初中北师大版4 角平分线第2课时教学设计及反思

第2课时　三角形的内角平分线

教学目标

【知识与技能】

1.进一步理解掌握角平分线的性质定理和判定定理,能够应用它们证明或解决相关问题;

2.能够证明三角形的内角平分线交于一点,进一步了解证明三线共点的方法.

【过程与方法】

经历探索、猜想、证明的过程,进一步培养学生的推理证明意识,体验解决问题的方法,提高实践能力和创新意识.

【情感、态度与价值观】

在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,进一步树立自信心.

教学重难点

【教学重点】

角平分线性质定理和判定定理的应用.

【教学难点】

综合应用角平分性质定理和判定定理证明或解决相关问题.

教学过程

一、问题导入

请你证明“三角形的三个内角的平分线交于一点”.

二、合作探究

探究点1　三角形的三条角平分线交于一点

典例1　求证:三角形的三条内角平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.

[解析]　已知:如图,在△ABC中,角平分线BM与角平分线CN相交于点P,过点P分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为点D,E,F.

求证:点P在∠BAC的平分线上,且PD=PE=PF.

证明:∵BM是△ABC的平分线,点P在BM上,且PD⊥AB,PE⊥BC,

∴PD=PE.

同理PE=PF,

∴PD=PE=PF,且点P在∠BAC的平分线上.

探究点2　角平分线性质定理和判定定理的综合应用

典例2　

如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E.

(1)已知CD=4 cm,求AC的长;

(2)求证:AB=AC+CD.

[解析]　(1)∵AD是△ABC的角平分线,∠C=90°,DE⊥AB,

∴DE=CD=4 cm.

∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.

∵∠C=90°,∴∠B=×90°=45°,

∴∠BDE=90°-45°=45°,

∴BE=DE=4 cm.

在Rt△BDE中,由勾股定理,得BD=4 cm,

∴AC=BC=CD+BD=(4+4) cm.

(2)由(1)知Rt△ACD≌Rt△AED,

∴AC=AE.

∵BE=DE=CD,

∴AB=AE+BE=AC+CD.

　　证明一条线段等于另外两条线段的和,如果这“一条线段”上就有两条线段,那么利用数学的转化思想,只要能够证明图形上的这“两条线段”分别等于要求证的“另外两条线段”,问题就会迎刃而解.

变式训练　如图,已知P是∠AOB的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为点C,D.求证:

(1)OC=OD;

(2)OP是CD的垂直平分线.

[解析]　(1)∵P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.

在Rt△POC与Rt△POD中,

∴Rt△POC≌Rt△POD(HL),

∴OC=OD.

(2)∵P是∠AOB的平分线上的一点,

∴∠COP=∠DOP.

由(1)知OC=OD,

∴在△COE与△DOE中,

∴△COE≌△DOE,

∴CE=DE,OE⊥CD,即OP是CD的垂直平分线.

三、板书设计

三角形
的内角
平分线→三角形的三条角平分线交于一点,且这一点到三边的距离相等

教学反思

用类比的教学方法,将教材中隐含的内容表达出来,给学生一种美的感受;将旧知识与新知识以有效的语言表达出来,为师生的交流创造良好的氛围,使学生的学习达到事半功倍的效果.需要注意的是过多的点拨会剥夺学生的思维参与的机会.因此,课堂语言的锤炼,不仅仅是要表达清楚,更要言简意赅,把更多的时间留给学生,让学生在课堂上有更多的时间去思考.