南通市海门区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份南通市海门区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
南通市海门区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥12. 计算的结果是（    ）A. x2 B. x3 C. x5 D. x63. 下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 4. 线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（　　）A. a＝7，b＝24，c＝25 B. a＝，b＝4，c＝5C. a＝，b＝1，c＝ D. a＝40，b＝50，c＝605. 计算（15x2y﹣10xy2）÷5xy的结果为（    ）A. 3x﹣2xy B. 3xy﹣2y C. 3x﹣2y D. 3x2﹣2y26. 点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（       ）A.  B.  C.  D. 7. 在下列各项中，可以用平方差公式计算的是（  ）A. (2a+3b)(3a﹣2b) B. (a+b) (﹣a﹣b)C. (﹣m+n) (m﹣n) D. (a+b) (b﹣a)8. 如果把分式中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（    ）A. 扩大到原来的20倍 B. 缩小到原来的C. 扩大到原来的2倍 D. 不变9. 如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 410. △ABC中，，，高，则△ABC的面积为（   ）A. 66 B. 126 C. 54或44 D. 126或66二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 将数0.0002022用科学记数法表示为________．12. 分解因式：x2-16y2=_______.13. 等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为_____cm．14. 正十边形的每一个内角的度数为_______．15. 计算的结果是________．16. 一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是________尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．）17. 若m＞n＞0，且m2＝4mn﹣n2，则的值为________．18. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为_____cm．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：（1）（2）20. 计算：（1）（3x＋1）（x﹣2）；（2）4（x＋1）2﹣（2x＋5）（2x﹣5）．21. 计算（1） ；（2）．22. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD/BC．求证：AB＝CD，AD＝BC．23. 列方程解应用题：甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20min到达目的地．求甲、乙的速度．24. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，B C′与AD交于点E．（1）试判断重叠部分△BED的形状，并证明你的结论；（2）若BE平分∠ABD，BC＝12，求△BED的面积．25. 如图，△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），连接AD．（1）如图1，若BD＝CD，则S△ABD∶S△ACD＝        ；（2）如图2，若AD平分∠BAC，求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC；（3）如图3，若AD平分∠BAC，延长AD到E，使DE＝2AD，连接BE，如果AB∶AC＝3∶2，S△BDE ＝m，直接写出△ABC的面积（用含m的式子表示）．26. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．（1）下列3组分式：①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有        （只填序号）；（2）若正实数a，b互为倒数，求证与属于“友好分式组”；（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】解：由题意得，x－1≥0，解得x≥1．故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．2. 计算的结果是（    ）A. x2 B. x3 C. x5 D. x6【答案】D【解析】【分析】根据幂的乘方运算法则计算可得．【详解】解：，故选D．【点睛】本题主要考查幂的乘方运算，解题的关键是掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此对各选项一一判断即可．【详解】解：B、C、D均是轴对称图形，A不是轴对称图形．故选：A．【点睛】掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．4. 线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（　　）A. a＝7，b＝24，c＝25 B. a＝，b＝4，c＝5C. a＝，b＝1，c＝ D. a＝40，b＝50，c＝60【答案】D【解析】【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、42+52＝(）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、402+502≠602，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，5. 计算（15x2y﹣10xy2）÷5xy的结果为（    ）A. 3x﹣2xy B. 3xy﹣2y C. 3x﹣2y D. 3x2﹣2y2【答案】C【解析】【分析】根据多项式除以单项式的运算法则求解即可．【详解】解：（15x2y﹣10xy2）÷5xy，，，故选C．【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．6. 点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（       ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等，可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短，即可得出结论．【详解】∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，∴点P到OB的距离为5，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理以及垂线段最短，熟练掌握相关内容是解题的关键．7. 在下列各项中，可以用平方差公式计算的是（  ）A. (2a+3b)(3a﹣2b) B. (a+b) (﹣a﹣b)C. (﹣m+n) (m﹣n) D. (a+b) (b﹣a)【答案】D【解析】【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．【详解】选项A，(2a+3b)(3a﹣2b)，不符合平方差公式的结构特征，故不符合题意；选项B，(a+b) (﹣a﹣b)，不符合平方差公式的结构特征，故不符合题意；选项C，(﹣m+n) (m﹣n)，不符合平方差公式的结构特征，故不符合题意；选项D，(a+b) (b﹣a)，将(b﹣a)的负号提出去，即可符合平方差公式的结构特征，故正确；故选：D【点睛】本题考察了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．8. 如果把分式中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（    ）A. 扩大到原来的20倍 B. 缩小到原来的C. 扩大到原来的2倍 D. 不变【答案】D【解析】【分析】根据分式的性质，可得答案．【详解】把x和y都扩大20倍后，原式变为，即约分后仍为原式，分式的值不变．故选D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．9. 如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】先根据等腰三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，且AD平分，从而可得，然后根据角平分线的定义、平行线的性质可得，最后根据等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在中，，，是的中线，，且AD平分，，，是的角平分线，，，，，，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、角平分线的定义、平行线的性质、含的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．10. △ABC中，，，高，则△ABC的面积为（   ）A. 66 B. 126 C. 54或44 D. 126或66【答案】D【解析】【分析】把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况，如图1，2，利用勾股定理求出BC的长，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：由题意知，分两种情况求解：①如图1，在内部在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴；②如图2，在外部在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴；综上所述，的面积为66或126；故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 将数0.0002022用科学记数法表示为________．【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】解：，故答案为：【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12. 分解因式：x2-16y2=_______.【答案】(x+4y) (x-4y)【解析】【详解】试题解析：x2-16y2=x2-（4y）2=(x+4y) (x-4y).13. 等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为_____cm．【答案】15【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠B＝15°，根据三角形的外角性质可得∠DAC＝30°,根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，AB＝AC＝30cm，∠B＝15°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠B＝15°，∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，∴CDACAB＝15cm．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质以及含30°角的直角三角形，解题的关键是运用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半求解线段长．14. 正十边形的每一个内角的度数为_______．【答案】144°．【解析】【分析】根据正十边形的内角和是 ，即可得出结论．【详解】解：∵正十边形的内角和是 ，∴正十边形的每个内角的度数是 ，故答案为：．【点睛】本题考查了求正多边形的内角问题，正确掌握计算方法是解题的关键．15. 计算的结果是________．【答案】【解析】【分析】依据幂的运算法则、单项式乘单项式法则计算即可得出答案．【详解】．故本题答案为：【点睛】本题考查了整式的乘法运算，运算顺序和符号问题是本题的易错点．16. 一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是________尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．）【答案】【解析】【分析】设尺，则尺，利用勾股定理列方程，即可求解．【详解】解：如图所示，由题意知，，尺，丈＝10尺，设尺，则尺，由勾股定理得，，即，解得，即折断处离地面的高度是尺．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，得出AB和AC的数量关系是解题的关键．17. 若m＞n＞0，且m2＝4mn﹣n2，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据已知条件求得，，然后将所求的代数式转化为含有、的形式的代数式，并将，代入求值即可．【详解】解：∵m2＝4mn﹣n2，∴，∴，，∵m＞n＞0，∴，，∴．故答案为：．【点睛】考查了完全平方公式的运用、二次根式的运算，解题关键是根据已知条件得出，．18. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为_____cm．【答案】6【解析】【分析】过E点作EF⊥AB于点F，根据“AAS”证明△EBF≌△DBC，得出EF＝CD，根据∠CBD＝45°，∠C＝90°，得出∠CDB＝∠CBD＝45°，证明CD＝BC＝6cm，即可得出结果．【详解】解：过E点作EF⊥AB于点F，∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，∴BCAB＝6cm，∠ABC＝60°，∵△BDE为等边三角形，∴BE＝BD，∠EBD＝60°，∴∠EBD＝∠ABC＝60°，∵∠EBF＝∠EBD﹣∠ABD，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD，∴∠EBF＝∠DBC，∵在△EBF和△DBC中
，∴△EBF≌△DBC（AAS），∴EF＝CD，∵∠CBD＝45°，∠C＝90°，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∴CD＝BC＝6cm，∴EF＝6cm，即点E到AB边的距离为6cm．故答案为：6．【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识的综合运用，证明EF＝CD是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：（1）（2）【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）把12化成，化成，48化成，在把4，，16开方出来，最后合并．（2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数部分与部分．【小问1详解】．【小问2详解】．【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，最简二次根式．解决问题的关键是深刻理解最简二次根式的概念，熟练分解出能开得尽方的因式（因数），分母有理化因式（因数），合并同类二次根式．（1）先把各个根式化简，再合并最简同类二次根式．（2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数与无理数．20. 计算：（1）（3x＋1）（x﹣2）；（2）4（x＋1）2﹣（2x＋5）（2x﹣5）．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合并同类项进行化简；（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后去括号，合并同类项进行化简．【小问1详解】解：（3x＋1）（x﹣2） 【小问2详解】解：4（x＋1）2﹣（2x＋5）（2x﹣5） 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2是解题关键．21. 计算（1） ；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用乘法法则计算，约分即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；【详解】解：（1）；（2）．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD/BC．求证：AB＝CD，AD＝BC．【答案】答案见解析【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB，根据ASA推出△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质得出即可．【详解】证明：连接BD，∵ABCD，ADBC，∴∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB，在△ADB和△CBD中 ，∴△ADB≌△CBD，∴AD＝BC，AB＝CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是推出△ADB≌△CBD，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．23. 列方程解应用题：甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20min到达目的地．求甲、乙的速度．【答案】甲的速度km/h，乙的速度6km/h【解析】【分析】先根据甲乙的速度比分别设两者的速度，再根据时间×速度=路程表示出时间，根据时间差20min列方程求解．【详解】设甲的速度为，乙的速度为由题意，得解得则甲的速度，乙的速度答：甲的速度km/h，乙的速度6km/h．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解决此题的关键是用速度、时间、路程三者之间的关系表示出时间差建立方程．24. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，B C′与AD交于点E．（1）试判断重叠部分△BED的形状，并证明你的结论；（2）若BE平分∠ABD，BC＝12，求△BED的面积．【答案】（1）△BED是等腰三角形，证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由ADBC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，即可证明△BED是等腰三角形；（2）设DE=x，则BE=x，AE=12-x，由BE平分∠ABD和∠CBD=∠EBD，得出，进而得到，列方程即可求出DE，再利用勾股定理求出AB，利用三角形面积公式即可求解．【小问1详解】解：△BDE是等腰三角形，证明如下：由折叠可知，∠CBD=∠EBD，∵ADBC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，即△BDE是等腰三角形；【小问2详解】解：∵四边形ABCD是长方形，BC＝12，∴，，设DE=x，则BE=x，AE=12－x，∵BE平分∠ABD，∠CBD=∠EBD，∴∠ABE=∠CBD=∠EBD，又∵∠ABE＋∠CBD＋∠EBD=∠ABC=，∴，∴，即，解得，∴，，在Rt△ABE中，由勾股定理得：，即，解得，∴．【点睛】本题主要考查翻折变换、等腰三角形的判定、勾股定理、矩形的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，有一定综合性，难度一般，解题关键是由BE平分∠ABD和翻折的性质得出．25. 如图，△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），连接AD．（1）如图1，若BD＝CD，则S△ABD∶S△ACD＝        ；（2）如图2，若AD平分∠BAC，求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC；（3）如图3，若AD平分∠BAC，延长AD到E，使DE＝2AD，连接BE，如果AB∶AC＝3∶2，S△BDE ＝m，直接写出△ABC的面积（用含m的式子表示）．【答案】（1）    （2）见解析    （3）【解析】【分析】（1）利用“等高三角形面积比等于底边长度之比”即可求解；（2）利用角平分线的性质可得S△ABD中AB边上的高等于S△ACD中AC边上的高，再利用三角形面积公式即可证明；（3）利用（1）（2）的结论，结合已知条件可知，S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝3∶2，即可求解．【小问1详解】解：如图，作于点E．∵BD＝CD，∴S△ABD∶S△ACD，故答案为：；【小问2详解】证明：如图，作于点M，于点N．∵AD平分∠BAC，，，∴，∴S△ABD∶S△ACD；【小问3详解】解：∵DE＝2AD，∴，∴．∵AD平分∠BAC，AB∶AC＝3∶2，∴由（2）的结论可知S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝3∶2，∴，∴．【点睛】本题考查三角形面积公式以及角平分线的性质，掌握“等高三角形面积比等于底边长度之比”以及“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．26. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．（1）下列3组分式：①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有        （只填序号）；（2）若正实数a，b互为倒数，求证与属于“友好分式组”；（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．【答案】（1）②③    （2）证明见解析    （3）或【解析】【分析】（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入计算出结果即可； （3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可．【小问1详解】解：① ②；③则 ∴属于“友好分式组”的有②③．故答案为：②③【小问2详解】∵a，b互为倒数， ∴ab=1，，∴ ∴与属于“友好分式组”【小问3详解】∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，或把①代入把②代入∴的值为或【点睛】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．