山西省临汾市襄汾县2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年山西省临汾市襄汾县九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，、分别为线段、的中点，设的面积为，的面积为，则(    )
    

A.  B.  C.  D.

3. 如图，是的高．若，，则边的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 小区新增了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶离地面的高度为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，则点的对应点的坐标是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

8. 如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算的结果等于______．
12. 已知与相似，且相似比为：，则与的面积比为______．
13. 已知，则的值为______．
14. 已知，是关于的方程的两根，且满足，则的值为______．
15. 中国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时，用个全等的直角三角形拼成正方形如图，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的一个锐角，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：
    ；
     
17. 本小题分
    用适当的方法解一元二次方程．
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中，
    画出向上平移个单位，再向右平移个单位后的；
    以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出；
    直接写出的面积，及，的坐标．

19. 本小题分
    用一条长厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为厘米．
    若矩形的面积为平方厘米，求的值；
    矩形的面积是否可以为平方厘米？如果能，请求的值；如果不能，请说明理由．
20. 本小题分
    如图，▱中，：：，交于，
    求与周长之比；
    如果的面积为，求四边形的面积．

21. 本小题分
    周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．
    参考数据：，，

22. 本小题分
    定义：关于的一元二次方程其中，，是常数，且是关于的一元二次方程其中，，是常数，且的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
    【概念感知】
    的“友好”方程是______；
    【问题探究】
    若关于的一元二次方程其中，，是常数，且的一个解为，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
    【拓展提升】
    关于的一元二次方程其中，，是常数，且的解为，，且，也是其“友好”方程的解，求，之间的数量关系．
23. 本小题分
    【基础巩固】
    如图，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：．
    【尝试应用】
    如图，在的条件下，连结，若，，，求的值．
    【拓展提高】
    如图，在▱中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点若，平分，，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用二次根式的性质分别判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简以及立方根，正确掌握相关性质是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，、分别为线段、的中点，
为的中位线，
，，
∽，
，
，
即，
故选：．
根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
本题主要考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些性质和定理是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：．
利用三角函数求出，在中，利用勾股定理可得的长．
本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设该快递店揽件日平均增长率为，
根据题意，可列方程：，
故选：．
设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，

它是一个轴对称图形，
，
，
，
在中，
，
．
房顶离地面的高度，
故选：．
过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，用即可表示出房顶离地面的高度．
本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得的长是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
，
，解得，
故选：．
把常数项移项后，在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方得，可得，解方程即可得的值．
此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
 

7.【答案】 

【解析】解：原点为位似中心，将放大为原来的倍，点的坐标为，
点的对应点的坐标为或，即或，
故选：．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
由折叠的性质可得，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
故选：．
利用矩形和折叠的性质可得，设，则，，在中利用勾股定理列方程，即可求出的值，进而可得．
本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、折叠的性质、勾股定理等，解题关键是利用矩形和折叠的性质得到．
 

9.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程无实数解，
，
解得：，
故选：．
根据一元二次方程判别式得到，然后求出不等式的解集即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

10.【答案】 

【解析】解：为的黄金分割点，的长度为，


，


，
故选：．
先利用黄金分割的定义求出，再计算即可得到的长度．
本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
 

12.【答案】： 

【解析】解：与相似，且相似比为：，
与的面积比为：：．
故答案为：：．
直接利用相似三角形的性质得出面积比等于相似比的平方，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知：且，
，

，
原式


．
根据二次根式有意义的条件可求出与的值，然后代入原式即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确求出与的值，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个根，
，．
，
．
故答案为：．
由根与系数的关系可得，，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

15.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
大正方形的面积为，
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
则，，
解得，或，不合题意，舍去，
，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得的值．
本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．
 

16.【答案】解：


；



． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先计算二次根式的乘法，再算加减法，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
或，
所以，；
，
，
，，，
，
，
所以，． 

【解析】先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
 

18.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；

的面积；
的坐标为；的坐标为． 

【解析】利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
延长到使，延长到使，从而得到；
利用三角形面积公式的面积，然后利用、中所画图形写出，的坐标．
本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
 

19.【答案】解：根据题意得：，
解得：或，
答：的值为或；
矩形的面积不能为平方厘米，理由如下：
假设矩形的面积可以为平方厘米，
则，
整理得：，
，
此方程无解，
矩形的面积不能为平方厘米． 

【解析】根据矩形的面积为平方厘米列出方程，求出方程的解即可；
假设矩形的面积可以为平方厘米，得出方程，再判断方程是否有解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
 

20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
∽，
，
：：，
，
；

∽，
，
，
的面积为，
，
，
． 

【解析】根据两对应角相等，两三角形是相似三角形，可判断与是相似三角形，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解；
根据∽，于是得到，，求得，于是得到．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，过点作于，则，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
答：这栋楼的高度大约为． 

【解析】通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

22.【答案】 

【解析】解：的“友好”方程是；
故答案为：；
是．
理由如下：
把代入方程得，
即，
关于的一元二次方程的“友好”方程为，
把代入得，
即，
所以是方程的一个解；
方程的解为，，
，
，是方程的解，
，
，
解得，
即，之间的数量关系为．
根据“友好”方程的定义求解；
先把代入方程得到，再写出关于的一元二次方程的“友好”方程为，再把代入得，然后根据一元二次方程解的定义可判断是方程的一个解；
利用根与系数的关系得到，，则，从而得到，之间的数量关系．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程解的定义．
 

23.【答案】证明：，
∽，∽，
，，
，
，
；
解：，，
，
，
∽，
；
解：延长交于，连接，过点作于，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明∽，∽，根据相似三角形的性质得到，进而证明结论；
根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案；
延长交于，连接，过点作于，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．