中考数学——二次函数与相似

这是一份中考数学——二次函数与相似，共41页。
（2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
（3）如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，，形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，已知直线与轴交于点，抛物线经过点，其顶点为，另一抛物线的顶点为，两抛物线相交于点．
（1）求点的坐标，并说明点在直线上的理由；
（2）设交点的横坐标为．
①交点的纵坐标可以表示为： 或 ，由此进一步探究关于的函数关系式；
②如图2，若，求的值．
3．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，点在点的左侧．
（1）如图1，当时，直接写出，两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），在直线上是否存在唯一一点，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧）．一次函数与抛物线交于、两点，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）点是线段上任意一点，过点作轴于点，过点作交抛物线于点．点位于直线下方，求的最大值及相应的点坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点．、是直线上两动点在的左侧），满足．是否存在以、、为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，为抛物线的顶点，直线与抛物线相交于，两点（点在点的下方）．
（1）当，时，求，两点坐标；
（2）当时，直线交抛物线的对称轴于点，交线段于点，求的最小值；
（3）当时，若点是抛物线上点关于对称轴的对称点，直线交对称轴于点，求证：．
6．在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当为等腰三角形时，求点的坐标；
（3）如图2，抛物线的顶点为，轴于点，是线段上一动点，是轴一个动点，若，请求出的取值范围．
7．如图抛物线交轴于、两点，交轴于点．
（1）若，求抛物线解析式．
（2）在（1）的条件下，将直线绕平面内一点旋转交抛物线于、两点，在左侧）若时，求、坐标．
（3）若对称轴交线段于，交于，动点在对称轴正半轴上运动，直线交于，设，且，求与之间的函数关系式．
8．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为线段上一点（不含、两点），过点作轴的平行线交抛物线于点，交于点，连接．若为等腰三角形．求点的坐标．
9．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线过点且与直线交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为轴上方抛物线上一点，若与的面积相等，求点的坐标；
（3）在线段上是否存在点，过作轴的垂线交抛物线于点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，已知抛物线；与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求点、点的坐标；
（2）当的面积为6时，若点的坐标为，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小，若存在，则求点的坐标（用含的式子表示）；若不存在，则请说明理由；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
二次函数与相似-大江
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．如图，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
（3）如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，，形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1），则：，，把、坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：①；
（2），则，即：，即可求解；
（3）分或等于两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1），则：，，
把、坐标代入抛物线方程，
解得抛物线方程为：①；
（2），
，即：，
设：点横坐标为，则点横坐标为，
点在直线上，
而所在的直线表达式为：，则，
则：直线所在的直线表达式为：，
则点，
把点坐标代入①，解得：或，
则点的坐标为或；
（3）①当时，
当在轴上方时，
如图2，设交轴于点，
，，又，，
△，
，
点，
直线过点、，则其直线方程为：②，
联立①②并解得：，
故点的坐标为，；
当在轴下方时，
如图2，过点作交于点，则，
，，
，
，
直线可以看成直线平移而得，其值为，
则其直线表达式为：，
设点，过点作轴交于点，作于点，
则点，，
，则，
即：，
解得：，则点，，
则直线的表达式为：③，
联立①③并解得：或3（舍去，
则点，；
②当时，
当在上方时，如图3，点为图2所求，
设交于点，
，，
，
由①知，直线的表达式为：，
设点，，
由，同理可得：，
故点，，则直线的表达式为：④，
联立①④并解得：或（舍去负值），
；
当在下方时，
同理可得：（舍去负值），
故点，．
故点的坐标为：或，或，或，．
【点评】本题是二次函数综合题，涉及到三角形相似、勾股定理运用等诸多知识点，是一道难度较大的题目．
2．如图1，已知直线与轴交于点，抛物线经过点，其顶点为，另一抛物线的顶点为，两抛物线相交于点．
（1）求点的坐标，并说明点在直线上的理由；
（2）设交点的横坐标为．
①交点的纵坐标可以表示为： 或 ，由此进一步探究关于的函数关系式；
②如图2，若，求的值．
【分析】（1）首先求得点的坐标，然后求得点的坐标，用表示出点的坐标后代入直线的解析式验证即可；
（2）根据两种不同的表示形式得到和之间的函数关系即可；过点作轴的垂线，垂足为，过点作于点，证得，然后用表示出点和点的坐标，根据相似三角形的性质求得的值即可．
【解答】解：（1）当时候，，
，
把代入，得
，
，
当时，
点在直线上；
（2）①或
由题意得，
整理得
．
②过点作轴的垂线，垂足为，过点作于点
，
又
又，，
，，
解得：
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，特别是本题中涉及到的用点的坐标表示有关线段的长更是解决本题的关键，在中考中出现的频率很高．
3．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，点在点的左侧．
（1）如图1，当时，直接写出，两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），在直线上是否存在唯一一点，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【分析】方法一：
（1）当时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点、的坐标；
（2）如答图2，作辅助线，求出面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点的坐标；
（3）“存在唯一一点，使得”的含义是，以为直径的圆与直线相切于点，由圆周角定理可知，此时且点为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得的值．需要另外注意一点是考虑直线是否与抛物线交于点，此时亦存在唯一一点，使得．
方法二：
（1）联立直线与抛物线方程求出点，坐标．
（2）利用面积公式求出点坐标．
（3）列出定点坐标，用参数表示，点坐标，利用两直线垂直的性质构建方程求出的值．
【解答】方法一：
解：（1）当时，抛物线解析式为，直线解析式为．
联立两个解析式，得：，
解得：或，
当时，；当时，，
，．
（2）设．
如答图2所示，过点作轴，交直线于点，则．
．
当时，．
面积最大值为，此时点坐标为，．
（3）设直线与轴、轴分别交于点、，
则，，，，．
在中，由勾股定理得：．
令，即，解得：或．
，．
Ⅰ、假设存在唯一一点，使得，如答图3所示，
则以为直径的圆与直线相切于点，根据圆周角定理，此时．
设点为中点，连接，则，．
．
，，
，
，即：，
解得：，
，
．
存在唯一一点，使得，此时．
Ⅱ、若直线过点时，此时直线与圆的交点只有另一点点，故亦存在唯一一点，使得，
将代入中，
可得，（舍去），
故存在唯一一点，使得，此时．
综上所述，或1时，存在唯一一点，使得．
方法二：
（1）略．
（2）过点作轴垂线，叫直线于，
设，则
，
，
，
当时，有最大值，
．
（3），
，
当时，，，
，，
当点和点重合时，将代入中，
可得，（舍去），
故存在唯一一点，使得，此时．
当点和点不重合时，
点在上，设，，
，
，
，
有唯一解，
△，
，故舍去），
．
综上所述，或1时，存在唯一一点，使得．
【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点，使得”的含义．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧）．一次函数与抛物线交于、两点，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）点是线段上任意一点，过点作轴于点，过点作交抛物线于点．点位于直线下方，求的最大值及相应的点坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点．、是直线上两动点在的左侧），满足．是否存在以、、为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线解析式求出点，坐标，联立，得出点坐标；
（2）过作轴，交延长线于，根据点在线段上，可设，利用相似三角形对应边成比例，设，用含、的代数式表示出点坐标，代入二次函数解析式，用的式子表示，表示坐标，表示，再求的最大值即可；
（3）先求出，再设，则，表示出，，以、、为顶点的直角三角形，分别讨论当、和时，用勾股定理逆定理列方程，即可求出点的坐标．
【解答】解：（1）令得：，
解得：，，
，，
将代入得：，
，
的解析式为，
联立，解得（舍，，
；
（2）过作轴，交延长线于，如图：
在线段上，
设，，
，
，
，
且，
，
，
由的解析式为知，，
，
，，
设，则，
，
代入得：，
解得：或，
点在下方，
，
，
，
，
设，则，
，
即时，的最大值为，
此时，；
方法二：设，
则直线为，
由得，
可知，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
此时，；
（3）存在，理由如下：
，
抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，相当于向右平移1个单位，再向上平移个单位，
，
由得，
，
设，则，
，，
①当时，如图：
，
，
解得，
，；
②当时，如图：
，
，
解得，
，；
③当时，如图：
，
，
解得或，
，或，
综上所述，坐标为，或，或，或．
【点评】本题主要是考察了二次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质，勾股定理，点的坐标求解，其中（3）要注意分类讨论，避免漏解．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，为抛物线的顶点，直线与抛物线相交于，两点（点在点的下方）．
（1）当，时，求，两点坐标；
（2）当时，直线交抛物线的对称轴于点，交线段于点，求的最小值；
（3）当时，若点是抛物线上点关于对称轴的对称点，直线交对称轴于点，求证：．
【分析】（1）将两函数解析式联立即可组成方程组，解方程组即可；
（2）设，，得出，即可求出最大值；
（3）设点、的坐标分别为，、，，设、的坐标分别为，，连接交于点，过点作轴交于点，如图2，则轴，得到方程②③④，将②、③、④代入①中，得即可．
【解答】解：（1）当，时，直线方程化为，
联立两方程可得，
解得，；
可知，，．
（2），
点的横坐标为3，
当，时，，
点的坐标为，
的解析式为，
过点作交于点，如图1，
，
设，，
，
当时，的最大值为．
的最小值为．
（3）设点、的坐标分别为，、，，设、的坐标分别为，
，
点、在直线与抛物线的交点，
，，
、是方程的两根．
，，
连接交于点，过点作轴交于点，如图2，
则轴，
，，
，
，
即，
，
整理得①，
，，
②，③，
点在直线上，
④，
将②、③、④代入①中，得，
定点的坐标为，
．
【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）要根据解析式组成的方程组的解是交点坐标解答；（2）要转化为二次函数最值问题解答；（3）根据平行线分线段成比例定理等知识解答，难度较大．
6．在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当为等腰三角形时，求点的坐标；
（3）如图2，抛物线的顶点为，轴于点，是线段上一动点，是轴一个动点，若，请求出的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）由待定系数法即可求得直线的解析式，再设，即可得，即可求得的长，然后分三种情况讨论，求点的坐标；
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式，然后根据的取值得到最小值．
【解答】解：（1）抛物线经过点、、，，，
，解得，．
故该抛物线解析式为：．
（2）令，
解得，，
即，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
故直线的解析式为；
设，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当时，则，
轴，
，
，
，
直线的解析式为，
解得或，
，
此时；
当时，则，
，
轴，
点的纵坐标为3，
代入得，，
解得或，
此时；
当时，，
，
解得或，
此时，；
综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或，
（3）如图2，由（1），
，
设，则，
取的中点，，
，
，
，
，
，
整理得，，
，
当时，，时，，
综上，的取值范围为：．
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
7．如图抛物线交轴于、两点，交轴于点．
（1）若，求抛物线解析式．
（2）在（1）的条件下，将直线绕平面内一点旋转交抛物线于、两点，在左侧）若时，求、坐标．
（3）若对称轴交线段于，交于，动点在对称轴正半轴上运动，直线交于，设，且，求与之间的函数关系式．
【分析】（1）由，可知，，则，由求，由对称轴检验的值，确定抛物线解析式；
（2）将直线旋转到的位置，使，，过点作轴，过点作，垂足分别为、，由旋转的性质可证，设，利用线段之间的关系表示点坐标，列方程求即可；
（3）连接、，由抛物线的对称性得，，结合已知可证，得，可证及，利用相似比求、的函数关系式．
【解答】解：（1），
，，，
由，得，
解得或，
又对称轴，
，
；
（2）如图，将直线旋转到的位置，使，，
过点作轴，过点作，垂足分别为、，
易证，
，，设，
则点横坐标为，纵坐标为，
，
解得，
，，，；
（3）如图，连接，，由抛物线的对称性可知，
由，得，
，
，根据抛物线对称性可知，
，，
，
，
即，
即，
当点在线段上时，同理可得．
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等、相似，探究抛物线的对称性等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
8．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为线段上一点（不含、两点），过点作轴的平行线交抛物线于点，交于点，连接．若为等腰三角形．求点的坐标．
【分析】根据抛物线的解析式求出、、三点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式．再设，则，，根据两点间的距离公式用表示出，及的长，再分，及三种情况进行讨论．
【解答】解：抛物线的解析式为，
，，．
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为．
如图，设，则，，
，
，
，
．
当为等腰三角形时，分三种情况：
①如果，那么，解得，
，；
②如果时，那么，解得或（舍去），
；
③如果时，那么，解得，
；
综上所述，或或，．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式、等腰三角形的性质等知识，在解答时要注意进行分类讨论．
9．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线过点且与直线交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为轴上方抛物线上一点，若与的面积相等，求点的坐标；
（3）在线段上是否存在点，过作轴的垂线交抛物线于点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先由直线的解析式确定点的坐标，在已知点坐标的情况下，利用待定系数法可确定抛物线的解析式．
（2）点、的坐标易知，那么、的倍数关系不难求出，那么在、中，分别以、为底进行讨论，若两三角形的面积相等，可确定点到轴、轴距离的比例关系（或边、边上的高的比例关系），首先根据这个关系设出点的坐标，再代入（1）的抛物线中即可确定该点的坐标．
（3）由于轴，即，显然有，若“以、、为顶点的三角形与相似”，只需在中找出一个直角即可，那么分两种情况讨论：
①，此时直线、直线的斜率乘积为，先确定直线的解析式，联立抛物线的解析式后可确定点的坐标；
②，由于轴，那么必有轴，因此只需将点的纵坐标代入抛物线的解析式中，进一步可确定点的坐标；
另外，需要注意的是点在线段上，求出结果后不要忘记根据这个条件对值进行取舍．
【解答】解：（1）由直线知：点、；
抛物线过点、，有：
，解得
抛物线的解析式：．
（2）由（1）知：、；
由题意知：，则：
，即：
可以设点的坐标为：或，或，代入抛物线的解析式中，有：
当点坐标为时，有：；解得：（舍，；
当点坐标为时，有：；解得：（舍，；
点的坐标为：，或，．
（3）轴，且，
，即；
若以、、为顶点的三角形与相似，那么：
①，如图①；
由于直线与直线垂直，且过点，所以：
直线；
联立抛物线的解析式，有：
，解得：、（舍；
将点横坐标代入直线中，得：；
，．
②，如图②；
轴，且，
轴，即 点、的纵坐标相同；
令，解得：（舍、；
将点横坐标代入直线中，得：；
，．
综上，存在符合条件的点，且坐标为，或，．
【点评】该题涉及到利用待定系数法确定函数解析式、三角形面积的解法、函数图象交点坐标的求法以及相似三角形的判定和性质等重点知识；（2）题中，能够由三角形的面积相等得出点横纵坐标的倍数关系是突破题目的关键；（3）题容易漏解，要注意根据不同情况分类讨论．
10．如图1，已知抛物线；与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求点、点的坐标；
（2）当的面积为6时，若点的坐标为，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小，若存在，则求点的坐标（用含的式子表示）；若不存在，则请说明理由；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1），令，则或，即可求解；
（2）点关于函数对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，则点为所求，即可求解；
（3）分、两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1），令，则或，
故点、的坐标分别为：、；
（2）存在，理由：
，令，则，故点，
的面积，解得：，
则抛物线的对称轴为：，
点关于函数对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，则点为所求，
将点、的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，当时，，
故点；
（3），故，
过点作轴于点；
①当时，
则，，
则直线的函数表达式为：，故点；
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：（舍去）或，
故点，
则，，
，
则，解得：（舍去负值），
故；
②当时，
则，，
则，
则，则点，，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：（舍去）或；
则点，
，则，
化简得：，
此方程无解；
综上，．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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