山东省烟台市龙口市2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷（五四学制）

这是一份山东省烟台市龙口市2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷（五四学制），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省烟台市龙口市七年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题纸上）
1．下面是青岛、济南、郑州、太原四个城市的地铁图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（　　）
A．2，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
3．下列说法正确的是（　　）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形
B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形
D．两个正三角形一定是全等图形
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是（　　）

A．AD B．DE C．AC D．BC
5．如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（　　）

A．175 B．575 C．625 D．700
6．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，发现DE＝AB．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．用尺规作图如图所示，首先以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；再是分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧交于D点，最后作射线AD．下列结论不正确的是（　　）

A．AF＝DF B．∠BAD＝∠CAD C．∠AFD＝∠AED D．DE＝DF
8．如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝30°，则∠BMC的度数为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．105°
9．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC，若CE＝1，则AE＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（　　）

A．4cm B．5cm C．cm D．cm
二、填空题（请把正确答案填在答题纸的相应位置上）
11．已知三角形的两边长分别为2和4，设第三边长为x，若x为整数，则适合的x值为 　 　．（写出一个即可）
12．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝　 　．

13．如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝　 　°．

14．将一张边长为8cm的正方形纸片经过折叠、打开、画线得到如图1所示一副七巧板，再将图1沿实线分割，拼成如图2所示一个“家”的图形，该图形中的小正方形（阴影部分）的面积为 　 　cm2．

15．一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的点A爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程为 　 　cm．

16．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 　 　．

三、解答题（请把解答过程写在答题纸的相应位置上）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为AB边上任意一点，过点D作DE∥AC，交BC于点E．△DBE是等腰三角形吗？说说你的理由．

18．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是BC边上的高，∠B＝40°，∠C＝68°．求∠DAE的度数．

19．尺规作图：已知线段a和∠α．作一个△ABC，使BC＝a，AC＝2a，∠BCA＝∠α．
要求：不写作法，保留作图痕迹．

20．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？

21．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且AE＝DE，∠A＝∠D．
（1）BE与CE相等吗？请说明理由；
（2）若∠BEC＝130°，求∠EBC的度数．

22．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，求△BDE的周长．

23．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；
（3）求△ABC的面积．

24．如图所示，一桥洞的上边是半圆，下边是长方形．已知半圆的直径为2m，长方形的另一边是1m．有一辆厢式小货车，高1.5米，宽1.6米，这辆小货车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．

25．如图①，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP，交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出它的度数；
（2）求何时△PBQ是直角三角形；
（3）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上向前运动，直线AQ、CP交于点M，请直接写出∠CMQ的度数．




参考答案
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题纸上）
1．下面是青岛、济南、郑州、太原四个城市的地铁图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形定义进行解答．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（　　）
A．2，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
解：A、22+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项正确；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．下列说法正确的是（　　）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形
B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形
D．两个正三角形一定是全等图形
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是（　　）

A．AD B．DE C．AC D．BC
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：∵∠C＝90°，
∴AC⊥BD，
∴△ABD的BD边上的高是AC，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高，掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
5．如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（　　）

A．175 B．575 C．625 D．700
【分析】根据两个正方形的面积计算正方形的边长，计算的边长即为直角三角形的两直角边，根据勾股定理可以计算斜边，即正方形A的边长，根据边长可以计算A的面积．
解：因为以两个直角边为边长的正方形面积为225，400，
则边长为和，
所以斜边长的平方＝+＝625，
正方形A的面积＝斜边长的平方，
故正方形A的面积为625，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形各边相等，各内角为直角的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中根据勾股定理求斜边长的平方是解本题的关键．
6．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，发现DE＝AB．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，由于∠ACB＝∠DCE，根据“SAS”即可证明△ABC≌△DEC．
解：由题意知CD＝CA，CE＝CB，
在△DCE和△ABC中，
，
∴△DCE≌△ABC（SAS）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”方法是解题的关键．
7．用尺规作图如图所示，首先以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；再是分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧交于D点，最后作射线AD．下列结论不正确的是（　　）

A．AF＝DF B．∠BAD＝∠CAD C．∠AFD＝∠AED D．DE＝DF
【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质得出答案．
解：由基本作图方法可得：AF＝AE，FD＝DE，
在△AFD和△AED中，
，
∴△AFD≌△AED（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，∠AFD＝∠AED，故选项B，C，D正确，不合题意；
无法得出AF＝DF，
故选项A错误，符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
8．如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝30°，则∠BMC的度数为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．105°
【分析】利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定义求出角的度数．
解：∵∠1＝30°，
∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣30°＝150°．
由折叠得：∠AMB＝∠BMA1，∠DMC＝∠CMD1，
∴∠BMA1+∠CMD1＝75°．
∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝30°+75°＝105°．
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
9．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC，若CE＝1，则AE＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等边三角形的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以求得CD、AC的长，从而可以得到AE的长．
解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC，
∴∠DAC＝30°，∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∵CE＝1，
∴CD＝2，
∴AC＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3，
故选：C．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（　　）

A．4cm B．5cm C．cm D．cm
【分析】由勾股定理求出AB，由折叠的性质得出∠DEB＝90°，AE＝BE＝AB＝5，在Rt△BDE中，由三角函数即可求出DE的长．
解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，tanB＝＝＝，
由折叠的性质得：∠DEB＝90°，AE＝BE＝AB＝5，
∴tanB＝＝，
∴DE＝BE＝×5＝（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
二、填空题（请把正确答案填在答题纸的相应位置上）
11．已知三角形的两边长分别为2和4，设第三边长为x，若x为整数，则适合的x值为 　3（或4或5）　．（写出一个即可）
【分析】首先根据三角形的三边关系定理确定出x的取值范围，再找出符合条件的偶数即可．
解：根据三角形的三边关系可得：4﹣2＜x＜4+2，
即2＜x＜6，
∵x为整数，
∴x＝3或4或5，
故答案为：3（或4或5）．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
12．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝　105°　．

【分析】根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出∠DCB和∠ACD即可．
解：如图所示：
∵MN垂直平分BC，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB
∵CD＝AC，∠A＝50°，
∴∠CDA＝∠A＝50°，
∵∠CDA＝∠DBC+∠DCB，
∴∠DCB＝∠DBC＝25°，∠DCA＝180°﹣∠CDA﹣∠A＝80°，
∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝25°+80°＝105°．
故答案为：105°．

【点评】本题考查基本作图、垂直平分线的性质、三角形的外角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝　90　°．

【分析】首先证明△COD≌△AOB，利用全等三角形的性质可得∠1＝∠BAO，进而可得答案．
解：由题意可得CO＝AO，BO＝DO，
在△COD和△AOB中，
∴△COD≌△AOB（SAS），
∴∠1＝∠BAO，
∵∠2+∠BAO＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90．

【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的判定方法和性质．
14．将一张边长为8cm的正方形纸片经过折叠、打开、画线得到如图1所示一副七巧板，再将图1沿实线分割，拼成如图2所示一个“家”的图形，该图形中的小正方形（阴影部分）的面积为 　8　cm2．

【分析】由图1的正方形的边长为8cm，可求正方形的对角线长，进而得出小正方形的边长，故可得出结论．
解：∵图1的正方形的边长为8cm，
∴正方形对角线长为8cm，
∴阴影小正方形的边长为2cm，
∴S＝2×2＝8（cm2）．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知七巧板中三角形、四边形各边的关系是解题的关键．
15．一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的点A爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程为 　10　cm．

【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
解：如图所示：

如图1所示：
4+4＝8（cm），
AB＝＝10（cm），
如图2所示：
4+6＝10（cm），
AB＝＝2（cm）．
∵10＜2，
∴爬行的最短路程是10cm，
故答案为：10．
【点评】此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
16．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 　75°或120°或15°　．

【分析】分三种情形分别求解即可．
解：∵△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
如图，有三种情形：

①当AC＝AD时，∠ADC＝＝75°．
②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
③当AC＝AD″时，∠AD″C＝＝15°，
故答案为：75°或120°或15°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（请把解答过程写在答题纸的相应位置上）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为AB边上任意一点，过点D作DE∥AC，交BC于点E．△DBE是等腰三角形吗？说说你的理由．

【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，利用平行线的性质可得∠C＝∠DEB，从而可得∠B＝∠DEB，然后利用等角对等边即可解答．
解：△DBE是等腰三角形，
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB，
∴∠B＝∠DEB，
∴DE＝DB，
∴△DBE是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是BC边上的高，∠B＝40°，∠C＝68°．求∠DAE的度数．

【分析】先根据角平分线的性质求出∠CAD的度数，再由∠C＝60°得出∠ADE的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵∠B＝40°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣68°＝72°，
∵AD是角平分线，∠BAC＝72°，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝36°．
∵∠C＝60°，∠ADE是△ACD的外角，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝40°+36°＝76°．
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣76°＝14°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
19．尺规作图：已知线段a和∠α．作一个△ABC，使BC＝a，AC＝2a，∠BCA＝∠α．
要求：不写作法，保留作图痕迹．

【分析】先作∠BCA＝∠α，在角的两边分别截取BC＝a，AC＝2a，然后连接AB即可．
解：如图所示，△ABC即为所求作的三角形．

【点评】本题考查了尺规作图——作三角形，熟练掌握作图方法是解题的关键．
20．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？

【分析】设旗杆在离底部x米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，此题得解．
解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．
∵AB＝x米，AB+AC＝16米，
∴AC＝（16﹣x）米．
在Rt△ABC中，AB＝x米，AC＝（16﹣x）米，BC＝8米，
∴AC2＝AB2+BC2，即（16﹣x）2＝x2+82，
解得：x＝6．
故旗杆在离底部6米的位置断裂．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．
21．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且AE＝DE，∠A＝∠D．
（1）BE与CE相等吗？请说明理由；
（2）若∠BEC＝130°，求∠EBC的度数．

【分析】（1）证明△ABE≌△DCE（ASA），即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论．
解：（1）BE＝CE，理由如下：
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（ASA），
∴BE＝CE；
（2）由（1）知，BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB+∠BEC＝180°，∠BEC＝130°，
∴∠EBC+∠ECB＝50°，
∴∠EBC＝25°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，求△BDE的周长．

【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用角平分线的性质得到ED＝CD，那么BD+ED＝BD+CD＝BC＝12，进而求得△BDE的周长．
解：在△ABC中，因为AC＝5，BC＝12，AB＝13，
所以AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
所以AC2+BC2＝AB2，
所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°．
因为AD平分∠CAB，DE⊥AB，
所以ED＝CD，
所以BD+ED＝BD+CD＝BC＝12．
在Rt△ADE和△Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
所以AE＝AC＝5，
所以BE＝AB﹣AE＝13﹣5＝8，
所以△BDE的周长＝BE+BD+ED＝8+12＝20．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．
23．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；
（3）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△A'B'C'；
（2）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′C交直线l于点P，即可使得△APC的周长最小；
（3）根据网格即可求△ABC的面积．
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；

（2）如图，点P即为所求；
（3）△ABC的面积＝2×4﹣2×1﹣1×4﹣1×3＝．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，轴对称﹣最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质，准确找到点P．
24．如图所示，一桥洞的上边是半圆，下边是长方形．已知半圆的直径为2m，长方形的另一边是1m．有一辆厢式小货车，高1.5米，宽1.6米，这辆小货车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．

【分析】设半圆的圆心为O，于是得到OA＝×1.6＝0.8（米）．过点A作直径的垂线，交半圆于点B，交长方形另一边于点C，根据勾股定理即可得到答案．
解：小货车能通过此桥洞，
理由：设半圆的圆心为O，OA＝×1.6＝0.8（米）．
过点A作直径的垂线，交半圆于点B，交长方形另一边于点C，
在Rt△OAB中，由勾股定理可得：AB2＝OB2﹣OA2，
即AB2＝12﹣0.82＝0.36．
所以AB＝0.6米，
所以BC＝AB+AC＝0.6+1＝1.6（米）．
由于1.6米＞1.5米，
所以小货车能通过此桥洞．

【点评】本题考查了勾股定理的应用：建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．
25．如图①，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP，交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出它的度数；
（2）求何时△PBQ是直角三角形；
（3）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上向前运动，直线AQ、CP交于点M，请直接写出∠CMQ的度数．


【分析】（1）由“SAS”可证△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ＝∠ACP，由外角的性质可求∠CMQ＝60°；
（2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解；
（3）由“SAS”可证△PBC≌△QCA，可得∠BPC＝∠MQC，由三角形内角和定理可求解．
解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°；
（2）设时间为t秒，则AP＝BQ＝t（厘米），PB＝（4﹣t）（厘米），
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，
∴t＝；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），
∴t＝；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
∵AP＝BQ，
∴BP＝CQ，
在△PBC与△QCA中，
，
∴△PBC≌△QCA（SAS），
∴∠BPC＝∠MQC，
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．