的性质得到≌，，，，则，利用正方形的面积公式计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

设，，
，，
，
，
，
由勾股定理可知：，
在中，
由勾股定理可知：，
或舍去，
，
故选：．
过点作于点，根据垂径定理以及勾股定理即可求出答案．
本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于中等题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，则，解得；
函数的最大值是，故，故且；
是方程的一个根，则，即；
图象关于直线对称，则，即．
假设当甲不对时，联立和并解得，，
当，时，，故成立，
故假设成立；
故选：．
分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立；
本题考查一元二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为．
故答案为：．
根据关于原点的对称点的横纵坐标都互为相反数解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点的横纵坐标都互为相反数”是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位后，所得抛物线的解析式为：，
故答案为：．
根据平移规律：上加下减，左加右减写出解析式即可．
本题考查二次函数图象与坐标变换，记住上加下减，左加右减这个规律，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：设每轮传染中平均每个人传染了人，
依题意得，
或不合题意，舍去．
所以，每轮传染中平均一个人传染了个人，
故答案为：．
设每轮传染中平均每个人传染了人，那么第一轮有人患了流感，第二轮有人被传染，然后根据共有人患了流感即可列出方程解题．
此题考查了一元二次方程的应用，与实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
由旋转的性质得：≌，
，，，，
、分别为与的中线，
，，
，
≌，
，
，，
在上，
，
故答案为：．
由等腰三角形的性质和旋转的性质得，，，，再证≌，得，然后证在上，即可得出答案．
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：将代入二次函数解析式得，，
抛物线的顶点为，故正确；
，
该函数的图象与轴总有两个不同的公共点，故正确；
，
二次函数的最小值为：，
该函数的最小值的最大值为，故错误；
点、在该函数图象上，若，，
当时，随的增大而增大，此时；
当时，，整理得，故正确；
故答案为：．
将代入二次函数解析式，并化为顶点式即可；根据可以判断；先求出二次函数的最小值，再利用二次函数的性质求出其最大值；需要分情况讨论，再进行判断．
本题主要考查了二次函数的性质，是一道比较基础的题目，利用二次函数的性质解答是解题的关键
 

16.【答案】 

【解析】解：把绕点逆时针旋转得到，作于，
则，，，
，
，，
，
，
在中，，
则的最小值为，
故答案为：．
把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理和配方法计算可得出答案．
本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及配方法的应用，掌握旋转变换的性质，含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：，，；
；
，
，． 

【解析】本题主要考查了解一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．此法适用于任何一元二次方程．
公式法的步骤：化方程为一般形式；找出，，；求；代入公式．
 

18.【答案】证明：，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
． 

【解析】由等腰三角形的性质得出，由旋转的性质得出，，证出，则可得出结论．
本题考查性质的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：；
当时，，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点在轴上，且交于轴正半轴，
且，
解得：或舍去，
该抛物线的解析式为；
，
点是抛物线上的最低点，即最小，在对称轴左侧随增大而减小，在对称轴右侧随增大而增大，
当时，点、均在对称轴的左侧，且，
，
；
当时，，，
，抛物线的对称轴为直线，
点的对称点为，
，
，
；
当时，，
；
综上所述，当且时，；当时，．
利用即可求得抛物线对称轴；
先求得抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点坐标为，由题意可得且，解方程即可得出答案；
由于抛物线对称轴为，开口向上，点为最低点，即最小，再根据二次函数的性质分类讨论即可．
本题考查了二次函数图象和性质，抛物线的顶点、对称轴等，掌握二次函数的性质，运用分类讨论思想是解题关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：如图所示，；

故答案为；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小；
、，
直线解析式为，
当时，，
；
故答案为：；
作轴于，轴于．
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
点在直线上，
，
，
故答案为．
分别作出，，的对应点，，即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小；
构造全等三角形求出等坐标，利用待定系数法即可解问题．
本题考查作图旋转变换，一次函数图象上的点的特征，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

21.【答案】解：连接，，如图，

是的切线，
．
．
四边形是菱形，
．
，
，
．
，
．
．
．
，
．
．
四边形是菱形，
．
连接，，与交于点，如图，

四边形是菱形，
，，．
在中，
．
设，则，
．
在中，
，
，
解得：．
的半径为． 

【解析】连接，利用切线的性质定理可得，利用菱形的性质，圆周角定理和三角形的内角和定理通过计算求得的度数，由菱形的对角相等可得结论；
连接，，与交于点，利用菱形的对角线互相垂直平分可得，利用勾股定理可求的长，设，则，，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了菱形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，勾股定理，垂径定理，连接过切点的半径是解题的关键．
 

22.【答案】解：设，
将，代入，
得：，
解得：，
；
由售价为元时，每件商品能获得的利润知进价为元件，设利润为，
则
整理得
故当售价元时，得最大利润元
依题意得，
整理得，
解得 

【解析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出销售量件与售价元之间的函数关系式；然后根据销售利润销售量售价进价，列出平均每天的销售利润元与销售价元之间的函数关系式，再依据函数的顶点求得最大利润．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值．
 

23.【答案】 

【解析】证明：，，，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，连接，，

和都是等腰直角三角形，且点、分别是、的中点，
，，，
，，
，
，，
，
∽，
；
解：，
，
由≌可知：，
，
，

，
≌，
，
，
，
同理得，
设，，
，
将代入中得：
，
解得，，
，
，
．
故答案为：．
根据已知条件可得和都是等腰直角三角形，然后证明≌，即可解决问题；
连接，，根据和都是等腰直角三角形，且点、分别是、的中点，可得，，，所以，，，然后由∽，即可解决问题；
根据四边形的面积为，周长为，，可得，，然后由，，设，，列出方程组，求出和的值，即可解决问题．
本题属于相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形中位线定理，三角形面积和周长，二元一次方程组，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

24.【答案】解：将于、代入，
，
解得，
；
将点代入，
，
或，
，
令，则，
解得或，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
直线与直线平行，
过点与直线垂直的直线与平行，
设过点与直线垂直的直线解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得，
，
设点关于直线的对称点为，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得或，
；
过点作交于点，过点作轴于点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
当时，有最大值，此时的值也是最大的，
此时，
，
，
四边形面积的最大值为． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
求出点坐标，直线的解析式，由平行的性质可知过点与直线垂直的直线与平行，从而求出过点与直线垂直的直线解析式为，再联立方程组，求出点，设点关于直线的对称点为，再求出直线的解析式为，联立方程组，即可求；
过点作交于点，过点作轴于点，根据，，，求出，设，则，则，当时，有最大值，此时的值也是最大的，此时，由等积法，求得，即可得到四边形面积的最大值为．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，直角三角形的性质，等积法求高，轴对称的性质是解题的关键．