陕西省渭南市澄城县2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年陕西省渭南市澄城县九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 方程的解是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2. 下列图形中是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 关于函数的图象叙述正确的是(    )

A. 开口向上 B. 顶点
C. 与轴交点为 D. 对称轴为直线

4. 若是关于的一元二次方程的一个根，则常数的值为(    )

A. 或 B.  C.  D.

5. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在边上时，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一次函数与二次函数的图象如图所示，那么二次函数的图象可能为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 某初三毕业班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共张，如果设这个班有个学生，则可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知二次函数图象如图，下列结论：；；；：；当时，随的增大而减小；若，在该抛物线上，则，其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 已知点与点关于原点对称，则______．
10. 把方程用配方法化为的形式，则______．
11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点刚好落在上．若，则______．

12. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行______，才能停下来．
13. 已知二次函数其中是自变量，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为，则的值为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    解方程：．
15. 本小题分
    已知抛物线的解析式为．
    求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
    在什么范围内，随的增大而增大．
16. 本小题分
    已知是一元二次方程的一个根，求它的另一个根及的值．
17. 本小题分
    已知抛物线经过点和．
    求、的值；
    将该抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
18. 本小题分
    关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有两个实数根．
19. 本小题分
    如图方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
    画出关于原点的中心对称图形，并写出点的对应点的坐标．
    画出将绕原点逆时针方向旋转度后的图形．

20. 本小题分
    已知关于的一元二次方程有实数根．
    求的取值范围；
    若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
21. 本小题分
    如图是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据范蠡兵法记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．
    在如图所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部原点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，．
    求抛物线的表达式；
    通过计算说明石块能否飞越城墙；
    分别求出和时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离．
     
22. 本小题分
    小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象请根据函数图象，回答下列问题：
    观察探究：
    写出该函数的一条性质：______ ；
    方程的解为：______ ；
    若方程有四个实数根，则的取值范围是______ ．
    延伸思考：
    将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．

23. 本小题分
    如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，．
     

求的度数；

若，，求的长．

24. 本小题分
    中华人民共和国第十四届运动会于年在陕西省举办，旅游景点销售一批印有会微以及吉祥物的文化衫，每件进价元，当每件元售出时，平均每天可售出件，在此基础上，为了扩大销售，增加盈利，景点决定采取降价措施，经过一段时间的销售发现，文化衫的单价每降元，平均每天可以多售出件．
    若降价后，商场销售这批文化衫每天盈利元，单价降了多少元？
    当文化衫的单价定为多少元时，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？
25. 本小题分
    如图，二次函数的图象经过点与．
    求，的值；
    若为该函数图像上的点，，求点坐标；
    点是该二次函数图象上、两点之间的一动点，横坐标为，写出四边形的面积关于点的横坐标的函数解析式，并求的最大值及点的坐标．

26. 本小题分
    如图，点、分别在正方形的边、上，．
    试判断并直接写出、、之间的数量关系．
    如图，在四边形中，，，点、分别在、上，则当与满足______关系时，仍有，并说明理由．
    如图在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形已知，，，，道路，上分别有景点，，且，现要在、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．结果取整数，参考数据：，
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：开方得：，
解得：，，
故选：．
开方得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项B、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为函数，
所以该函数图象开口向下，故选项A错误；
顶点坐标为，故选项B错误；
当时，，即该函数与轴的交点坐标为，故选项C错误；
对称轴是直线，故选项D正确，
故选：．
本题考查二次函数的图象和性质．
根据题目中的二次函数的图象和性质可以判断各个选项中的说法是否正确，即可得解．
 

4.【答案】 

【解析】解：由于关于的一元二次方程的一个根是，
把代入方程，得，
解得，，
，
，
故选：．
由于方程的一个根是，把代入方程，求出的值．因为方程是关于的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是．
本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于这个条件．
 

5.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，可证是等边三角形，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由二次函数的图象知：开口向上，，一次函数图象可知，
二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的右侧，交轴的负半轴，
选项正确，
故选：．
由二次函数的图象知：开口向上，，一次函数图象可知，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，熟记二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：若这个班有个学生，则每名同学要送出贺卡张，
又因为是互送相片，
所以总共送的张数应该是．
故选：．
根据全班互赠相片，每人向本班其他同学各赠送一张，全班共相互赠送了张可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是理解题意后，类比数线段来做，互赠张数就像总线段条数，人数类似线段端点数．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
、异号，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以错误；
抛物线的对称轴为直线，
，
，即，所以正确；
时，，
，所以错误；
，
而，
，所以正确；
抛物线与轴有两个交点，
，所以正确；
抛物线开口向下，在对称轴的右侧随的增大而减下，
当时，随的增大而减小，所以正确．
，
到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
，所以正确．
故选：．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴在轴的右侧得到，利用抛物线与轴的交点在轴上方得到，则可对进行判断；利用得到，则可对进行判断；利用时，可对进行判断；利用可对进行判断；根据抛物线与轴交点的个数可对进行判断；根据二次函数的性质对进行判断；由点到对称轴的距离小于到对称轴的距离可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
解得：，，
则．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
由旋转可得，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由，可得，则，由旋转可得，，则，根据，可得，则，，最后利用可得出答案．
本题考查旋转的性质、三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意，该函数关系式化简为，
当时，汽车停下来，滑行了．
故滑行的时间为秒，最大的滑行距离．
故答案为．
由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断．
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，的最大值为，可得时，，即可求出．
【解答】
解：二次函数其中是自变量，
对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
，
时，的最大值为，
时，，
，
，或不合题意舍去．
故答案为：．  

14.【答案】解：，
，
整理，得，
，，，
，
，
解得，． 

【解析】把方程化为一般形式，再利用公式法求解即可．
本题考查了一元二次方程，掌握求根公式是解答本题的关键．
 

15.【答案】解：，
抛物线的开口向下；对称轴为；顶点坐标；

抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时随的增大而增大． 

【解析】首先把解析式化为顶点式，然后再根据顶点式可得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
根据当，抛物线在对称轴左侧，随的增大而增大．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是正确把解析式化为顶点式．
 

16.【答案】解：设方程的另一根为，则
，
解得．
，
解得．
综上所述，它的另一个根是及的值是． 

【解析】把代入已知方程求得的值；利用根与系数的关系来求方程的另一根．
本题考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

17.【答案】解：将点和分别代入，得
．
解得．
所以，．

由知，该抛物线解析式为：，将该抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到新的抛物线解析式为：或． 

【解析】利用待定系数法确定函数关系式；
根据平移规律“上加下减，左加右减”写出新抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

18.【答案】证明：，，，
，
无论取何值，方程总有两个实数根． 

【解析】根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论取何值，方程总有两个实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标；
画如图，即为所求．
 

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：根据题意得：，
解得：．
故的取值范围是：．
根据题意得：，，
，
，即，
解得：，由得，故舍去．
故的值为． 

【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的方程即可．
注意：由得，故舍去．
 

21.【答案】解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得．
；
石块不能飞越防御墙，理由如下：
把代入；
得，
，
石块不能飞越防御墙；
设直线的解析式为，
把代入得，，
直线的解析式为，
过抛物线上的点作轴交于，

设，则，
，对称轴为，
，在对称轴的左侧随的增大而增大，
时，时，最大为，
时，时，最大为．
答：时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离为；
时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离为． 

【解析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案；
把代入，求得的值，与作比较即可；
用待定系数法求得的解析式为，设出点和的坐标，再用含的代数式表示出，最后根据二次函数的性质求解即可．
 

22.【答案】函数关于轴对称 
或或
将函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位可得到函数的图象，
当时，自变量的取值范围是．
 

【解析】解：观察探究：
该函数的一条性质为：函数关于轴对称；
方程的解为：或或；
若方程有四个实数根，则的取值范围是．
故答案为函数关于轴对称；或或；．
见答案
根据图象即可求得；
根据“上加下减”的平移规律，画出函数的图象，根据图象即可得到结论．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】解：由旋转的性质得，，，
，
，
为等边三角形，
；
由旋转的性质得，，
为等边三角形，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：． 

【解析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，正确求得的长是解题的关键．
根据旋转的性质得到三角形为等边三角形即可求解；
先证明出为直角三角形，在中，由勾股定理即可求得的长．
 

24.【答案】解：设单价降了元．
则，
解得，，
答：单价降了或元；
设每天利润为元，
则，
，
有最大值，
当时，．
当文化衫的单价定为元时，才能使每天的利润最大，最大利润是元．
答：当文化衫的单价定为元时，才能使每天的利润最大，最大利润是元． 

【解析】设单价降了元，根据利润盈利降价销售量，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
根据利润盈利降价销售量可以得到利润与降价的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可解答本题．
本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，了解关系式利润盈利降价销售量是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：将，代入得，
解得．
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
设点纵坐标为，则，
解得，
将代入得，
解得，，
将代入得，
解得，，
点坐标为或或或．
连接，过点左轴交于点，

设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
，
点的横坐标为，
点坐标为，点坐标为，
，
，
，
．
当时，最大值为，此时点坐标为． 

【解析】将点，坐标代入二次函数解析式求解．
由求出点纵坐标，分别将点纵坐标代入解析式求解．
连接，过点左轴交于点，由求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内三角形面积的求法．
 

26.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
如图所示，把绕点逆时针旋转至，

则≌，
，，，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
，理由如下：
如图所示，延长至，使，连接，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
即，
故答案为：；
如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，

，，
．
又，
是等边三角形，
，
根据旋转的性质得到：，
又，
，即点在的延长线上．
≌，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
根据得，，
即这条道路的长为．
根据旋转的性质可以得到≌，则，只要再证明≌即可；
延长至，使，连接，证≌，再证≌，即可得出答案；
利用等边三角形的判定与性质得到是等边三角形，则米．把绕点逆时针旋转至，只要再证明，即可根据得出．
本题考查的是四边形综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．