江苏省淮安市2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

2022-2023学年江苏省淮安市八年级（上）期中数学试卷

一、选择题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）

1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）如图，△ABD≌△ACE，若AE＝3，AB＝6，则CD的长度为（　　）

A．9 B．6 C．3 D．2

3．（3分）下列各组数中，是勾股数的一组是（　　）

A．6，7，8 B．3，4，5 C．0.6，0.8，1 D．2，4，5

4．（3分）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，则△ABC≌△DCB的理由是（　　）

A．AAS B．ASA C．HL D．SAS

5．（3分）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED'＝50°，则∠EFC等于（　　）

A．65° B．110° C．115° D．130°

6．（3分）下列命题：①等边对等角；②一个三角形中最多有一个角是钝角；③到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．是真命题的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．（3分）如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若AC＝5cm，DE＝2cm，则△ACD的面积为（　　）

A．2.5cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．10cm2

8．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

二、填空题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请把答案填写在答题卡相应位置．）

9．（3分）请用一个词语来评价你在数学课堂的听课表现 　   　．

10．（3分）如图，一块三角形玻璃板破裂成①，②，③三块，现需要买另一块同样大小的一块三角形玻璃，为了方便，只需带第 　   　块碎片比较好．

11．（3分）已知等腰三角形的一个底角为80°，则顶角的度数是 　   　．

12．（3分）如图，△ABC≌△DBC，∠ABC＝125°，∠DCB＝25°，则∠A＝　   　°．

13．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD＝2cm，那么AB＝　   　cm．

14．（3分）已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 　   　．

15．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝10，DB＝6，则BC长是 　   　．

16．（3分）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 　   　点．

17．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是　   　．

18．（3分）如图，点P为∠AOB内部任意一点，点P与点P1关于OA对称，点P与点P2关于OB对称，OP＝4，∠AOB＝45°，则△OP1P2的面积为 　   　．

三、解答题。（本大题共9小题，共6分）

19．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．

求证：△ABC≌△ADC．

20．（10分）如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．

21．（10分）如图所示的一块土地，测量得AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，∠ABC＝90°，求这块土地的面积．

22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F分别为垂足．

（1）求证：△DEF是等腰三角形．

（2）当∠A的度数为 　   　时，△DEF是等边三角形．

23．（10分）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'；

（2）直接写出△AB'C'的面积 　   　；

（3）在图中找出点P，使得PB+PC最小，并求出这个最小值．

24．（10分）如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．

（1）这个梯子底端B离墙有多少米？

（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．

25．（12分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．

（1）求∠BOC的度数；

（2）求∠AMN的周长．

26．（12分）阅读探索题：

（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线OM、ON于B、C两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．

求证：△AOB≌△AOC．

（2）请你参考以上方法，解答下列问题：

如图2，在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝40°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系并证明．

27．（14分）定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．

（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．

①如图1，若O为AB的中点，则射线OC　   　△ABC的等腰分割线；（填“是”或“不是”）

②如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交AC边于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度．

（2）如图3，△ABC中，CD为AB边上的高，F为AC的中点，过点F的直线l交AD于点E，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为M，N，BD＝3，AC＝5，且∠A＜45°．若射线CD为△ABC的“等腰分割线”，求CM+DN的最大值．

2022-2023学年江苏省淮安市八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）

1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．

【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；

B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A．

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

2．（3分）如图，△ABD≌△ACE，若AE＝3，AB＝6，则CD的长度为（　　）

A．9 B．6 C．3 D．2

【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AC和AD的长，然后根据CD＝AC﹣AD，代入数据计算即可．

【解答】解：∵△ABD≌△ACE，AE＝3，AB＝6，

∴AD＝AE＝3，AC＝AB＝6，

∴CD＝AC﹣AD＝6﹣3＝3，

故选：C．

【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

3．（3分）下列各组数中，是勾股数的一组是（　　）

A．6，7，8 B．3，4，5 C．0.6，0.8，1 D．2，4，5

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

【解答】解：A、62+72≠82，不能构成直角三角形，不合题意；

B、32+42＝52，能构成直角三角形，符合题意；

C、三边长0.6，0.8，1不都是正整数，不是勾股数，不合题意；

D、22+42≠52，不能构成直角三角形，不合题意．

故选：B．

【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．

4．（3分）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，则△ABC≌△DCB的理由是（　　）

A．AAS B．ASA C．HL D．SAS

【分析】直角三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，根据HL推出两三角形全等即可．

【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，

在Rt△ABC和Rt△DCB中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），

故选：C．

【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形还有HL．

5．（3分）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED'＝50°，则∠EFC等于（　　）

A．65° B．110° C．115° D．130°

【分析】根据平角的定义计算出∠DED′＝130°，再根据折叠的性质得∠DEF＝∠D′EF，所以∠DEF＝∠DED′＝65°，根据平行线的性质即可求解．

【解答】解：∵∠AED′＝50°，

∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝180°﹣50°＝130°，

∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，

∴∠DEF＝∠D′EF，

∴∠DEF＝∠DED′＝×130°＝65°．

∵DE∥CF，

∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝115°．

故选：C．

【点评】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．

6．（3分）下列命题：①等边对等角；②一个三角形中最多有一个角是钝角；③到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．是真命题的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【分析】根据等腰三角形的性质对①进行判断；根据三角形内角和定理对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理对③进行判断．

【解答】解：等边对等角，所以①为真命题；

一个三角形中最多有一个角是钝角，所以②为真命题；

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以③为真命题．

故选：D．

【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

7．（3分）如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若AC＝5cm，DE＝2cm，则△ACD的面积为（　　）

A．2.5cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．10cm2

【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：过D作DF⊥AC于F，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，

∴DF＝DE＝2cm，

∴△ACD的面积＝AC•DF＝5×2＝5cm2，

故选：B．

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

8．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【分析】根据全等三角形的性质得出∠A＝∠DEB＝∠DEC，∠ADB＝∠BDE＝∠EDC，根据邻补角定义求出∠DEC、∠EDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．

【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，

∴∠A＝∠DEB＝∠DEC，∠ADB＝∠BDE＝∠EDC，

∵∠DEB+∠DEC＝180°，∠ADB+∠BDE+EDC＝180°，

∴∠DEC＝90°，∠EDC＝60°，

∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC

＝180°﹣90°﹣60°＝30°．

故选：A．

【点评】本题主要考查对全等三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义等知识，判断△DEC的直角三角形是解此题的关键．

二、填空题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请把答案填写在答题卡相应位置．）

9．（3分）请用一个词语来评价你在数学课堂的听课表现 　认真（答案不唯一）　．

【分析】根据平时知识的积累和课堂的表现做出解答即可．

【解答】解：请用一个词语来评价你在数学课堂的听课表现：认真（答案不唯一）．

故答案为：认真（答案不唯一）．

【点评】此题考查了数学常识，解题的关键是根据平时在课堂中的表现作出必要的回答．

10．（3分）如图，一块三角形玻璃板破裂成①，②，③三块，现需要买另一块同样大小的一块三角形玻璃，为了方便，只需带第 　③　块碎片比较好．

【分析】根据全等三角形的判定方法ASA即可判定．

【解答】解：只需带上③即可，因为③中，可以测量出三角形的两角以及夹边的大小，三角形的形状和大小是确定的，

故答案为：③．

【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，灵活运用所学知识是解题的关键．

11．（3分）已知等腰三角形的一个底角为80°，则顶角的度数是 　20°　．

【分析】由已知底角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出顶角的度数．

【解答】解：∵等腰三角形的底角为80°，

∴顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°．

故答案为：20°．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的底角相等是解题的关键．

12．（3分）如图，△ABC≌△DBC，∠ABC＝125°，∠DCB＝25°，则∠A＝　30　°．

【分析】根据全等三角形的性质定理得出∠ACB＝∠DCB＝25°，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．

【解答】解：∵△ABC≌△DBC，∠DCB＝25°，

∴∠ACB＝∠DCB＝25°，

∵∠ABC＝125°，

∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣25°﹣125°＝30°，

故答案为：30．

【点评】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．

13．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD＝2cm，那么AB＝　4　cm．

【分析】已知CD的长，则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得AB的长．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD＝2cm，

∴AB＝4cm．

故答案为：4．

【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

14．（3分）已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 　12　．

【分析】根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，即可得出答案．

【解答】解：由题意知，这个三角形为等边三角形，

∴周长为3×4＝12，

故答案为：12．

【点评】本题主要考查了等边三角形的判定，判断出此三角形是等边三角形是解题的关键．

15．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝10，DB＝6，则BC长是 　16　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，结合图形计算，得到答案．

【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA＝DC，

∴BC＝BD+DC＝BD+AD＝6+10＝16，

故答案为：16．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

16．（3分）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 　点D　点．

【分析】要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案．

【解答】解：

可以瞄准点D击球．

故答案为：点D．

【点评】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下．

17．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是　10　．

【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．

【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，

∵2+2＝4，

∴不能组成三角形，

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，

能组成三角形，

周长＝2+4+4＝10，

综上所述，它的周长是10．

故答案为：10．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．

18．（3分）如图，点P为∠AOB内部任意一点，点P与点P1关于OA对称，点P与点P2关于OB对称，OP＝4，∠AOB＝45°，则△OP1P2的面积为 　8　．

【分析】根据轴对称的性质，可得OP1、OP2的长度等于OP的长，∠P1OP2的度数等于∠AOB的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式解答即可．

【解答】解：∵点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，

∴OP1＝OP＝OP2＝4，且∠P1OP2＝2∠AOB＝90°．

∴△P1OP2是直角三角形，

∴△OP1P2的面积为×4×4＝8，

故答案为：8．

【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．

三、解答题。（本大题共9小题，共6分）

19．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．

求证：△ABC≌△ADC．

【分析】根据SSS证明全等即可．

【解答】证明：在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS）．

【点评】此题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是正确解答本题的关键．

20．（10分）如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．

【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠DEC，全等三角形对应边相等可得BC＝EC，根据等边对等角可得∠B＝∠BEC，从而得到∠BEC＝∠DEC，再根据角平分线的定义证明即可．

【解答】证明：∵△ABC≌△DEC，

∴∠B＝∠DEC，BC＝EC，

∴∠B＝∠BEC，

∴∠BEC＝∠DEC，

∴CE平分∠BED．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．

21．（10分）如图所示的一块土地，测量得AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，∠ABC＝90°，求这块土地的面积．

【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，再分别求出△CAD和△CBA的面积即可．

【解答】解：连接AC，

∵AB＝3m，BC＝4m，∠ABC＝90°

∴AC2＝BC2+AB2＝25，

∴AC＝5m，

∵CD＝13m，AD＝12m，

∴AC2+AD2＝CD2，

∴△CAD是直角三角形，

即∠CAB＝90°，

∴这块土地的面积S＝S△CAD﹣S△CAB

＝﹣

＝

＝24（m2），

答：这块土地的面积是24m2．

【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出△CAD是直角三角形是解此题的关键．

22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F分别为垂足．

（1）求证：△DEF是等腰三角形．

（2）当∠A的度数为 　120°　时，△DEF是等边三角形．

【分析】（1）连接AD，如图，先根据等腰三角形的“三线合一”得到AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到DE＝DF，然后根据等腰三角形的定义得到结论；

（2）由于∠AED＝∠AFD＝90°，则∠BAC+∠EDF＝180°，根据等边三角形的判定方法，当∠EDF＝60°，△DEF为等边三角形，从而得到此时∠BAC＝120°．

【解答】（1）证明：连接AD，如图，

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD平分∠BAC，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，

∴∠BAC+∠EDF＝180°，

∵△DEF是等腰三角形，

∴当∠EDF＝60°，△DEF为等边三角形，

此时∠BAC＝120°，

即∠BAC的度数为120°时，△DEF是等边三角形．

故答案为：120°．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质．

23．（10分）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'；

（2）直接写出△AB'C'的面积 　3　；

（3）在图中找出点P，使得PB+PC最小，并求出这个最小值．

【分析】（1）分别作出点B、C关于直线l的对称点即可得出答案；

（2）根据三角形的面积公式求解即可；

（3）连接BC′，与直线l的对称点即为所求，再根据勾股定理求解即可．

【解答】解：（1）如图所示，△AB'C'即为所求．

（2）△AB'C'的面积为×3×2＝3，

故答案为：3；

（3）如图所示，点P即为所求，PB+PC最小值为＝5．

【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．

24．（10分）如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．

（1）这个梯子底端B离墙有多少米？

（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．

【分析】（1）由题意得AC＝24米，AB＝25米，根据勾股定理可求出梯子底端离墙有多远．

（2）由题意得此时CD＝20米，由勾股定理可得出此时的CE．

【解答】（1）由题意知AB＝DE＝25米，AC＝24米，

在直角△ABC中，∠C＝90°，

∴BC2+AC2＝AB2，

∴米，

∴这个梯子底端离墙有7米；

（2）已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），

在直角△CDE中，∠C＝90°，

∴CD2+CE2＝DE2，

∴（米），

BE＝15﹣7＝8（米），

答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．

25．（12分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．

（1）求∠BOC的度数；

（2）求∠AMN的周长．

【分析】（1）根据三角形的内角和为180°及角平分线的定义即可得出答案；

（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得C△AMN＝AB+AC，进行计算即可解答．

【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣∠A，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A＝90°+40°＝130°；

（2）∵BO平分∠ABC，

∴∠ABO＝∠CBO，

∵MN∥BC，

∴∠MOB＝∠CBO，

∴∠ABO＝∠MOB，

∴MO＝BM，

同理可得，NO＝NC，

∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，

∵AB＝5，AC＝6，

∴AB+AC＝11，

∴△AMN的周长＝AB+AC＝11．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

26．（12分）阅读探索题：

（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线OM、ON于B、C两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．

求证：△AOB≌△AOC．

（2）请你参考以上方法，解答下列问题：

如图2，在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝40°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系并证明．

【分析】（1）根据以O为圆心任意长为半径作弧，交射线ON，OM为C，B两点，OP是∠MON的平分线，运用SAS判定△AOB≌△AOC即可；

（2）先截取CE＝CA，连接DE，根据SAS判定△CAD≌△CED，得出AD＝DE，由∠B＝∠EDB＝20°，得出ED＝EB，进而得出结论BC＝AC+AD；

【解答】（1）证明：在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC（SAS）．

（2）BC＝AC+AD．证明如下：

在CB上截取CE＝CA，

在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣120°＝20°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD，

在△ACD和△ECD中，

，

∴△ACD≌△ECD（SAS），

∴∠CAD＝∠CED＝40°，

∵∠B＝20°，

∴∠EDB＝20°，

即∠EDB＝∠B，

∴DE＝EB，

∵BC＝CE+BE，

∴BC＝AC+DE，

∴BC＝AC+AD．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系进行推导．

27．（14分）定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．

（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．

①如图1，若O为AB的中点，则射线OC　是　△ABC的等腰分割线；（填“是”或“不是”）

②如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交AC边于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度．

（2）如图3，△ABC中，CD为AB边上的高，F为AC的中点，过点F的直线l交AD于点E，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为M，N，BD＝3，AC＝5，且∠A＜45°．若射线CD为△ABC的“等腰分割线”，求CM+DN的最大值．

【分析】（1）①由直角三角形的性质得出OA＝OC＝OB，则可得出结论；

②设CP＝x，由勾股定理得出x2+62＝（8﹣x）2，解方程可得出答案；

（2）过点A作AG⊥l于点G．由勾股定理求出AD＝4，证明△CMF≌△AGF，由全等三角形的性质得出CM＝AG．由直角三角形的性质可得出DN≤DE，AG≤AE，则可得出答案．

【解答】解：（1）①∵Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，

∴OA＝OC＝OB，

∴射线OC是△ABC的等腰分割线，

故答案为：是；

②设PC＝x，则AP＝BP＝8﹣x，

在Rt△BCP中，PC2+BC2＝PB2，

∴x2+62＝（8﹣x）2，

解得x＝，

∴PC＝．

（2）如图3，过点A作AG⊥l于点G．

∵CD为AB边上的高，

∴∠CDB＝∠CDA＝90°．

∵∠A＜45°，

∴△CDA不是等腰三角形．

∵CD为△ABC的“等腰分割线”，

∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．

∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝3．

∵AC＝5

∴AD＝＝＝4，

∵CM⊥l于M，

∴∠CMF＝∠AGF＝90°．

∵F为AC的中点，

∴CF＝AF，

在△CMF和△AGF中，

∴△CMF≌△AGF（ASA），

∴CM＝AG．

在Rt△DEN和Rt△AEG中，∠CMF＝∠DNE＝90°，

∴DN≤DE，AG≤AE，

∴AG+DN≤AE+DE，

∴CM+DN≤AE+DE，

即CM+DN≤AD，

∴CM+DN≤4，

∴CM+DN的最大值为4．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．