浙江省丽水市青田县八校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省丽水市青田县八校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省丽水市青田县八校联考九年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列事件，是随机事件的是(    )A. 太阳从东方升起
B. 买一张体育彩票中奖
C. 两个负数相加，和是负数
D. 口袋中装有个红球，从中摸出一个白球抛物线的顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是(    )A.  B.  C.  D. 若二次函数配方后为，则的值分别为(    )A.  B.  C.  D. 已知，是抛物线图象上两点，则，的大小关系(    )A.  B.  C.  D. 无法确定把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线是(    )A.  B.
C.  D. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得，且点在上，交于点，则的度数为(    )
 A.   B.   C.   D.  如图，二次函数与一次函数的图象交于点和点，要使，则的取值范围是(    )
A.  B.
C.  D. 或如图，在圆中，弦，点在上移动，连接，过点做交圆于点，则的最大值为(    )A.
B.
C.
D. 二次函数的最大值是零，那么代数式的化简结果是(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）已知的半径为，点到圆心的距离是，则点与的位置关系是______．在，，，，五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数图象开口向上的概率是______．二次函数的图象经过点，则的值为______．如图，是的弦，长为，是上一个动点不与、重合过点作于点，于点，则的长为______．
 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点、，则点的坐标为____．已知点、是半径为的上两点，且，点是上一个动点，点是的中点，连接，则的最小值是______．
   三、解答题（本大题共8小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
甲、乙、丙、丁人聚会，吗，每人带了一件礼物，件礼物从外盒包装看完全相同，将件礼物放在一起．
甲从中随机抽取一件，则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是______；
甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，求甲、乙人抽到的都不是自己带来的礼物的概率．本小题分
已知抛物线经过点．
求的值及抛物线的顶点坐标；
当取什么值时，随着的增大而减小？本小题分
经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．由于该十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为．
假设平均每天通过该路口的汽车为辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．本小题分
如图，已知抛物线与坐标轴交于，，三点，其中，．
求该抛物线的表达式；
根据图象，直接写出时，的取值范围；
若要使抛物线与轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？
本小题分
“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为米时，水面下盛水筒的最大深度为米即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离．
求该圆的半径；
若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的米变为米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
本小题分
某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子，柱子顶端处装上喷头，由处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下如图所示若已知米，喷出的水流的最高点距水平面的高度是米，离柱子的距离为米．
求这条抛物线的解析式；
若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
本小题分
“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情，每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为元时，每天的销售量为瓶，若销售单价每降低元，则每天能多销售瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于元．
求每天的销售量瓶与销售单价元之间的函数关系式；
求每天的利润元与销售单价元之间的函数关系式；
该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是抛物线上的一个动点．
求直线的解析式；
当点在第一象限时，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、太阳从东方升起，是必然事件，故A不符合题意；
B、买一张体育彩票中奖，是随机事件，故B符合题意；
C、两个负数相加，和是负数，是必然事件，故C不符合题意；
D、口袋中装有个红球，从中摸出一个白球，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，有理数的加法，正数和负数，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：．
根据，顶点坐标是可得答案．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是．
 3.【答案】 【解析】解：设袋子中红球有个，
根据题意，得：，
解得，
袋子中红球的个数最有可能是个，
故选：．
设袋子中红球有个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出关于的方程，求出的值，从而得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 4.【答案】 【解析】解：，
又，
．
故选：．
可将的右边运用完全平方公式展开，再与比较，即可得出的值．
本题考查了二次函数的三种形式，两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等．
 5.【答案】 【解析】解：，
开口向上，对称轴是直线，
在对称轴的右侧随的增大而增大，
，是抛物线图象上两点，，
．
故选：．
求出二次函数的图象开口方向的对称轴，再根据二次函数的性质即可判断出与的大小关系．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：抛物线向右平移个单位，得：；
再向下平移个单位，得：．
故选：．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
本题主要考查的是二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，基础题
由旋转的性质可得≌，，由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理和三角形的外角性质可求的度数．

【解答】
解：，，
，
旋转，
≌，，
，
，
，
，
故选：．  8.【答案】 【解析】解：，
直线在抛物线的上方的部分为的取值范围，
根据图象可知当或时，直线在抛物线的上方，
或，
故选：．
根据图象找出直线在抛物线上方的部分即可．
本题主要考查函数与不等式之间的关键，要牢记函数值较大的图象在函数值较小的图象的上方．
 9.【答案】 【解析】解：如图，连接，
，
，
，
当的值最小时，的值最大，
时，最小，此时、两点重合，
，
即的最大值为，
故选：．
连接，根据勾股定理求出，利用垂线段最短得到当时，最小，根据垂径定理计算即可．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：二次函数的最大值是零，
，，
．
故选：．
根据二次函数的性质得到，，然后化简代数式．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上，有最大值；；当时，抛物线开口向下，有最大值．
 11.【答案】点在内 【解析】解：的半径为，点到圆心的距离为，
点到圆心的距离小于圆的半径，
点在内．
故答案为：点在内
直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
二次函数图象开口向上得出，从所列个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得．
【解答】
解：从，，，，五个数中随机选取一个数，共有种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有、、这种结果，
该二次函数图象开口向上的概率是，
故答案为．  13.【答案】 【解析】解：二次函数的图象经过点，
，
解得．
故答案为：．
把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到的值．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 14.【答案】 【解析】解：于点，于点，
，，
是的中位线，
；
故答案为：．
根据垂径定理得到，，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理，三角形中位线定理；熟练掌握垂径定理和三角形中位线定理是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：抛物线，
该抛物线的顶点的横坐标是，当时，，
点的坐标为：，
，
抛物线经过点、，轴，
，
，
，，，
，
，
，
点的坐标为，
故答案为：．
根据抛物线经过点、和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而写出点的坐标．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 16.【答案】 【解析】解：，
当取最大值时，有最小值，
是的中点，
，
的最大值为圆的直径，
的半径为，
的最大值为，
的最大值是，
与重合，
的最小值为，
故答案为．
根据三角形三边性质，因为是定值，所以当取最大值是最小，由的最大值为，即可得到与重合，所以的最小值为．
本题考查了点和圆的位置关系，三角形三边关系，确定是直径时，有最小值是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：甲抽到不是自己带来的礼物的概率为：；
故答案为：；
设甲、乙、丙、丁人的礼物分别记为、、、，
根据题意画出树状图如图：
一共有种等可能的结果，甲、乙人抽到的都不是自己带来的礼物的结果有个，
甲、乙人抽到的都不是自己带来的礼物的概率为．
根据概率公式计算即可得出答案；
画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 18.【答案】解：把代入得，
抛物线解析式为，
，
所以抛物线的顶点坐标为；
抛物线的对称轴为直线，
所以当时，随着的增大而减小． 【解析】把已知点的坐标代入中可求出，从而得到抛物线解析式为，通过解方程得抛物线与轴的交点坐标；
先求出抛物线的对称轴，然后利用二次函数的性质解决问题．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 19.【答案】解：汽车在此左转的车辆数为辆，
在此右转的车辆数为辆，
在此直行的车辆数为辆．
根据频率估计概率的知识，
得：汽车向左转，汽车向右转，汽车直行，
可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为秒，
右转绿灯亮的时间为秒，
直行绿灯亮的时间为秒． 【解析】用汽车总量乘以频率即可得出结果；
由频率估计概率，即可得出结果．
本题考查了频率估计概率；熟练掌握频率和概率之间的关系是解题的关键．
 20.【答案】解：把，代入，得
，
解得，
抛物线解析式为；

由图象知，当时，；

，
抛物线的顶点坐标为，
把抛物线向下平移个单位，抛物线与轴只有一个交点． 【解析】把点和点坐标分别代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可；
根据函数图象直接得到答案；
先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后把抛物线的平移问题转化为点的平移问题．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，待定系数法确定函数关系式等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用．
 21.【答案】解：如图，作于点，交圆于点，

则米，米，
设圆的半径为米，
在中，，
，
解得，
该圆的半径为米；
如上图，当米时，，
在中，，
，
米，
米，
答：水面下盛水筒的最大深度为米． 【解析】作于点，根据垂径定理得米，设圆的半径为米，根据勾股定理得，即可求出答案；
当米时，，根据勾股定理计算即可．
此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
 22.【答案】解：
设这条抛物线解析式为
由题意知：顶点为，为
，，．
所以这条抛物线的解析式为．

令，则，
解得，
所以若不计其它因素，水池的半径至少米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【解析】根据题意可设解析式为顶点式形式，由、两点坐标求解析式；
求水池半径即时求当时的值．
本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题求二次函数，再运用二次函数求最大值．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
 23.【答案】解：根据题意得：，
每天的销售量与销售单价之间的函数关系式为；
根据题意得：，
每天的利润与销售单价之间的函数关系式为；
，
销售单价不能低于成本且不高于元，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【解析】根据“当销售单价为元时，每天的销售量为瓶，若销售单价每降低元，则每天能多销售瓶”列出函数解析式即可．
根据“利润售价成本销售量”列出函数解析式；
把中的二次函数解析式转化为顶点式，利用二次函数图象的性质进行解答．
此题题考查二次函数的实际应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
 24.【答案】解：对于，令，则，令，解得或，
故点、、的坐标分别为、、，
点与点关于轴对称，故点，
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为；

连接，过点作轴的平行线交于点，

由点、的坐标，同理可得，直线的表达式为，
设点，则点，
则四边形面积，
，故四边形面积存在最大值，当时，四边形面积最大值为，此时点；

存在，理由：
当为直角时，如上图所示，
此时点与点重合，过点的坐标为；
当为直角时，
由的表达式知，直线与轴的倾斜角为，
当为直角时，即，则直线与轴负半轴的夹角为，
故设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得：，
故点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或． 【解析】对于，令，则，令，解得或，进而求解；
由四边形面积，即可求解；
分为直角、为直角两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．