广西柳州市六校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

2022-2023学年度广西柳州市六校高二上学期期中考试(数学)

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    直线的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知向量，若，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    空间直角坐标系中，已知两点，，则这两点间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    两条平行直线与间的距离等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.    平面直角坐标系中点到直线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    若直线：与直线互相平行，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.    圆与圆的位置关系为(    )

A. 内含 B. 外离 C. 相交 D. 外切

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.    已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是(    )

A. 若，则斜率 B. 若斜率，则
C. 若倾斜角，则 D. 若，则倾斜角

10. 以下命题正确的是(    )

A. 直线的方向向量为，直线的方向向量，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量，则
C. 两个不同平面，的法向量分别为，，则
D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则

11. 已知方程，下列叙述正确的是(    )

A. 方程表示的是圆． B. 当时，方程表示过原点的圆．
C. 方程表示的圆的圆心在轴上． D. 方程表示的圆的圆心在轴上．

12. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点为的中点，如图建系，则下列说法正确的有(    )
     

A.  B. 向量与所成角的余弦值为
C. 平面的一个法向量是 D. 点到直线的距离为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若，则          ．
14. 已知，，则线段中点的坐标为          ．
15. 如图所示，在直三棱柱中，若，，，则          用，，表示．
16. 如果直线与曲线有公共点，那么的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知直线经过点，倾斜角是，直线：．

求：直线的一般式方程    
直线与直线的交点坐标．

18. 本小题分

已知圆：．

求圆的圆心坐标及半径

若已知点，求过点的圆的切线方程．

19. 本小题分

如图，在三棱柱中，平面为线段的中点．

求证：；

求直线与平面所成角大小．

20. 本小题分

已知动点到点的距离是到点的距离的两倍．

求：动点的轨迹方程；

若为线段的中点，试求点的轨迹．

21. 本小题分
    如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．
    求证：平面；
    求二面角的大小．

22. 本小题分
    已知圆：，直线：，
    求证：直线恒过定点；
    判断直线被圆截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

解：直线化为斜截式方程为，
所以直线的斜率为．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】

解：已知向量，因为，
所以，解得．
故选B．  

3.【答案】 

【解析】

解：在空间直角坐标系中，，，
这两点间的距离．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】

解：两条平行直线与，
由平行直线间距离公式可知所求距离为．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】

解：直线，即，
点到直线的距离为．
故选B．

6.【答案】 

【解析】

解：若直线：与直线互相平行，
则，
解得，经检验，符合题意，
故．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

解：已知，
则．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】

解：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
两圆心之间的距离，
两圆外切．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】

解：因为直线与为两条不重合的直线，则下列选项：
若，则斜率，错误，可能直线斜率不存在；
若斜率，则，正确；
若倾斜角，则，正确；
若，则倾斜角，正确．
故选BCD．

10.【答案】 

【解析】

解：直线的方向向量为，直线的方向向量，
，则与不垂直，所以不正确．
直线的方向向量，平面的法向量，
，则，所以不正确；
两个不同平面，的法向量分别为，，
，则，所以C正确；
平面经过三点，，，
向量是平面的法向量，
可得：，则，所以D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

解：已知方程，
配方得，
若方程表示的是圆，则，从而，故A错误；
当时，方程为，原点在该方程上，故B正确；
方程表示圆时，圆心为，圆心在轴上，故 C正确，D错误．
故选BC．

12.【答案】 

【解析】

解：，，，，
所以，所以，故，A错误；

，B正确；

设，则，
，而，，
所以平面的一个法向量是，C正确；

，，
则，
所以，
故点到直线的距离为，故D正确．

故选：．

13.【答案】 

【解析】

解：因为，则．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

解：，，
设中点坐标为，
根据中点坐标公式可得，，，
则线段中点坐标为．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

解：由题意可知：．

故答案为．

16.【答案】 

【解析】

解：对于曲线，
设，则，
因此点是曲线上的点，
直线与曲线有公共点，
方程在区间上有解，
即，
，
可得，
，
即直线与曲线有公共点时，的取值范围是．
故答案为．

17.【答案】解：由题意得：直线的斜率 ，
又直线经过点，
所以直线的方程为， 
即；        
由题意，联立，   
解得
所以直线与直线的交点坐标为 

18.【答案】解：由圆，得，
所以圆心的坐标为，半径
当过点的直线的斜率不存在时，明显不成立
当过点的直线的斜率存在时，设方程为，
即，
由题意知，   
解得，
方程为，
故过点的圆的切线方程为． 

19.【答案】解：因为平面，，平面，
所以，，      
因为，，平面，，
所以平面，平面，所以．
因为在三棱柱中，，
所以．
又因为，所以四边形为正方形．
 连结，则．
又因为，平面，
所以平面．
因为平面，所以；
因为，，两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系，

可得，，，，，．
因为为线段上的中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设直线与平面所成角为，则
，，
因为，所以，
所以直线与平面所成角的大小为． 

20.【答案】 解：设动点，
由题意有，
则，
整理得，
经检验动点的轨迹方程为；
设点， ，
由题意得，即
因为在上，
所以：，整理得，  
经检验动点的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆． 

21.【答案】解：证明：，平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面，
，、平面，
平面平面，
平面，平面．
解：以为原点，分别以、、所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
，
设二面角的大小为，由图知为锐角，
，． 

22.【答案】证明：直线的方程可化为，
由，解得，
所以直线恒过定点；
解：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，
由得直线恒过定点，设定点为点，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
，
直线的斜率为，
由，解得，
此时直线的方程是，
圆心到直线的距离为，
所以最短弦长是．