2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九上入学数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九上入学数学试卷，共26页。试卷主要包含了的倒数是，下列式子中，为最简二次根式的是，下列命题中，真命题的个数有等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的倒数是
A．B．C．D．
2．（3分）下面四个图形分别是低碳、节水、绿色食品和节能标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是
A．B．C．D．
3．（3分）新型冠状病毒的平均直径约为，用科学记数法表示该数据为
A．B．C．D．
4．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是
A．B．C．D．
5．（3分）端午节期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按8折优惠”．在此活动中，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒件，则应付款（元与商品件数（件之间的关系式是
A．B．C．D．
6．（3分）在同一坐标系内，函数和的图象大致如图
A．B．
C．D．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
8．（3分）高坪区今年有近6千名考生参加中考，为了解本次中考的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是
A．总体是全区近6千名考生
B．样本是被抽取的100名考生
C．个体是每位考生的数学成绩
D．样本容量是100名考生的数学成绩
9．（3分）下列命题中，真命题的个数有
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，则
A．25B．36C．40D．49
11．（3分）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，设平均每次降息的百分率为，则满足方程
A．B．
C．D．
12．（3分）已知某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的有
①；②； ③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知一组数据，，，1，3，6的中位数是1，则其众数为 ．
14．（3分）若方程的两个根分别为和，则 ．
15．（3分）若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是 度．
16．（3分）已知函数，当时，函数的最大值是2，则实数的取值范围是 ．
三．解答题（本大题共8个小题，17-22题每小题6分，第23、24题每小题6分，共52分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简再求值：，其中是不等式的一个负整数解．
19．（6分）如图，在中，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接交于点，连接．若，，求的长．
20．（6分）在2020年新冠病毒爆发期间，某校为了解学生防疫的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行网上问卷调查．根据调查结果，将学生的安全意识分为“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，“很强”层次所占圆心角的大小为 ．
（3）若该校共有3500名学生，现要对防疫的安全为“淡薄”、“一般”的学生进行强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数．
21．（6分）如图，点在的直径的延长线上，点在上，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
22．（6分）某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元个．经市场销售发现：售价为50元个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元个，且商场每周销售数量不得少于80个．
（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润（元与售价（元个）之间的函数关系式．
（2）当售价（元个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润（元最大？最大利润是多少？
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．且直线过点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当的面积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，、，，以为直径画圆，点为上一动点，
（1）判断坐标原点是否在上，并说明理由；
（2）若点在第一象限，过点作轴，垂足为，连接、，且，①求证：与相切；②当时，求线段的长；
（3）若点是的中点，试问随着的变化点的坐标是否发生变化，若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）的倒数是
A．B．C．D．
【分析】求一个数的倒数，即1除以这个数即可．
【解答】解：的倒数是．
故选：．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．
2．（3分）下面四个图形分别是低碳、节水、绿色食品和节能标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，故此选项符合题意；
、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（3分）新型冠状病毒的平均直径约为，用科学记数法表示该数据为
A．B．C．D．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键，注意：判断一个二次根式是最简二次根式，必须具备以下两个条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
5．（3分）端午节期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按8折优惠”．在此活动中，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒件，则应付款（元与商品件数（件之间的关系式是
A．B．C．D．
【分析】根据已知表示出买件礼盒的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可．
【解答】解：凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按8折优惠，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒件，
李明应付货款（元与礼盒件数（件的函数关系式是：，
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与办公用品件数的等式是解题关键．
6．（3分）在同一坐标系内，函数和的图象大致如图
A．B．
C．D．
【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【解答】解：由一次函数解析式为：可知，图象应该与轴交在正半轴上，故、、错误；
符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，得出直线交轴的正半轴是解题关键．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
．
故选：．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
8．（3分）高坪区今年有近6千名考生参加中考，为了解本次中考的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是
A．总体是全区近6千名考生
B．样本是被抽取的100名考生
C．个体是每位考生的数学成绩
D．样本容量是100名考生的数学成绩
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
【解答】解：．总体是全区近6千名考生的中考的数学成绩，故本选项不合题意；
．样本是被抽取的100名考生的中考的数学成绩，故本选项不合题意；
．个体是每位考生的数学成绩，故本选项符合题意；
．样本容量是100，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
9．（3分）下列命题中，真命题的个数有
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定和直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
②对角线相等且平分的四边形是矩形，原命题是假命题；
③对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题；
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，则
A．25B．36C．40D．49
【分析】由正方形的面积公式可知，，，在中，由勾股定理得，即，由此可求．
【解答】解：在中，，
又由正方形面积公式得，，，
．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．
11．（3分）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，设平均每次降息的百分率为，则满足方程
A．B．
C．D．
【分析】等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至．
【解答】解：经过一次降息，是，
经过两次降息，是，
则有方程．
故选：．
【点评】考查了列一元二次方程解应用题的问题，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言．
12．（3分）已知某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的有
①；②； ③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①函数的对称轴在轴右侧，则，而，则，故①错误；
②函数的对称轴为，函数和轴的一个交点是，则另外一个交点为，
当时，，故②错误；
③函数的对称轴为，即，故③错误；
④由②③得，，，故，而，即，故，故④正确；
故选：．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换等．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知一组数据，，，1，3，6的中位数是1，则其众数为 1 ．
【分析】根据中位数的定义，当数据有偶数个时，中位数即是正中间两个数的平均数，继而得出的值，再根据众数的定义即可求解．
【解答】解：数据个数是偶数个，且中位数为1，
，
则其众数为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题得关键是熟练掌握众数及中位数的定义．
14．（3分）若方程的两个根分别为和，则 ．
【分析】先根据根与系数的关系得到，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得，，
所以．
故答案为．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
15．（3分）若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是 60 度．
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【解答】解：设圆心角都度数为度，
扇形的面积，
解得：，
又，
．
故答案为：60．
【点评】此题考查了扇形的面积和弧长公式，解题的关键是掌握运算方法．
16．（3分）已知函数，当时，函数的最大值是2，则实数的取值范围是 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：函数，当时，函数的最大值是2，
当时，函数取得最大值，此时，
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三．解答题（本大题共8个小题，17-22题每小题6分，第23、24题每小题6分，共52分）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质等知识分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）先化简再求值：，其中是不等式的一个负整数解．
【分析】原式利用除法法则变形，约分后进行通分计算得到最简结果，求出不等式的解集确定出负整数解的值，代入计算即可求出值
【解答】解：
．
，
，
，
，
，
或或．
当时或时，分式无意义，
只能等于．
当时，原式．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则，正确确定不等式的解集是解本题的关键．
19．（6分）如图，在中，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接交于点，连接．若，，求的长．
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，可得．所以．又，即可证明四边形是矩形；
（2）根据四边形是矩形，和四边形是平行四边形，可以证明是等边三角形．再根据特殊角三角函数即可求出的长．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
．
．
又，，
四边形是矩形．

（2）解：四边形是矩形，
，，．
四边形是平行四边形，
，．
．
又，
是等边三角形．
，．
在中，．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．
20．（6分）在2020年新冠病毒爆发期间，某校为了解学生防疫的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行网上问卷调查．根据调查结果，将学生的安全意识分为“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 300 名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，“很强”层次所占圆心角的大小为 ．
（3）若该校共有3500名学生，现要对防疫的安全为“淡薄”、“一般”的学生进行强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数．
【分析】（1）由安全意识为“一般”的学生数除以所占的百分比得到抽取学生总数，再用总人数分别减去安全意识“淡薄”、“一般”、“很强”的人数，得出安全意识为“较强”的学生数，补全条形统计图即可；
（2）用乘以安全意识为“很强”的学生占的百分比即可；
（3）由安全意识为“淡薄”、“一般”的学生占的百分比的和，乘以3500即可得到结果．
【解答】解：（1）本次调查一共抽取的学生数是：（名；
安全意识为“较强”的学生数是：（人．
补全条形图如下：
故答案为：300；
（2）“很强”层次所占圆心角的大小为：．
故答案为：162；
（3）根据题意得：（人，
则全校需要强化安全教育的学生人数有875人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
21．（6分）如图，点在的直径的延长线上，点在上，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接．只需证明．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形的面积减去扇形的面积．
【解答】（1）证明：连接．
，，
．
，
．
．即，
是的切线．
（2）解：，
．
．
在中，
，
．
．
图中阴影部分的面积为： ．
【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．
22．（6分）某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元个．经市场销售发现：售价为50元个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元个，且商场每周销售数量不得少于80个．
（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润（元与售价（元个）之间的函数关系式．
（2）当售价（元个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润（元最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意可以直接写出与之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元个，且商场每周完成不少于80个的销售任务可以确定的取值范围；
（2）根据第（1）问中的函数解析式和的取值范围，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，得，
因此，利润与售价之间的函数关系式为，
（2）销售量不得少于80个，
，
，
，
，
，
，开口向下，对称轴为直线，
当时，随着的增大而增大，
当时，
，
因此，当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，明确题意、写出相应的函数解析式并确定自变量的取值范围是解题的关键．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．且直线过点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当的面积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点、的坐标，再由对称求得点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设，则，，由三角形的面积公式求得的面积关于的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得的值，进而得点的坐标；
（3）分三种情况：为直角顶点；为直角顶点；为直角顶点．分别得出点的坐标．
【解答】解：（1）令，得，
解得，
，
令，得，
，
点与点关于轴对称，
，
把、点坐标代入中，得
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）设，则，，
则，
的面积，
，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为；
（3）由（2）知，，，
当时，轴，则；
当时，轴，则；
当时，设，则，
即，
解得，，
或．
综上，存在以，，三点为顶点的三角形是直角三角形．其点坐标为或或或．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，、，，以为直径画圆，点为上一动点，
（1）判断坐标原点是否在上，并说明理由；
（2）若点在第一象限，过点作轴，垂足为，连接、，且，①求证：与相切；②当时，求线段的长；
（3）若点是的中点，试问随着的变化点的坐标是否发生变化，若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由．
【分析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）①连接并延长交于，过作于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
②根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，，于是得到结论；
（3）过点作轴于点，轴于点，由点是的中点，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，，推出四边形为正方形，于是得到结论．
【解答】解：（1）坐标原点在上，
理由：、，
点，点分别在轴和轴上，
以为直径画圆，，
坐标原点在上；
（2）①连接并延长交于，过作于，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；
②，
，，
，
轴，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
；
（3）不变，
理由：过点作轴于点，轴于点，
则四边形是矩形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
在与中，
，
，
，，
四边形为正方形，
设，
，
得，
．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
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