热点强化练12　带电粒子在复合场中的运动

(时间：40分钟)

1. (2020·北京市丰台区二模)如图1所示，一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在电势差为U的加速电场中由静止释放，随后进入磁感应强度为B的有界匀强磁场中，射出磁场时速度方向与进入磁场时的速度方向夹角为θ＝30°，不计带电粒子的重力。求：

图1

(1)粒子刚进入磁场时的速度v；

(2)粒子在磁场中做圆周的运动半径R；

(3)有界磁场的宽度d。

答案　(1)　(2)　(3)

解析　(1)粒子在电场中加速运动，根据动能定理有

qU＝mv2，可得v＝。

(2)粒子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力

qvB＝m

可得R＝

(3)在磁场中，根据几何关系有d＝Rsin θ

可得d＝。

2.如图2所示，质量为m＝1 kg、电荷量为q＝5×10－2 C的带正电的小滑块，从半径为R

图2

＝0.4 m的固定光滑绝缘圆弧轨道上由静止自A端滑下。整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中。已知E＝100 V/m，方向水平向右，B＝1 T，方向垂直纸面向里，g取10 m/s2，求：

(1)滑块到达C点时的速度；

(2)在C点时滑块所受洛伦兹力；

(3)在C点滑块对轨道的压力。

答案　(1)大小为2 m/s，方向水平向左

(2)大小为0.1 N，方向竖直向下

(3)大小为20.1 N，方向竖直向下

解析　以滑块为研究对象，自轨道上A点滑到C点的过程中，受重力mg，方向竖直向下；静电力qE，方向水平向右；洛伦兹力F洛＝qvB，方向始终垂直于速度方向。

(1)滑块从A到C的过程中洛伦兹力不做功，由动能定理得mgR－qER＝mv

得vC＝＝2 m/s，方向水平向左。

(2)根据洛伦兹力公式得

F＝qvCB＝5×10－2×2×1 N＝0.1 N，由左手定则知方向竖直向下。

(3)在C点，由牛顿第二定律得FN－mg－qvCB＝m

得FN＝mg＋qvCB＋m＝20.1 N

由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力大小为20.1 N，方向竖直向下。

3.(2020·山西阳泉市上学期期末)如图3所示，直线PQ的左边为磁感应强度为B的匀强磁场，右边为电场强度为E的匀强电场。一带电荷量为q(q＞0)、质量为m的粒子从MN上的C点沿与MN成60°角的方向，以速度v射入匀强磁场，在磁场中发生偏转后从D点(图中未画出)垂直PQ进入匀强电场，最后到达MN上F点(图中未画出)，不计粒子重力，求：

图3

(1)从C点到F点所用的时间；

(2)到达F点时的动能。

答案　(1)　(2)mv2＋

解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，则

qvB＝m

 r＝

粒子在磁场中运动的周期为T＝＝

根据轨迹知粒子在磁场中做圆周运动的时间为

 t1＝T＝

粒子从D运动到F做类平抛运动，竖直方向做初速为零的匀加速直线运动，则

r＋rsin 30°＝at

a＝

解得 t2＝

故粒子从C点到F点所用的时间为

t＝t1＋t2＝。

(2)对粒子在电场中的运动过程，由动能定理有

qEr＝EkF－mv2

解得EkF＝mv2＋。

4.(2020·江苏南通市5月第二次模拟)如图4所示，x轴上方存在电场强度E＝1 000 V/m、方向沿－y轴方向的匀强电场，x轴与PQ(平行于x轴)之间存在着磁感应强度B＝2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量m＝2×10－8 kg、带电荷量q＝＋1.0×10－5 C的粒子，从y轴上(0，0.04 m)的位置分别以不同的初速度v0沿＋x轴方向射入匀强电场，不计粒子的重力。

图4

(1)若v0＝200 m/s，求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向；

(2)若粒子射入电场后都能经磁场返回，求磁场的最小宽度d；

(3)若粒子恰能经过x轴上x＝100 m的点，求粒子入射的初速度v0。

答案　(1)200 m/s　方向与x轴成45°角　(2)0.2 m

(3)见解析

解析　(1)设粒子第一次在电场中的运动时间为t，根据牛顿第二定律得qE＝ma

粒子做类平抛运动，在竖直方向y＝at2

vy＝at

末速度为v2＝v＋v

tan α＝

解得v＝200 m/s

方向与x轴成45°角。

(2)初速度为0的粒子最容易穿过磁场，qvyB＝m得

r＝0.2 m

要使所有带电粒子都返回电场，磁场的最小宽度

d＝0.2 m。

(3)对于不同初速度的粒子通过磁场的轨迹在x轴上的弦长不变，x1＝2rsin α＝2＝2＝0.4 m

设粒子第n次过x轴经过x＝100 m处，

满足x1＋nv0t＝x

其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…)，

则初速度v0＝ m/s，其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…)

或满足x1＋(n－1)v0t＝x，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)，则初速度v0＝ m/s，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)。