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浙江省绍兴市新昌县拔茅中学等五校2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)
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这是一份浙江省绍兴市新昌县拔茅中学等五校2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省绍兴市新昌县拔茅中学等五校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．2022年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
2．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（x﹣1）（x+3） B．y＝x2﹣x3
C．y＝2x﹣3 D．y＝+1
3．下面所列图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面的概率
B．任意写一个正整数，它能被3整除的概率
C．从一装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
D．掷一枚正方体的骰子，出现6点的概率
5．已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．60° C．80° D．90°
7．根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），则该抛物线与x轴的另一个交点是（ ）
A．（3，0） B．（4，0） C．（﹣8，0） D．（﹣4，0）
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠BOD的度数是（ ）
A．100° B．120° C．130° D．160°
10．A、C是以半径为6的圆的圆周上的两点，B为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
11．二次函数y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是 ．
12．一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为3号球的概率为 ．
13．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．若抛物线y＝﹣（x+1）2向右平移m个单位长度后经过点（2，﹣2），则m＝ ．
15．若半径为1的圆中有一条弦长为，则这条弦所对的圆周角的度数等于 ．
16．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，第17、18、19、20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
18．已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上．
19．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．
20．一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
21．如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，
（1）证明：圆中存在“爪形D”；
（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．
22．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
23．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）请直接写出每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少？
24．如图①，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝+bx+c过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．2022年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、购买一张体育彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、2022年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（x﹣1）（x+3） B．y＝x2﹣x3
C．y＝2x﹣3 D．y＝+1
【分析】利用二次函数的定义分别分析得出即可．
解：A、y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3，是二次函数，所以A选项正确；
B、y＝x2﹣x3，最高次数是3，不是二次函数，所以B选项错误；
C、y＝2x﹣3，最高次数是1，不是二次函数，所以C选项错误；
D、y＝+1，右边不是整式，不是二次函数，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3．下面所列图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．
解：A、是轴对称图形；
B、有五个角，但有旋转，所以既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
C、即是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：C．
【点评】注意区别轴对称图形与中心对称图形的概念．
【链接】轴对称的关键是寻找对称轴，图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面的概率
B．任意写一个正整数，它能被3整除的概率
C．从一装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
D．掷一枚正方体的骰子，出现6点的概率
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
B、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为，故此选项符合题意；
C、从一装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率，故此选项不符合题意；
D、掷一枚正六面体的骰子，出6点的概率为，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
5．已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d＞r．
解：当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm，A、B、C均不符．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
6．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．60° C．80° D．90°
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
解：∵∠P＝30°，
又∵∠AOB＝2∠P，
∴∠AOB＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
7．根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】三角形的外心是各边垂直平分线的交点，有差评得即可．
解：三角形的外心的各边垂直平分线的交点，选项C满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外心等知识，解题关键是读懂图象信息，理解三角形的外心是各边垂直平分线的交点．
8．已知抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），则该抛物线与x轴的另一个交点是（ ）
A．（3，0） B．（4，0） C．（﹣8，0） D．（﹣4，0）
【分析】利用待定系数法确定抛物线的解析式，令y＝0，解方程即可求得另一个交点．
解：∵抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），
∴（2﹣3）2+c＝0．
解得：c＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣1．
令y＝0，则（x﹣3）2﹣1＝0．
解得：x＝2或x＝4．
∴该抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠BOD的度数是（ ）
A．100° B．120° C．130° D．160°
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝80°，
∴∠BOD＝2∠A＝160°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
10．A、C是以半径为6的圆的圆周上的两点，B为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】分两种情况画图，根据勾股定理即可得CD的长．
解：分两种情况：
①如图，OB＝OC＝6，
∵B为的中点，
∴AB＝BC，
∵顶点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝2×6÷3＝4，
∴DE＝BE＝2，
∴OE＝OB﹣BE＝6﹣2＝4，
在Rt△DEC中，根据勾股定理，得
CE＝＝＝2，
在Rt△DEC中，根据勾股定理，得
CD＝＝2；
②如图，
同理可得，BD＝12﹣2×6÷3＝12﹣4＝8，
∴DE＝BE＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，
在Rt△OEC中，根据勾股定理，得
CE＝＝＝4，
在Rt△DEC中，根据勾股定理，得
∴CD＝＝4．
综上所述：该菱形的边长为2或4．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆、菱形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
11．二次函数y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是 （2，3） ．
【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．
解：二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（2，3）．
故答案为（2，3）
【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），注意符号问题．
12．一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为3号球的概率为 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
解：根据题意可得：标号为3的球只有1个球，共3个球，
从中随机摸出一个小球，其标号为3号球的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中．
13．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1 ＞ y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．
解：∵y＝（x﹣2）2，
∴a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，
∵x1＜x2＜2，
∴y1＞y2．
故答案为＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
14．若抛物线y＝﹣（x+1）2向右平移m个单位长度后经过点（2，﹣2），则m＝ 5或1 ．
【分析】先由平移规律求出平移后的抛物线解析式，因为它经过点（2，﹣2），所以再把点（2，﹣2）代入新的抛物线解析式即可求出m的值．
解：设把抛物线y＝﹣（x+1）2向右平移m个单位长度后得到y＝﹣（x+1﹣m）2．
∵经过点（2，﹣2），
∴﹣（2+1﹣m）2＝﹣2，
解得：m＝5或m＝1．
故答案是：5或1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换和二次函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
15．若半径为1的圆中有一条弦长为，则这条弦所对的圆周角的度数等于 60°或120° ．
【分析】如图，连接OA、OB，过O点作OH⊥AB于点H，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，AB＝，OA＝1，先利用垂径定理得到AH＝BH＝，则根据余弦的定义可求出∠OAH＝30°，再计算出∠AOB＝120°，接着根据圆周角定理得到∠ACB＝60°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ADB的度数，从而得到弦AB所对的圆周角．
解：如图，连接OA、OB，过O点作OH⊥AB于点H，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，AB＝，OA＝1，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH＝＝，
∴∠OAH＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBH＝∠OAH＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ADB＝120°，
综上所述，弦AB所对的圆周角为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
16．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为 k＝﹣1或k＞3 ．
【分析】首先在坐标系中画出已知函数y＝的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有2个的k值．
解：函数y＝的图象如图：
根据图象知道当y＝﹣1或y＞3时，对应成立的x值恰好有2个，
所以k＝﹣1或k＞3．
故答案为：k＝﹣1或k＞3．
【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
三、解答题（本大题共8小题，第17、18、19、20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可；
（2）利用垂径定理解决问题即可．
解：（1）满足条件的点D，如图所示；
（2）满足条件的点
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上．
【分析】（1）把点（﹣2，﹣1）代入二次函数y＝ax2+2x，求出a的值，即可确定函数的关系式，
（2）代入验证即可，当点的坐标满足关系式时，此点在函数的图象上，否则就不在函数的图象上．
解：（1）把点（﹣2，﹣1）代入二次函数y＝ax2+2x得，﹣1＝4a﹣4，
解得，a＝，
∴二次函数的关系式为y＝x2+2x；
（2）当x＝﹣1时，y＝×1+2×（﹣1）＝﹣≠﹣，
∴点（﹣1，﹣）不在抛物线上．
【点评】考查二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数的关系式，把点的坐标代入是常用的方法．
19．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．
【分析】欲证明BM＝DM，只要证明＝即可．
【解答】证明：∵M是的中点，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴MB＝MD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．
20．一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数即可；
（2）根据概率公式先求出标号之和为奇数和偶数的概率，再进行比较，即可得出这个游戏是否公平．
解：（1）由题意画出树状图如下：
所有可能情况如下：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．
（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
标号之和为奇数的概率是：，
标号之和为偶数的概率是：，
因为≠，
所以不公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，
（1）证明：圆中存在“爪形D”；
（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．
【分析】（1）由圆周角的性质直接证明即可；
（2）延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，证明△BAD≌△BCE（SAS），再证明△BDE是等边三角形，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴
∴∠ADB＝∠CDB，
∴DB平分圆周角∠ADC，
∴圆中存在“爪形D”；
（2）证明：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A+∠DCB＝180°，∠ECB+∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠ECB，
∵CE＝AD，AB＝BC，
∴△BAD≌△BCE（SAS），
∴∠E＝∠ADB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝∠ADB＝∠ADB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD，即AD+CD＝BD．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注意数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．
23．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）请直接写出每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，可以写出每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，可以写出每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）将（2）中函数关系式化为顶点式，再根据该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，可以得到x的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可得到该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少．
解：（1）由题意可得，
y＝250﹣（x﹣25）×10＝﹣10x+500，
即每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣10x+500；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，
即每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式是w＝﹣10x2+700x﹣10000；
（3）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴该函数图象开口向下，当x＜35时，y随x的增大而增大，
∵该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，
∴x≥30且﹣10x+500≥160，
解得30≤x≤34，
∴当x＝34时，w取得最大值，此时w＝2240，
答：该文具定价为34元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是2240元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
24．如图①，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝+bx+c过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．求出直线AD使得解析式，构建方程组确定两点坐标即可．
（3）设M（m，m﹣3），则N（m+2，m﹣2），可得P（m，m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，推出PM＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3），NQ＝m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，由此构建方程即可解决问题．
解：（1）由题意C（0，﹣3），B（6，0），
把C（0，﹣3），B（6，0）代入y＝+bx+c得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3．
（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．
∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，A（﹣2，0），
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
由，解得或，
∴D（8，5）．
∵直线AD交y轴于E（0，1），
点E关于点C的对称点E′（0，﹣7），
∴过点E′平行BC的直线的解析式为y＝x﹣7，
由，方程组无解，
∴在直线BC的下方不存在满足条件的点D．
∴满足条件的点D（8，5）．
（3）设M（m，m﹣3），则N（m+2，m﹣2），
∴P（m，m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，
∴PM＝|m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）|，NQ＝|m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]|，
当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴|m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）|＝|m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]|，
解得：m＝2或2±2，
∴满足条件的点M的坐标为（2，﹣2）或（2+2，﹣2）或（2﹣2，﹣﹣2）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年浙江省绍兴市新昌县拔茅中学等五校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．2022年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
2．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（x﹣1）（x+3） B．y＝x2﹣x3
C．y＝2x﹣3 D．y＝+1
3．下面所列图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面的概率
B．任意写一个正整数，它能被3整除的概率
C．从一装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
D．掷一枚正方体的骰子，出现6点的概率
5．已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．60° C．80° D．90°
7．根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），则该抛物线与x轴的另一个交点是（ ）
A．（3，0） B．（4，0） C．（﹣8，0） D．（﹣4，0）
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠BOD的度数是（ ）
A．100° B．120° C．130° D．160°
10．A、C是以半径为6的圆的圆周上的两点，B为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
11．二次函数y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是 ．
12．一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为3号球的概率为 ．
13．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．若抛物线y＝﹣（x+1）2向右平移m个单位长度后经过点（2，﹣2），则m＝ ．
15．若半径为1的圆中有一条弦长为，则这条弦所对的圆周角的度数等于 ．
16．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，第17、18、19、20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
18．已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上．
19．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．
20．一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
21．如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，
（1）证明：圆中存在“爪形D”；
（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．
22．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
23．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）请直接写出每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少？
24．如图①，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝+bx+c过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．下列事件是必然事件的为（ ）
A．购买一张体育彩票，中奖
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．2022年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、购买一张体育彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、2022年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（x﹣1）（x+3） B．y＝x2﹣x3
C．y＝2x﹣3 D．y＝+1
【分析】利用二次函数的定义分别分析得出即可．
解：A、y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3，是二次函数，所以A选项正确；
B、y＝x2﹣x3，最高次数是3，不是二次函数，所以B选项错误；
C、y＝2x﹣3，最高次数是1，不是二次函数，所以C选项错误；
D、y＝+1，右边不是整式，不是二次函数，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3．下面所列图形中是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．
解：A、是轴对称图形；
B、有五个角，但有旋转，所以既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
C、即是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：C．
【点评】注意区别轴对称图形与中心对称图形的概念．
【链接】轴对称的关键是寻找对称轴，图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面的概率
B．任意写一个正整数，它能被3整除的概率
C．从一装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
D．掷一枚正方体的骰子，出现6点的概率
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
B、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为，故此选项符合题意；
C、从一装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率，故此选项不符合题意；
D、掷一枚正六面体的骰子，出6点的概率为，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
5．已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d＞r．
解：当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm，A、B、C均不符．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
6．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．60° C．80° D．90°
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
解：∵∠P＝30°，
又∵∠AOB＝2∠P，
∴∠AOB＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
7．根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】三角形的外心是各边垂直平分线的交点，有差评得即可．
解：三角形的外心的各边垂直平分线的交点，选项C满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外心等知识，解题关键是读懂图象信息，理解三角形的外心是各边垂直平分线的交点．
8．已知抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），则该抛物线与x轴的另一个交点是（ ）
A．（3，0） B．（4，0） C．（﹣8，0） D．（﹣4，0）
【分析】利用待定系数法确定抛物线的解析式，令y＝0，解方程即可求得另一个交点．
解：∵抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），
∴（2﹣3）2+c＝0．
解得：c＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣1．
令y＝0，则（x﹣3）2﹣1＝0．
解得：x＝2或x＝4．
∴该抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠BOD的度数是（ ）
A．100° B．120° C．130° D．160°
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝80°，
∴∠BOD＝2∠A＝160°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
10．A、C是以半径为6的圆的圆周上的两点，B为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】分两种情况画图，根据勾股定理即可得CD的长．
解：分两种情况：
①如图，OB＝OC＝6，
∵B为的中点，
∴AB＝BC，
∵顶点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝2×6÷3＝4，
∴DE＝BE＝2，
∴OE＝OB﹣BE＝6﹣2＝4，
在Rt△DEC中，根据勾股定理，得
CE＝＝＝2，
在Rt△DEC中，根据勾股定理，得
CD＝＝2；
②如图，
同理可得，BD＝12﹣2×6÷3＝12﹣4＝8，
∴DE＝BE＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，
在Rt△OEC中，根据勾股定理，得
CE＝＝＝4，
在Rt△DEC中，根据勾股定理，得
∴CD＝＝4．
综上所述：该菱形的边长为2或4．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆、菱形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
11．二次函数y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是 （2，3） ．
【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．
解：二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（2，3）．
故答案为（2，3）
【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），注意符号问题．
12．一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为3号球的概率为 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
解：根据题意可得：标号为3的球只有1个球，共3个球，
从中随机摸出一个小球，其标号为3号球的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中．
13．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1 ＞ y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．
解：∵y＝（x﹣2）2，
∴a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，
∵x1＜x2＜2，
∴y1＞y2．
故答案为＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
14．若抛物线y＝﹣（x+1）2向右平移m个单位长度后经过点（2，﹣2），则m＝ 5或1 ．
【分析】先由平移规律求出平移后的抛物线解析式，因为它经过点（2，﹣2），所以再把点（2，﹣2）代入新的抛物线解析式即可求出m的值．
解：设把抛物线y＝﹣（x+1）2向右平移m个单位长度后得到y＝﹣（x+1﹣m）2．
∵经过点（2，﹣2），
∴﹣（2+1﹣m）2＝﹣2，
解得：m＝5或m＝1．
故答案是：5或1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换和二次函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
15．若半径为1的圆中有一条弦长为，则这条弦所对的圆周角的度数等于 60°或120° ．
【分析】如图，连接OA、OB，过O点作OH⊥AB于点H，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，AB＝，OA＝1，先利用垂径定理得到AH＝BH＝，则根据余弦的定义可求出∠OAH＝30°，再计算出∠AOB＝120°，接着根据圆周角定理得到∠ACB＝60°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ADB的度数，从而得到弦AB所对的圆周角．
解：如图，连接OA、OB，过O点作OH⊥AB于点H，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，AB＝，OA＝1，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH＝＝，
∴∠OAH＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBH＝∠OAH＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ADB＝120°，
综上所述，弦AB所对的圆周角为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
16．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为 k＝﹣1或k＞3 ．
【分析】首先在坐标系中画出已知函数y＝的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有2个的k值．
解：函数y＝的图象如图：
根据图象知道当y＝﹣1或y＞3时，对应成立的x值恰好有2个，
所以k＝﹣1或k＞3．
故答案为：k＝﹣1或k＞3．
【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
三、解答题（本大题共8小题，第17、18、19、20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可；
（2）利用垂径定理解决问题即可．
解：（1）满足条件的点D，如图所示；
（2）满足条件的点
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上．
【分析】（1）把点（﹣2，﹣1）代入二次函数y＝ax2+2x，求出a的值，即可确定函数的关系式，
（2）代入验证即可，当点的坐标满足关系式时，此点在函数的图象上，否则就不在函数的图象上．
解：（1）把点（﹣2，﹣1）代入二次函数y＝ax2+2x得，﹣1＝4a﹣4，
解得，a＝，
∴二次函数的关系式为y＝x2+2x；
（2）当x＝﹣1时，y＝×1+2×（﹣1）＝﹣≠﹣，
∴点（﹣1，﹣）不在抛物线上．
【点评】考查二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数的关系式，把点的坐标代入是常用的方法．
19．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．
【分析】欲证明BM＝DM，只要证明＝即可．
【解答】证明：∵M是的中点，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴MB＝MD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．
20．一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数即可；
（2）根据概率公式先求出标号之和为奇数和偶数的概率，再进行比较，即可得出这个游戏是否公平．
解：（1）由题意画出树状图如下：
所有可能情况如下：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．
（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
标号之和为奇数的概率是：，
标号之和为偶数的概率是：，
因为≠，
所以不公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，
（1）证明：圆中存在“爪形D”；
（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．
【分析】（1）由圆周角的性质直接证明即可；
（2）延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，证明△BAD≌△BCE（SAS），再证明△BDE是等边三角形，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴
∴∠ADB＝∠CDB，
∴DB平分圆周角∠ADC，
∴圆中存在“爪形D”；
（2）证明：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A+∠DCB＝180°，∠ECB+∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠ECB，
∵CE＝AD，AB＝BC，
∴△BAD≌△BCE（SAS），
∴∠E＝∠ADB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝∠ADB＝∠ADB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD，即AD+CD＝BD．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注意数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．
23．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）请直接写出每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，可以写出每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，可以写出每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）将（2）中函数关系式化为顶点式，再根据该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，可以得到x的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可得到该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少．
解：（1）由题意可得，
y＝250﹣（x﹣25）×10＝﹣10x+500，
即每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣10x+500；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，
即每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式是w＝﹣10x2+700x﹣10000；
（3）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴该函数图象开口向下，当x＜35时，y随x的增大而增大，
∵该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，
∴x≥30且﹣10x+500≥160，
解得30≤x≤34，
∴当x＝34时，w取得最大值，此时w＝2240，
答：该文具定价为34元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是2240元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
24．如图①，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝+bx+c过B，C两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．求出直线AD使得解析式，构建方程组确定两点坐标即可．
（3）设M（m，m﹣3），则N（m+2，m﹣2），可得P（m，m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，推出PM＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3），NQ＝m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，由此构建方程即可解决问题．
解：（1）由题意C（0，﹣3），B（6，0），
把C（0，﹣3），B（6，0）代入y＝+bx+c得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3．
（2）如图①中，作AD∥BC交抛物线于D，则S△ABC＝S△BCD．
∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，A（﹣2，0），
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
由，解得或，
∴D（8，5）．
∵直线AD交y轴于E（0，1），
点E关于点C的对称点E′（0，﹣7），
∴过点E′平行BC的直线的解析式为y＝x﹣7，
由，方程组无解，
∴在直线BC的下方不存在满足条件的点D．
∴满足条件的点D（8，5）．
（3）设M（m，m﹣3），则N（m+2，m﹣2），
∴P（m，m2﹣m﹣3），Q[m+2，（m+2）2﹣（m+2）﹣3]，
∴PM＝|m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）|，NQ＝|m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]|，
当PM＝QN时，点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴|m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）|＝|m﹣2﹣[（m+2）2﹣（m+2）﹣3]|，
解得：m＝2或2±2，
∴满足条件的点M的坐标为（2，﹣2）或（2+2，﹣2）或（2﹣2，﹣﹣2）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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