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(新高考)高考物理一轮复习课时练习第4章第4讲《万有引力定律及应用》(含解析)
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这是一份(新高考)高考物理一轮复习课时练习第4章第4讲《万有引力定律及应用》(含解析)，共20页。试卷主要包含了开普勒三定律，万有引力定律，宇宙速度等内容，欢迎下载使用。
一、开普勒三定律
【自测1】 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案 B
解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，并没有找出其中的原因，而牛顿发现了万有引力定律。
二、万有引力定律
1.内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2.表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
4.天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
(2)基本关系式
Geq \f(Mm,r2)＝ma＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r)),mrω2→ω＝\r(\f(GM,r3)),mr（\f(2π,T)）2→T＝2π\r(\f(r3,GM)),mvω))
【自测2】 (2019·全国卷Ⅱ，14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
答案 D
解析 由万有引力公式F＝Geq \f(Mm,（R＋h）2)可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C选项；而F与h不是一次函数关系，排除A选项，D选项正确。
三、宇宙速度
1.第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
(2)第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
(4)第一宇宙速度的计算方法
由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(\f(GM,R))；
由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)。
2.第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。
3.第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。
【自测3】 (2019·北京卷，18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A.入轨后可以位于北京正上方
B.入轨后的速度大于第一宇宙速度
C.发射速度大于第二宇宙速度
D.若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D
解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的环绕速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。
命题点一 开普勒三定律的理解和应用
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
3.开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。
【例1】 (2020·山东省等级考试模拟卷)2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为( )
A.eq \r(3,\f(T2,Teq \\al(2,0))) R0 B.eq \r(\f(T3,Teq \\al(3,0))) R0
C.eq \r(3,\f(Teq \\al(2,0),T2)) R0 D.eq \r(\f(Teq \\al(3,0),T3)) R0
答案 A
解析 由开普勒第三定律可知eq \f(R3,T2)＝eq \f(Req \\al(3,0),Teq \\al(2,0))，可得R＝eq \r(3,\f(T2,Teq \\al(2,0)))R0，故A正确，B、C、D错误。
【变式1】 (2020·四川绵阳市第三次诊断)在地球同步卫星轨道平面内运行的低轨道卫星，其轨道半径为同步卫星轨道半径的eq \f(1,4)，则该低轨道卫星运行周期为( )
A.1 h B.3 h
C.6 h D.12 h
答案 B
解析 根据开普勒第三定律，有eq \f(Teq \\al(2,卫),Teq \\al(2,同))＝eq \f(（\f(1,4)r同）3,req \\al(3,同))
解得T卫＝eq \f(1,8)T同＝eq \f(1,8)×24 h＝3 h，选项B正确。
命题点二 万有引力定律的理解
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg。
2.星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2)。
3.万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。
(2)两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2)。
【例2】 (2020·全国卷Ⅰ，15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2 B.0.4
C.2.0 D.2.5
答案 B
解析 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝Geq \f(M地m,Req \\al(2,地))，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝Geq \f(M火m,Req \\al(2,火))，二者的比值eq \f(F火,F地)＝eq \f(M火Req \\al(2,地),M地Req \\al(2,火))＝0.4，B正确，A、C、D错误。
【变式2】 (2020·广东惠州市第三次调研)一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R。则飞船所在处的重力加速度大小( )
A.eq \f(Hg,R) B.eq \f(Rg,H＋R)
C.eq \f(R2g,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(H＋R))2) D.eq \f(H2g,R2)
答案 C
解析 忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列等式
在地球表面eq \f(GMm,R2)＝mg
在离地面的高度为H处eq \f(GMm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋H))2)＝mg′
解得g′＝eq \f(gR2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋H))2)
命题点三 天体质量和密度的计算
天体质量、密度的计算
【例3】 (2020·山东省等级考试第二次模拟)科学家麦耶(M.Mayr)和奎洛兹(D.Quelz)对系外行星的研究而获得2019年诺贝尔物理学奖。他们发现恒星“飞马座51”附近存在一较大的行星，两星在相互引力的作用下，围绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。已知恒星与行星之间的距离为L，恒星做圆周运动的半径为R、周期为T，引力常量为G。据此可得，行星的质量为( )
A.eq \f(4π2,GT2)R2L B.eq \f(4π2,GT2)RL2
C.eq \f(4π2,GT2)L2(L－R) D.eq \f(4π2,GT2)R2(L－R)
答案 B
解析 由题意可知，恒星与行星的周期、角速度相同，对恒星有Geq \f(Mm,L2)＝Meq \f(4π2,T2)R，解得行星的质量m＝eq \f(4π2RL2,GT2)，故B正确，A、C、D错误。
【变式3】 (2021·1月辽宁普高校招生适应性测试，8)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是( )
A.月球平均密度为eq \f(3v2,4πGR2) B.月球平均密度为eq \f(3v2r,4πGR3)
C.月球表面重力加速度为eq \f(v2,R) D.月球表面重力加速度为eq \f(v2r,R2)
答案 BD
解析 由万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得M＝eq \f(v2r,G)，
月球体积V＝eq \f(4,3)πR3，所以月球平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3v2r,4πGR3)，故B项正确，A项错误；由Geq \f(Mm,R2)＝mg且M＝eq \f(v2r,G)得g＝eq \f(v2r,R2)，故D项正确，C项错误。
【变式4】 (2020·山东淄博市4月第模拟)我国航空航天技术已居于世界前列。如图1所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ。已知万有引力常量G，下列说法正确的是( )
图1
A.轨道半径越大，周期越小
B.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
C.若测得周期和张角，可得到星球的质量
D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
答案 B
解析 根据开普勒第三定律可知eq \f(r3,T2)＝k，轨道半径越大，飞行器的周期越大，故A错误；设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T。对于飞行器，根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r，解得星球质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)，由几何关系有R＝rsin eq \f(θ,2)，若测得周期和张角，因为星球的半径和轨道半径均未知，则不能得到星球的质量，星球的平均密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)))\s\up12(3))，即若测得周期和张角，可得到星球的平均密度，故B正确，C错误；由上述分析可知，若测得周期和轨道半径可以得到星球质量，不能得到星球的平均密度，故D错误。
命题点四 卫星运行参量的分析
1.线速度：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)⇒v＝eq \r(\f(GM,r))
2.角速度：Geq \f(Mm,r2)＝mω2r⇒ω＝eq \r(\f(GM,r3))
3.周期：Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r⇒T＝2πeq \r(\f(r3,GM))
4.向心加速度：Geq \f(Mm,r2)＝ma⇒a＝eq \f(GM,r2)
结论：r越大，v、ω、a越小，T越大。
【例4】 (2021·1月重庆市学业水平选择性考试适应性测试，6)近地卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，若其轨道半径近似等于地球半径R，运行周期为T，地球质量为M，引力常量为G，则( )
A.近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为eq \f(2π2R,T2)
B.近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为eq \r(\f(R,GM))
C.地球表面的重力加速度大小近似为eq \f(M,GR2)
D.地球的平均密度近似为eq \f(3π,GT2)
答案 D
解析 由向心加速度公式可知，近地卫星绕地球运动的向心加速度大小an＝ω2R＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)R＝eq \f(4π2R,T2)，故A错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq \f(Mm,R2)＝eq \f(mv2,R)，解得近地卫星绕地球运动的线速度大小v＝eq \r(\f(GM,R))，故B错误；地球表面的重力等于万有引力，所以有mg＝Geq \f(Mm,R2)，地球表面的重力加速度大小为g＝eq \f(GM,R2)，故C错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq \f(Mm,R2)＝mrω2＝mReq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)，解得地球的质量为M＝eq \f(4πR3,GT2)，地球的平均密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3π,GT2)，故D正确。
【变式5】 (2021·1月河北学业水平选择性考试模拟演练，3)假定“嫦娥五号”轨道舱绕月飞行时，轨道是贴近月球表面的圆形轨道。已知地球密度为月球密度的k倍，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的n倍，则轨道舱绕月飞行的周期与地球同步卫星周期的比值为( )
A.eq \r(\f(k,n3)) B.eq \r(\f(n3,k))
C.eq \r(\f(k,n)) D.eq \r(\f(n,k))
答案 A
解析 嫦娥五号绕月飞行时，月球对其产生的万有引力提供向心力，Geq \f(M月m,req \\al(2,月))＝meq \f(4π2,Teq \\al(2,1))r月，地球同步卫星围绕地球运动时，万有引力提供向心力Geq \f(M地m′,n2req \\al(2,地))＝m′eq \f(4π2,Teq \\al(2,2))nr地；又因为M＝ρeq \f(4,3)πr3，且地球密度为月球密度的k倍；所以eq \f(T1,T2)＝eq \r(\f(M地,M月)·\f(req \\al(3,月),n3req \\al(3,地)))＝eq \r(\f(k,n3))，故A正确。
【变式6】 (多选)(2020·江苏南通市5月第二次模拟)我国发射了宇宙探测卫星“慧眼”，卫星携带了X射线调制望远镜，在离地550 km的轨道上观察遥远天体发出的X射线，为宇宙起源研究提供新的证据，则卫星的( )
A.角速度大于地球自转角速度
B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期大于同步卫星的周期
D.向心加速度小于地面的重力加速度
答案 ABD
解析 万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r
解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))
该卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，同步卫星相对地球静止，则T＜T同步＝T地球，选项C错误；
根据ω＝eq \f(2π,T)可知ω＞ω同步＝ω地球，A正确；
万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
解得v＝eq \r(\f(GM,r))
第一宇宙速度为卫星贴近地球表面运行的速度大小，该卫星的轨道半径大于地球半径，所以该卫星线速度小于第一宇宙速度，B正确；
万有引力提供加速度Geq \f(Mm,r2)＝ma
解得a＝eq \f(GM,r2)
贴近地表运行的卫星的向心加速度近似等于地表的重力加速度，该卫星的轨道半径大于地球半径，所以该卫星向心加速度小于地面的重力加速度，D正确。
课时限时练
(限时：40分钟)
对点练1 开普勒三定律的理解和应用
1. (2020·湖南衡阳市第一次联考)2019年10月8日，瑞典皇家科学院在斯德哥尔摩宣布，将2019年诺贝尔物理学奖，一半授予美国普林斯顿大学吉姆·皮布尔斯，以表彰他“关于物理宇宙学的理论发现”，另外一半授予瑞士日内瓦大学的米歇尔·麦耶和瑞士日内瓦大学教授兼英国剑桥大学教授迪迪埃·奎洛兹，以表彰他们“发现一颗环绕类日恒星运行的系外行星”。若某一系外行星的半径为R，公转半径为r，公转周期为T，宇宙飞船在以系外行星中心为圆心，半径为r1的轨道上绕其做圆周运动的周期为T1，不考虑其他星球的影响。(已知地球的公转半径为R0，公转周期为T0)则有( )
A.eq \f(req \\al(3,1),Teq \\al(2,1))＝eq \f(Req \\al(3,0),Teq \\al(2,0))
B.eq \f(r3,T2)＝eq \f(Req \\al(3,0),Teq \\al(2,0))
C.该系外行星表面重力加速度为eq \f(4π2r1,Teq \\al(2,1))
D.该系外行星的第一宇宙速度为eq \r(\f(4π2req \\al(3,1),Teq \\al(2,1)R))
答案 D
解析 开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k，其中k与中心天体有关，系外行星、宇宙飞船、地球做圆周运动的中心天体均不同，故A、B错误；对宇宙飞船Geq \f(Mm,req \\al(2,1))＝meq \f(4π2,Teq \\al(2,1))r1＝man
解得an＝eq \f(4π2r1,Teq \\al(2,1))，GM＝eq \f(4π2req \\al(3,1),Teq \\al(2,1))，故C错误；
对系外行星的近地卫星Geq \f(Mm0,R2)＝m0eq \f(veq \\al(2,1),R)
解得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(4π2req \\al(3,1),Teq \\al(2,1)R))，故D正确。
2.(2020·安徽六安市省示范高中教学质检)国产科幻巨作《流浪地球》上映，开创了中国科幻电影的新纪元，打破了中国人不会拍摄科幻电影的魔咒，也引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论。其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系。假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为( )
A.8年 B.6年
C.4年 D.2年
答案 A
解析 由开普勒第三定律eq \f(R3,T2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R＋7R,2)))3,Teq \\al(2,1))，解得T1＝8年，选项A正确。
对点练2 万有引力定律的理解和应用
3.(多选)(2020·河南洛阳市一模)我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知万有引力常量，你可以完成以下哪项工作( )
A. 测出一个石块的质量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重力
B.测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量
C.从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度
D.测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度
答案 AD
解析 根据h＝eq \f(1,2)gt2 得g＝eq \f(2h,t2)，则月球表面上该石块的重力G′＝mg＝meq \f(2h,t2)，故A正确；一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，同样有竖直方向h＝eq \f(1,2)gt2，得g＝eq \f(2h,t2)，又根据任意一星球表面物体重力等于万有引力Geq \f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq \f(2hR2,Gt2)，因不知道月球半径，则求不出月球的质量，故B错误；从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，只能大体测出月球上石头的密度，但月球密度不一定与月球上石头的密度相同，故C错误；由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T))2R，得M＝eq \f(4π2R3,GT2)，又M＝ρeq \f(4,3)πR3，联立解得ρ＝eq \f(3π,gT2)，故D正确。
4.[2020·陕西渭南市教学质量检测(Ⅰ)]我国将于2020年年底前后发射嫦娥五号，实现区域软着陆及采样返回，完成探月工程“绕、落、回”三步走目标。嫦娥五号由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成，其中着陆器将进行月面软着陆，轨道器留在近月轨道绕月飞行。设着陆器月面着陆后以初速v0竖直向上弹射一小物体，小物体上升的最大高度为h，已知月球的半径R，则轨道器环月飞行的速度为( )
A.v0eq \r(\f(R,2h)) B.v0eq \r(\f(2R,h))
C.v0eq \r(\f(2h,R)) D.v0eq \r(\f(h,2R))
答案 A
解析 由竖直上抛运动可得veq \\al(2,0)＝2gh，所以月球表面的重力加速度为g＝eq \f(veq \\al(2,0),2h)
由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)
由黄金代换gR2＝GM
联立得v＝eq \r(gR)＝eq \r(\f(veq \\al(2,0),2h)·R)＝v0eq \r(\f(R,2h))，故选项A正确。
对点练3 天体质量和密度的计算
5.(多选)(2020·湖南怀化市上学期期末)卫星绕某行星做匀速圆周运动的速率的平方(v2)与卫星的轨道半径的倒数(eq \f(1,r))的关系如图1所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( )
图1
A.行星的半径为kb
B.行星的质量为eq \f(k,G)
C.行星的密度为eq \f(3b3,4πGk2)
D.行星的第一宇宙速度为eq \r(b)
答案 BCD
解析 卫星绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，
则有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v2＝GM·eq \f(1,r)
设行星的半径为R，由图知，当r＝R时，v2＝b，GM＝k，解得R＝eq \f(k,b)，故A错误；由上知，GM＝k，得行星的质量为M＝eq \f(k,G)，故B正确；行星的体积V＝eq \f(4,3)πR3，密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3b3,4πGk2)，故C正确；卫星在行星表面做匀速圆周运动时，运行速度为第一宇宙速度Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(b)，故D正确。
6.(多选)[2020·河南省九师联盟模拟(二)]2019年4月10日，数百名科学家发布了人类拍到的首张黑洞照片，如图2所示。理论表明，黑洞质量M和半径R的关系为eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知( )
图2
A.该黑洞的质量M＝eq \f(v2r,2G)B.该黑洞的质量M＝eq \f(v2r,G)
C.该黑洞的半径R＝eq \f(2v2r,c2)D.该黑洞的半径R＝eq \f(v2r,c2)
答案 BC
解析 设黑洞的质量为M，环绕天体的质量为m，根据万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，化简可得黑洞的质量为M＝eq \f(v2r,G)，故B正确，A错误；根据黑洞的质量M和半径R的关系eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，可得黑洞的半径为R＝eq \f(2GM,c2)＝eq \f(2v2r,c2)，故C正确，D错误。
对点练4 卫星运行参量的分析
7.(2020·全国卷Ⅲ，16)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A.eq \r(\f(RKg,QP)) B.eq \r(\f(RPKg,Q))
C.eq \r(\f(RQg,KP)) D.eq \r(\f(RPg,QK))
答案 D
解析 由题意可知“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的轨道半径为r＝eq \f(KR,P)，设月球的质量为M，地球的质量为QM，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的速率为v，“嫦娥四号”的质量为m，则一质量为m′的物体在地球表面满足Geq \f(QMm′,R2)＝m′g，而“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动满足Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(\f(RPg,QK))，选项D正确。
8.(2020·天津卷，2)北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )
图3
A.周期大 B.线速度大
C.角速度大 D.加速度大
答案 A
解析 近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项B错误；由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)，解得周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，所以地球静止轨道卫星的周期较大，选项A正确；由ω＝eq \f(2π,T)，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，选项C错误；由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝ma，解得加速度a＝Geq \f(M,r2)，所以地球静止轨道卫星的加速度较小，选项D错误。
9.(多选)(2020·江苏卷，7)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A.由v＝eq \r(gR)可知，甲的速度是乙的eq \r(2)倍
B.由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C.由F＝eq \f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq \f(1,4)
D.由eq \f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq \r(2)倍
解析 两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)，可得v＝eq \r(\f(GM,r))，则乙的速度是甲的eq \r(2)倍，选项A错误；由eq \f(GMm,r2)＝ma，可得a＝eq \f(GM,r2)，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误；由F＝eq \f(GMm,r2)，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的eq \f(1,4)，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2eq \r(2)倍，选项D正确。
答案 CD
10.(2020·山东卷，7)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g－\f(v0,t0))) B.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))
C.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g－\f(v0,t0))) D.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g＋\f(v0,t0)))
答案 B
解析 由Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值eq \f(g火,g)＝eq \f(M火Req \\al(2,地),M地Req \\al(2,火))＝0.1×22＝0.4，即火星表面的重力加速度g火＝0.4g。着陆器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由v0－at0＝0可得a＝eq \f(v0,t0)。由牛顿第二定律有F－mg火＝ma，解得F＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))，选项B正确。
11. (2020·海南省高考调研)2019年12月7日10时55分，我国在太原卫星发射中心用“快舟一号”甲运载火箭，成功将“吉林一号”高分02B卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量为M、引力常量为G，卫星与地心的连线在时间t(小于其运动周期)内扫过的面积为S，则卫星绕地球运动的轨道半径为( )
A.eq \f(4S2,GMt2) B.eq \f(2S,t\r(GM))
C.eq \f(GMt2,4S2) D.eq \f(t\r(GM),2S)
答案 A
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可知eq \f(GMm,r2)＝mω2r，根据几何关系可知，卫星与地心连线在时间t内扫过的面积S＝eq \f(ωt,2π)πr2，联立解得卫星绕地球的轨道半径r＝eq \f(4S2,GMt2)，故A正确，B、C、D错误。
12. (2020·辽宁大连市第一次模拟)如图5所示，已知地球半径为R，甲、乙两颗卫星绕地球运动。卫星甲做匀速圆周运动，其轨道直径为4R，C是轨道上任意一点；卫星乙的轨道是椭圆，椭圆的长轴长为6R，A、B是轨道的近地点和远地点。不计卫星间相互作用，下列说法正确的是( )
图5
A. 卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在B点的速度
B.卫星甲的周期大于卫星乙的周期
C.卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度
D.在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积一定等于卫星乙与地心的连线扫过的面积
答案 C
解析 如果卫星乙以B点到地心的距离为半径做匀速圆周运动时的线速度为vB，由公式Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))可知v甲C＞vB，卫星乙从B点减速做近心运动才能进入椭圆轨道，则卫星乙在B点的速度小于vB，所以卫星甲在C点的速度一定大于卫星乙在B点的速度，故A错误；由题意可知，卫星甲的轨道半径小于卫星乙做椭圆运动的半长轴，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知，卫星甲的周期小于卫星乙的周期，故B错误；如果卫星乙以A点到地心的距离为半径做匀速圆周运动时的线速度为vA，由公式Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))可知，v甲C＜vA，卫星乙从A点加速做离心运动才能进入椭圆轨道，则卫星乙在A点的速度大于vA，所以卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度，故C正确；由开普勒第二定律可知，卫星在同一轨道上运动时卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误。
13. (2020·广东汕头市第一次模拟)设想利用载人飞船探索行星，飞船上备有秒表、质量为m的物体P、测力计等实验器材。该飞船到达很靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后着陆，宇航员测得飞船绕行周期为T，物体P处于行星表面的重力为F。已知万有引力常量为G，根据这些已知量可计算出( )
A.该行星的自转周期
B.宇宙飞船的质量
C.飞船绕行时的轨道半径为R＝eq \f(FT2,4π2m)
D.该行星的平均密度为ρ＝eq \f(3π,GT)
答案 C
解析 根据题中条件不能求解该行星的自转周期以及宇宙飞船的质量，选项A、B错误；物体的质量为m，着陆后测量了物体重力F，所以行星表面的重力加速度g＝eq \f(F,m)，在靠近该行星表面的圆形轨道绕行时，重力等于万有引力mg＝Geq \f(Mm,R2)，万有引力等于向心力Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T))2R，由以上两式解得R＝eq \f(gT2,4π2)＝eq \f(FT2,4π2m)，选项C正确；该行星的平均密度为ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2)，选项D错误。
14.(2020·重庆市第二次调研抽测)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二。若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G。“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。求：
(1)“天宫一号”绕地心转一周的时间是多少？
(2)“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为多少？
答案 (1)2πeq \r(\f(（R＋h）3,gR2)) (2)eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R－d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋h))2,R3)
解析 (1)根据万有引力提供向心力得
eq \f(GMm,（R＋h）2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)
地球表面的物体受到的万有引力等于重力，即
mg＝eq \f(GMm,R2)
联立解得T＝2πeq \r(\f(（R＋h）3,gR2))。
(2)令地球的密度为ρ，对地球表面的物体g＝eq \f(GM,R2)
由于地球的质量为M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
所以重力加速度的表达式可写成
g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(Gρ·\f(4,3)πR3,R2)＝eq \f(4,3)πGρR
根据万有引力提供向心力eq \f(GMm,（R＋h）2)＝mg1
“天宫一号”的加速度为g1＝eq \f(GM,（R＋h）2)
eq \f(g1,g)＝eq \f(R2,（R＋h）2)
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故海底的重力加速度g2＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)
所以有eq \f(g2,g)＝eq \f(R－d,R)
所以eq \f(g2,g1)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R－d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋h))2,R3)。
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算
利用运行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时
ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
一、开普勒三定律
【自测1】 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案 B
解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，并没有找出其中的原因，而牛顿发现了万有引力定律。
二、万有引力定律
1.内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2.表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
4.天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
(2)基本关系式
Geq \f(Mm,r2)＝ma＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r)),mrω2→ω＝\r(\f(GM,r3)),mr（\f(2π,T)）2→T＝2π\r(\f(r3,GM)),mvω))
【自测2】 (2019·全国卷Ⅱ，14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
答案 D
解析 由万有引力公式F＝Geq \f(Mm,（R＋h）2)可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C选项；而F与h不是一次函数关系，排除A选项，D选项正确。
三、宇宙速度
1.第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
(2)第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
(4)第一宇宙速度的计算方法
由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(\f(GM,R))；
由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)。
2.第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。
3.第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。
【自测3】 (2019·北京卷，18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A.入轨后可以位于北京正上方
B.入轨后的速度大于第一宇宙速度
C.发射速度大于第二宇宙速度
D.若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D
解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的环绕速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。
命题点一 开普勒三定律的理解和应用
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
3.开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。
【例1】 (2020·山东省等级考试模拟卷)2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为( )
A.eq \r(3,\f(T2,Teq \\al(2,0))) R0 B.eq \r(\f(T3,Teq \\al(3,0))) R0
C.eq \r(3,\f(Teq \\al(2,0),T2)) R0 D.eq \r(\f(Teq \\al(3,0),T3)) R0
答案 A
解析 由开普勒第三定律可知eq \f(R3,T2)＝eq \f(Req \\al(3,0),Teq \\al(2,0))，可得R＝eq \r(3,\f(T2,Teq \\al(2,0)))R0，故A正确，B、C、D错误。
【变式1】 (2020·四川绵阳市第三次诊断)在地球同步卫星轨道平面内运行的低轨道卫星，其轨道半径为同步卫星轨道半径的eq \f(1,4)，则该低轨道卫星运行周期为( )
A.1 h B.3 h
C.6 h D.12 h
答案 B
解析 根据开普勒第三定律，有eq \f(Teq \\al(2,卫),Teq \\al(2,同))＝eq \f(（\f(1,4)r同）3,req \\al(3,同))
解得T卫＝eq \f(1,8)T同＝eq \f(1,8)×24 h＝3 h，选项B正确。
命题点二 万有引力定律的理解
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg。
2.星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2)。
3.万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。
(2)两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2)。
【例2】 (2020·全国卷Ⅰ，15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2 B.0.4
C.2.0 D.2.5
答案 B
解析 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝Geq \f(M地m,Req \\al(2,地))，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝Geq \f(M火m,Req \\al(2,火))，二者的比值eq \f(F火,F地)＝eq \f(M火Req \\al(2,地),M地Req \\al(2,火))＝0.4，B正确，A、C、D错误。
【变式2】 (2020·广东惠州市第三次调研)一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R。则飞船所在处的重力加速度大小( )
A.eq \f(Hg,R) B.eq \f(Rg,H＋R)
C.eq \f(R2g,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(H＋R))2) D.eq \f(H2g,R2)
答案 C
解析 忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列等式
在地球表面eq \f(GMm,R2)＝mg
在离地面的高度为H处eq \f(GMm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋H))2)＝mg′
解得g′＝eq \f(gR2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋H))2)
命题点三 天体质量和密度的计算
天体质量、密度的计算
【例3】 (2020·山东省等级考试第二次模拟)科学家麦耶(M.Mayr)和奎洛兹(D.Quelz)对系外行星的研究而获得2019年诺贝尔物理学奖。他们发现恒星“飞马座51”附近存在一较大的行星，两星在相互引力的作用下，围绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。已知恒星与行星之间的距离为L，恒星做圆周运动的半径为R、周期为T，引力常量为G。据此可得，行星的质量为( )
A.eq \f(4π2,GT2)R2L B.eq \f(4π2,GT2)RL2
C.eq \f(4π2,GT2)L2(L－R) D.eq \f(4π2,GT2)R2(L－R)
答案 B
解析 由题意可知，恒星与行星的周期、角速度相同，对恒星有Geq \f(Mm,L2)＝Meq \f(4π2,T2)R，解得行星的质量m＝eq \f(4π2RL2,GT2)，故B正确，A、C、D错误。
【变式3】 (2021·1月辽宁普高校招生适应性测试，8)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是( )
A.月球平均密度为eq \f(3v2,4πGR2) B.月球平均密度为eq \f(3v2r,4πGR3)
C.月球表面重力加速度为eq \f(v2,R) D.月球表面重力加速度为eq \f(v2r,R2)
答案 BD
解析 由万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得M＝eq \f(v2r,G)，
月球体积V＝eq \f(4,3)πR3，所以月球平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3v2r,4πGR3)，故B项正确，A项错误；由Geq \f(Mm,R2)＝mg且M＝eq \f(v2r,G)得g＝eq \f(v2r,R2)，故D项正确，C项错误。
【变式4】 (2020·山东淄博市4月第模拟)我国航空航天技术已居于世界前列。如图1所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ。已知万有引力常量G，下列说法正确的是( )
图1
A.轨道半径越大，周期越小
B.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
C.若测得周期和张角，可得到星球的质量
D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
答案 B
解析 根据开普勒第三定律可知eq \f(r3,T2)＝k，轨道半径越大，飞行器的周期越大，故A错误；设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T。对于飞行器，根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r，解得星球质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)，由几何关系有R＝rsin eq \f(θ,2)，若测得周期和张角，因为星球的半径和轨道半径均未知，则不能得到星球的质量，星球的平均密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)))\s\up12(3))，即若测得周期和张角，可得到星球的平均密度，故B正确，C错误；由上述分析可知，若测得周期和轨道半径可以得到星球质量，不能得到星球的平均密度，故D错误。
命题点四 卫星运行参量的分析
1.线速度：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)⇒v＝eq \r(\f(GM,r))
2.角速度：Geq \f(Mm,r2)＝mω2r⇒ω＝eq \r(\f(GM,r3))
3.周期：Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r⇒T＝2πeq \r(\f(r3,GM))
4.向心加速度：Geq \f(Mm,r2)＝ma⇒a＝eq \f(GM,r2)
结论：r越大，v、ω、a越小，T越大。
【例4】 (2021·1月重庆市学业水平选择性考试适应性测试，6)近地卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，若其轨道半径近似等于地球半径R，运行周期为T，地球质量为M，引力常量为G，则( )
A.近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为eq \f(2π2R,T2)
B.近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为eq \r(\f(R,GM))
C.地球表面的重力加速度大小近似为eq \f(M,GR2)
D.地球的平均密度近似为eq \f(3π,GT2)
答案 D
解析 由向心加速度公式可知，近地卫星绕地球运动的向心加速度大小an＝ω2R＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)R＝eq \f(4π2R,T2)，故A错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq \f(Mm,R2)＝eq \f(mv2,R)，解得近地卫星绕地球运动的线速度大小v＝eq \r(\f(GM,R))，故B错误；地球表面的重力等于万有引力，所以有mg＝Geq \f(Mm,R2)，地球表面的重力加速度大小为g＝eq \f(GM,R2)，故C错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq \f(Mm,R2)＝mrω2＝mReq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)，解得地球的质量为M＝eq \f(4πR3,GT2)，地球的平均密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3π,GT2)，故D正确。
【变式5】 (2021·1月河北学业水平选择性考试模拟演练，3)假定“嫦娥五号”轨道舱绕月飞行时，轨道是贴近月球表面的圆形轨道。已知地球密度为月球密度的k倍，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的n倍，则轨道舱绕月飞行的周期与地球同步卫星周期的比值为( )
A.eq \r(\f(k,n3)) B.eq \r(\f(n3,k))
C.eq \r(\f(k,n)) D.eq \r(\f(n,k))
答案 A
解析 嫦娥五号绕月飞行时，月球对其产生的万有引力提供向心力，Geq \f(M月m,req \\al(2,月))＝meq \f(4π2,Teq \\al(2,1))r月，地球同步卫星围绕地球运动时，万有引力提供向心力Geq \f(M地m′,n2req \\al(2,地))＝m′eq \f(4π2,Teq \\al(2,2))nr地；又因为M＝ρeq \f(4,3)πr3，且地球密度为月球密度的k倍；所以eq \f(T1,T2)＝eq \r(\f(M地,M月)·\f(req \\al(3,月),n3req \\al(3,地)))＝eq \r(\f(k,n3))，故A正确。
【变式6】 (多选)(2020·江苏南通市5月第二次模拟)我国发射了宇宙探测卫星“慧眼”，卫星携带了X射线调制望远镜，在离地550 km的轨道上观察遥远天体发出的X射线，为宇宙起源研究提供新的证据，则卫星的( )
A.角速度大于地球自转角速度
B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期大于同步卫星的周期
D.向心加速度小于地面的重力加速度
答案 ABD
解析 万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r
解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))
该卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，同步卫星相对地球静止，则T＜T同步＝T地球，选项C错误；
根据ω＝eq \f(2π,T)可知ω＞ω同步＝ω地球，A正确；
万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
解得v＝eq \r(\f(GM,r))
第一宇宙速度为卫星贴近地球表面运行的速度大小，该卫星的轨道半径大于地球半径，所以该卫星线速度小于第一宇宙速度，B正确；
万有引力提供加速度Geq \f(Mm,r2)＝ma
解得a＝eq \f(GM,r2)
贴近地表运行的卫星的向心加速度近似等于地表的重力加速度，该卫星的轨道半径大于地球半径，所以该卫星向心加速度小于地面的重力加速度，D正确。
课时限时练
(限时：40分钟)
对点练1 开普勒三定律的理解和应用
1. (2020·湖南衡阳市第一次联考)2019年10月8日，瑞典皇家科学院在斯德哥尔摩宣布，将2019年诺贝尔物理学奖，一半授予美国普林斯顿大学吉姆·皮布尔斯，以表彰他“关于物理宇宙学的理论发现”，另外一半授予瑞士日内瓦大学的米歇尔·麦耶和瑞士日内瓦大学教授兼英国剑桥大学教授迪迪埃·奎洛兹，以表彰他们“发现一颗环绕类日恒星运行的系外行星”。若某一系外行星的半径为R，公转半径为r，公转周期为T，宇宙飞船在以系外行星中心为圆心，半径为r1的轨道上绕其做圆周运动的周期为T1，不考虑其他星球的影响。(已知地球的公转半径为R0，公转周期为T0)则有( )
A.eq \f(req \\al(3,1),Teq \\al(2,1))＝eq \f(Req \\al(3,0),Teq \\al(2,0))
B.eq \f(r3,T2)＝eq \f(Req \\al(3,0),Teq \\al(2,0))
C.该系外行星表面重力加速度为eq \f(4π2r1,Teq \\al(2,1))
D.该系外行星的第一宇宙速度为eq \r(\f(4π2req \\al(3,1),Teq \\al(2,1)R))
答案 D
解析 开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k，其中k与中心天体有关，系外行星、宇宙飞船、地球做圆周运动的中心天体均不同，故A、B错误；对宇宙飞船Geq \f(Mm,req \\al(2,1))＝meq \f(4π2,Teq \\al(2,1))r1＝man
解得an＝eq \f(4π2r1,Teq \\al(2,1))，GM＝eq \f(4π2req \\al(3,1),Teq \\al(2,1))，故C错误；
对系外行星的近地卫星Geq \f(Mm0,R2)＝m0eq \f(veq \\al(2,1),R)
解得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(4π2req \\al(3,1),Teq \\al(2,1)R))，故D正确。
2.(2020·安徽六安市省示范高中教学质检)国产科幻巨作《流浪地球》上映，开创了中国科幻电影的新纪元，打破了中国人不会拍摄科幻电影的魔咒，也引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论。其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系。假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为( )
A.8年 B.6年
C.4年 D.2年
答案 A
解析 由开普勒第三定律eq \f(R3,T2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R＋7R,2)))3,Teq \\al(2,1))，解得T1＝8年，选项A正确。
对点练2 万有引力定律的理解和应用
3.(多选)(2020·河南洛阳市一模)我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知万有引力常量，你可以完成以下哪项工作( )
A. 测出一个石块的质量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重力
B.测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量
C.从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度
D.测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度
答案 AD
解析 根据h＝eq \f(1,2)gt2 得g＝eq \f(2h,t2)，则月球表面上该石块的重力G′＝mg＝meq \f(2h,t2)，故A正确；一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，同样有竖直方向h＝eq \f(1,2)gt2，得g＝eq \f(2h,t2)，又根据任意一星球表面物体重力等于万有引力Geq \f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq \f(2hR2,Gt2)，因不知道月球半径，则求不出月球的质量，故B错误；从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，只能大体测出月球上石头的密度，但月球密度不一定与月球上石头的密度相同，故C错误；由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T))2R，得M＝eq \f(4π2R3,GT2)，又M＝ρeq \f(4,3)πR3，联立解得ρ＝eq \f(3π,gT2)，故D正确。
4.[2020·陕西渭南市教学质量检测(Ⅰ)]我国将于2020年年底前后发射嫦娥五号，实现区域软着陆及采样返回，完成探月工程“绕、落、回”三步走目标。嫦娥五号由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成，其中着陆器将进行月面软着陆，轨道器留在近月轨道绕月飞行。设着陆器月面着陆后以初速v0竖直向上弹射一小物体，小物体上升的最大高度为h，已知月球的半径R，则轨道器环月飞行的速度为( )
A.v0eq \r(\f(R,2h)) B.v0eq \r(\f(2R,h))
C.v0eq \r(\f(2h,R)) D.v0eq \r(\f(h,2R))
答案 A
解析 由竖直上抛运动可得veq \\al(2,0)＝2gh，所以月球表面的重力加速度为g＝eq \f(veq \\al(2,0),2h)
由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)
由黄金代换gR2＝GM
联立得v＝eq \r(gR)＝eq \r(\f(veq \\al(2,0),2h)·R)＝v0eq \r(\f(R,2h))，故选项A正确。
对点练3 天体质量和密度的计算
5.(多选)(2020·湖南怀化市上学期期末)卫星绕某行星做匀速圆周运动的速率的平方(v2)与卫星的轨道半径的倒数(eq \f(1,r))的关系如图1所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( )
图1
A.行星的半径为kb
B.行星的质量为eq \f(k,G)
C.行星的密度为eq \f(3b3,4πGk2)
D.行星的第一宇宙速度为eq \r(b)
答案 BCD
解析 卫星绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，
则有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v2＝GM·eq \f(1,r)
设行星的半径为R，由图知，当r＝R时，v2＝b，GM＝k，解得R＝eq \f(k,b)，故A错误；由上知，GM＝k，得行星的质量为M＝eq \f(k,G)，故B正确；行星的体积V＝eq \f(4,3)πR3，密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3b3,4πGk2)，故C正确；卫星在行星表面做匀速圆周运动时，运行速度为第一宇宙速度Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(b)，故D正确。
6.(多选)[2020·河南省九师联盟模拟(二)]2019年4月10日，数百名科学家发布了人类拍到的首张黑洞照片，如图2所示。理论表明，黑洞质量M和半径R的关系为eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知( )
图2
A.该黑洞的质量M＝eq \f(v2r,2G)B.该黑洞的质量M＝eq \f(v2r,G)
C.该黑洞的半径R＝eq \f(2v2r,c2)D.该黑洞的半径R＝eq \f(v2r,c2)
答案 BC
解析 设黑洞的质量为M，环绕天体的质量为m，根据万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，化简可得黑洞的质量为M＝eq \f(v2r,G)，故B正确，A错误；根据黑洞的质量M和半径R的关系eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，可得黑洞的半径为R＝eq \f(2GM,c2)＝eq \f(2v2r,c2)，故C正确，D错误。
对点练4 卫星运行参量的分析
7.(2020·全国卷Ⅲ，16)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A.eq \r(\f(RKg,QP)) B.eq \r(\f(RPKg,Q))
C.eq \r(\f(RQg,KP)) D.eq \r(\f(RPg,QK))
答案 D
解析 由题意可知“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的轨道半径为r＝eq \f(KR,P)，设月球的质量为M，地球的质量为QM，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的速率为v，“嫦娥四号”的质量为m，则一质量为m′的物体在地球表面满足Geq \f(QMm′,R2)＝m′g，而“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动满足Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(\f(RPg,QK))，选项D正确。
8.(2020·天津卷，2)北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )
图3
A.周期大 B.线速度大
C.角速度大 D.加速度大
答案 A
解析 近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项B错误；由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)，解得周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，所以地球静止轨道卫星的周期较大，选项A正确；由ω＝eq \f(2π,T)，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，选项C错误；由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝ma，解得加速度a＝Geq \f(M,r2)，所以地球静止轨道卫星的加速度较小，选项D错误。
9.(多选)(2020·江苏卷，7)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A.由v＝eq \r(gR)可知，甲的速度是乙的eq \r(2)倍
B.由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C.由F＝eq \f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq \f(1,4)
D.由eq \f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq \r(2)倍
解析 两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)，可得v＝eq \r(\f(GM,r))，则乙的速度是甲的eq \r(2)倍，选项A错误；由eq \f(GMm,r2)＝ma，可得a＝eq \f(GM,r2)，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误；由F＝eq \f(GMm,r2)，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的eq \f(1,4)，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2eq \r(2)倍，选项D正确。
答案 CD
10.(2020·山东卷，7)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g－\f(v0,t0))) B.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))
C.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g－\f(v0,t0))) D.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g＋\f(v0,t0)))
答案 B
解析 由Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值eq \f(g火,g)＝eq \f(M火Req \\al(2,地),M地Req \\al(2,火))＝0.1×22＝0.4，即火星表面的重力加速度g火＝0.4g。着陆器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由v0－at0＝0可得a＝eq \f(v0,t0)。由牛顿第二定律有F－mg火＝ma，解得F＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))，选项B正确。
11. (2020·海南省高考调研)2019年12月7日10时55分，我国在太原卫星发射中心用“快舟一号”甲运载火箭，成功将“吉林一号”高分02B卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量为M、引力常量为G，卫星与地心的连线在时间t(小于其运动周期)内扫过的面积为S，则卫星绕地球运动的轨道半径为( )
A.eq \f(4S2,GMt2) B.eq \f(2S,t\r(GM))
C.eq \f(GMt2,4S2) D.eq \f(t\r(GM),2S)
答案 A
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可知eq \f(GMm,r2)＝mω2r，根据几何关系可知，卫星与地心连线在时间t内扫过的面积S＝eq \f(ωt,2π)πr2，联立解得卫星绕地球的轨道半径r＝eq \f(4S2,GMt2)，故A正确，B、C、D错误。
12. (2020·辽宁大连市第一次模拟)如图5所示，已知地球半径为R，甲、乙两颗卫星绕地球运动。卫星甲做匀速圆周运动，其轨道直径为4R，C是轨道上任意一点；卫星乙的轨道是椭圆，椭圆的长轴长为6R，A、B是轨道的近地点和远地点。不计卫星间相互作用，下列说法正确的是( )
图5
A. 卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在B点的速度
B.卫星甲的周期大于卫星乙的周期
C.卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度
D.在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积一定等于卫星乙与地心的连线扫过的面积
答案 C
解析 如果卫星乙以B点到地心的距离为半径做匀速圆周运动时的线速度为vB，由公式Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))可知v甲C＞vB，卫星乙从B点减速做近心运动才能进入椭圆轨道，则卫星乙在B点的速度小于vB，所以卫星甲在C点的速度一定大于卫星乙在B点的速度，故A错误；由题意可知，卫星甲的轨道半径小于卫星乙做椭圆运动的半长轴，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知，卫星甲的周期小于卫星乙的周期，故B错误；如果卫星乙以A点到地心的距离为半径做匀速圆周运动时的线速度为vA，由公式Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))可知，v甲C＜vA，卫星乙从A点加速做离心运动才能进入椭圆轨道，则卫星乙在A点的速度大于vA，所以卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度，故C正确；由开普勒第二定律可知，卫星在同一轨道上运动时卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误。
13. (2020·广东汕头市第一次模拟)设想利用载人飞船探索行星，飞船上备有秒表、质量为m的物体P、测力计等实验器材。该飞船到达很靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后着陆，宇航员测得飞船绕行周期为T，物体P处于行星表面的重力为F。已知万有引力常量为G，根据这些已知量可计算出( )
A.该行星的自转周期
B.宇宙飞船的质量
C.飞船绕行时的轨道半径为R＝eq \f(FT2,4π2m)
D.该行星的平均密度为ρ＝eq \f(3π,GT)
答案 C
解析 根据题中条件不能求解该行星的自转周期以及宇宙飞船的质量，选项A、B错误；物体的质量为m，着陆后测量了物体重力F，所以行星表面的重力加速度g＝eq \f(F,m)，在靠近该行星表面的圆形轨道绕行时，重力等于万有引力mg＝Geq \f(Mm,R2)，万有引力等于向心力Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T))2R，由以上两式解得R＝eq \f(gT2,4π2)＝eq \f(FT2,4π2m)，选项C正确；该行星的平均密度为ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2)，选项D错误。
14.(2020·重庆市第二次调研抽测)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二。若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G。“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。求：
(1)“天宫一号”绕地心转一周的时间是多少？
(2)“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为多少？
答案 (1)2πeq \r(\f(（R＋h）3,gR2)) (2)eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R－d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋h))2,R3)
解析 (1)根据万有引力提供向心力得
eq \f(GMm,（R＋h）2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)
地球表面的物体受到的万有引力等于重力，即
mg＝eq \f(GMm,R2)
联立解得T＝2πeq \r(\f(（R＋h）3,gR2))。
(2)令地球的密度为ρ，对地球表面的物体g＝eq \f(GM,R2)
由于地球的质量为M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
所以重力加速度的表达式可写成
g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(Gρ·\f(4,3)πR3,R2)＝eq \f(4,3)πGρR
根据万有引力提供向心力eq \f(GMm,（R＋h）2)＝mg1
“天宫一号”的加速度为g1＝eq \f(GM,（R＋h）2)
eq \f(g1,g)＝eq \f(R2,（R＋h）2)
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故海底的重力加速度g2＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)
所以有eq \f(g2,g)＝eq \f(R－d,R)
所以eq \f(g2,g1)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R－d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋h))2,R3)。
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算
利用运行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时
ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
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