宿迁市泗阳县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

宿迁市泗阳县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 下列各数中,无理数是（ ）

A. 0.121221222 B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，点(﹣1，2)在（   ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（　　）

A. 线段 B. 角 C. 等腰三角形 D. 正方形

4. 若，且，，则的度数为（    ）

A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°

5. 满足下列条件的不是直角三角形的是（    ）

A. ，， B.

C.  D.

6. 一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　）

A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间

7. 对于一次函数，下列结论错误的是（    ）

A. 函数值随自变量增大而增大 B. 函数图象与轴正方向成45°角

C. 函数图象不经过第四象限 D. 函数图象与轴交点坐标是

8. 如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）

A. AB=DC B. OB=OC C. ∠C=∠D D. ∠AOB=∠DOC

9. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D. 无法比较

10. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（    ）

A. 5 B. 25 C.  D. 5或

12. 如图，面积为3的等腰，，点、点在轴上，且、，规定把 “先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上）

13. 16的平方根是         ．

14. 点关于轴对称点的坐标为______．

15. 用四舍五入法把3.1415取近似数为__________．（精确到百分位）

16. 已知点在一次函数的图象上，则______．

17. 无理数可以用数轴上的点表示．如图，数轴上点A表示的数是______．

18. 在平面直角坐标系中，把直线向下平移2个单位后，得到的直线解析式为______．

19. 如图，在中，，把折叠，使、两点重合，得到折痕，若，则______．

20. 在平面直角坐标系中，已知，，，，（为常数且）．当最小时，______．

三、解答题（本大题共8题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21. （1）计算：

（2）已知，求的值．

22. 如图，，，求证：．

23. 已知与成正比例，且当时，．

（1）求与之间的函数表达式；

（2）当时，求的值．

24. 如图，高速公路上有A、B两点相距10km．C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等．

（1）在图中作出服务站E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求服务站E到B点的距离．

25. 如图，以矩形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，已知，，其中，满足，点从点出发沿以1cm/s的速度向点移动，同时点从点出发沿方向以1cm/s的速度向点移动，设运动时间为秒．

（1）______，______．

（2）当时，判断的形状，并说明理由．

26. 如图1，公路上依次有、、三个汽车站，，，一辆汽车8:00从离站10km的地出发，向站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达站时接到通知，要求中午12:00准时到达站．设汽车出发小时后离站，图2中折线表示接到通知前与之间的函数关系．

（1）根据图像可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/时；

（2）求线段所表示的与之间的函数关系式；

（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由．

27. 问题背景：如图1，在等边中，点为边上一个动点（点不与，重合），连接，把绕点顺时针旋转60°到，连接．探究、、之间的数量关系．小明同学的探究思路是：过点作，交边于点（如图2），易证是等边三角形，并且，所以，从而．

（1）结论应用：

①在图1中，若，，则______cm；

②在图1中，若，点为的中点，则的最小值为______cm；

（2）类比探究：如图3，若点为等边边延长线上一点，连接，把绕点顺时针旋转60°到，连接．若，，求的长．

（3）拓展延伸：如图4，是等腰直角三角形，，，点为边上一个动点（点不与、重合），连接，把绕点顺时针旋转90°到，连接．直接写出、、之间的数量关系．

28. 如图，已知直线分别与，轴交于点A、，与直线相交于点，点为直线上一点．

（1）______，______；

（2）若点在射线上，且，求点的坐标．

（3）若的面积为1，求点的坐标．

（4）点在函数的图像上，若的面积为（为常数且），试确定满足条件的点的个数（直接写出结果）．

答案与解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 下列各数中,无理数是（ ）

A. 0.121221222 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，找出无理数的个数．

【详解】解：是有限小数，属于有理数；

是分数，属于有理数；

．是无理数；

，是整数，属于有理数．

故选：C．

【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．

2. 在平面直角坐标系中，点(﹣1，2)在（   ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．

【详解】解：点（-1，2）的横坐标小于0，纵坐标大于0，点（-1，2）所在的象限是第二象限．
故选：B．

【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

3. 下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（　　）

A. 线段 B. 角 C. 等腰三角形 D. 正方形

【答案】D

【解析】

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】A、线段有2条对称轴，故此选项错误；

B、角有1条对称轴，故此选项错误；

C、等腰三角形有1条或3条对称轴，故此选项错误；

D、正方形有4条对称轴，故此选项正确；

故选D．

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确理解对称轴的含义．

4. 若，且，，则的度数为（    ）

A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形内角和的性质，计算得；再根据全等三角形的性质分析，即可得到答案．

【详解】∵，

∴

∵

∴

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形内角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形和三角形内角和的性质，从而完成求解．

5. 满足下列条件的不是直角三角形的是（    ）

A. ，， B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A、C，由三角形内角和可判定B、D，可得出答案．

【详解】A、当，，时，满足BC2+AB2=1+3=4=AC2，所以△ABC为直角三角形；

B、当∠A-∠B=∠C时，可设∠A+∠C=∠B，由三角形内角和定理可得∠B=90°，所以△ABC为直角三角形，

C、当BC：AC：AB=3：4：5时，设BC=3x，AC=4x，AB=5x，满足BC2+AC2=AB2，所以△ABC为直角三角形；

D、当∠A：∠B：∠C=3：4：5时，可设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，由三角形内角和定理可得3x+4x+5x=180，解得x=15°，所以∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，所以△ABC为锐角三角形，

故选：D．

【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，主要有①勾股定理的逆定理，②有一个角为直角的三角形．

6. 一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　）

A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间

【答案】B

【解析】

【详解】解：∵一个正方形的面积是15

∴该正方形的边长为

∵9＜15＜16

∴3＜＜4

故选：B．

7. 对于一次函数，下列结论错误的是（    ）

A. 函数值随自变量增大而增大 B. 函数图象与轴正方向成45°角

C. 函数图象不经过第四象限 D. 函数图象与轴交点坐标是

【答案】D

【解析】

【分析】根据一次函数性质逐项判断即可．

【详解】解：∵y=x+2中k=1＞0，

∴y随x的增大而增大，故A正确；

函数图象经过第一、二、三象限，故C正确；

令x=0可得y=2，令y=0可求得x=-2，

∴直线与x轴交于点（-2，0），与y轴交于点（0，2），

∴函数图象与x轴的正方向成45°角，故B正确，D错误；

故选：D．

【点睛】本题主要考查一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的图象与x轴、y轴的交点及函数的增减性．

8. 如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）

A. AB=DC B. OB=OC C. ∠C=∠D D. ∠AOB=∠DOC

【答案】B

【解析】

【详解】在△AOB和△DOC中，

，

∴△AOB≌△DOC（SAS），

则还需添加的添加是OB=OC，

故选：B．

【点睛】考点：全等三角形的判定．

9. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D. 无法比较

【答案】A

【解析】

【分析】根据一次函数的增减性进行判断．

【详解】解：∵，k=-<0，

∴y随x的增大而减小，

又∵点，在直线上，且-4<2，

∴y1>y2．

故选：A．

【点睛】考查了一次函数的性质，解题的关键是熟记一次函数的性质：一次函数y=kx+b，当k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大；当k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小．

10. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由图知：一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点为（0，2），且y随x的增大而增大，由此得出当x＞0时，y＞2，进而可得解．

【详解】根据图示知：一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点为（0，2），且y随x的增大而增大；

即当x＞0时函数值y的范围是y＞2；

因而当不等式kx+b-2＞0时，x的取值范围是x＞0．

故选：A．

【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次不等式，在解题时，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．

11. 已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（    ）

A. 5 B. 25 C.  D. 5或

【答案】D

【解析】

【分析】分情况讨论：①当边长为4的边作斜边时；②当边长为4的边作直角边时，利用勾股定理分别求解即可．

【详解】解：当边长为4的边作斜边时，第三条边的长度为；

当边长为4的边作直角边时，第三条边的长度为；

综上分析可知，这个三角形的第三条边的长为5或，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键．

12. 如图，面积为3的等腰，，点、点在轴上，且、，规定把 “先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据等腰三角形的面积和B(1，0)、C(3，0)；可得A(2，3)，然后先求出前几次变换A的坐标，进而可以发现第2021次变换后的三角形在x轴下方，且在第三象限，即可解决问题．

【详解】解：∵面积为3的等腰△ABC，AB=AC，B(1，0)、C(3，0)，

∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2，

∴A(2，3)，

∴第1次变换A的坐标为(-2，2)；

第2次变换A的坐标为(2，1)；

第3次变换A的坐标为(-2，0)；

第4次变换A的坐标为(2，-1)；

第5次变换A的坐标为(-2，-2)；

∴第2021次变换后的三角形在x轴下方，且第三象限，

∴点A的纵坐标为-2021+3=-2018，横坐标为-2，

所以，连续经过2021次变换后，△ABC顶点A的坐标为(-2，-2018)．

故选：A．

【点睛】本题考查了翻折变换，及点的坐标变化规律，等腰三角形的性质，坐标与图形对称、平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．

二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上）

13. 16的平方根是         ．

【答案】±4

【解析】

【详解】由（±4）2=16，可得16的平方根是±4，

故答案为：±4．

14. 点关于轴对称点的坐标为______．

【答案】

【解析】

【分析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点P（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（2，3）．

【详解】解：∵点P的坐标为(2，-3)，

∴点P关于x轴的对称点的坐标是(2，3)．

故答案为：(2，3)．

【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的性质是解题关键．

15. 用四舍五入法把3.1415取近似数为__________．（精确到百分位）

【答案】3.14

【解析】

【分析】由四舍五入法则解题．

【详解】将3.1415精确到百分位，取近似数为3.14，

故答案为：3.14．

【点睛】本题考查近似数，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．

16. 已知点在一次函数的图象上，则______．

【答案】1

【解析】

【分析】结合题意，将点代入到一次函数中，通过计算即可得到答案．

【详解】∵点在一次函数的图象上

∴

∴

故答案为：1．

【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．

17. 无理数可以用数轴上的点表示．如图，数轴上点A表示的数是______．

【答案】

【解析】

【分析】由勾股定理易知OB=，OA，OB均为弧的半径，所以OA=，即可得到A表示的数．

【详解】解：如图所示：

∵OB=，OA=OB

∴OA= ，

∵点A在负半轴，

∴A点表示的数是 ，

故答案为：．

【点睛】本题考查了实数与数轴上的点的一一对应，及勾股定理，熟悉实数与数轴上的点是一一对应关系是解题的关键．

18. 在平面直角坐标系中，把直线向下平移2个单位后，得到的直线解析式为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据直角坐标系和一次函数平移的性质计算，即可得到答案．

【详解】把直线向下平移2个单位，

平移后的直线解析式为：，

即，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一次函数平移的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数平移的性质，从而完成求解．

19. 如图，在中，，把折叠，使、两点重合，得到折痕，若，则______．

【答案】30°

【解析】

【分析】由折叠可知∠ADE=∠BDE=90°，∠A=∠ABE，根据角平分线的判定定理可知BE平分∠ABC，即可求解．

【详解】解：由题意可知，∠ADE=∠BDE=90°，∠A=∠ABE

又∵

∴DE⊥AB，EC⊥BC

又

∴BE平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE

∵ABE+∠CBE+∠A=90°

∴∠ABE=∠CBE=∠A=

故答案为：30°

【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理．

20. 在平面直角坐标系中，已知，，，，（为常数且）．当最小时，______．

【答案】1

【解析】

【分析】根据平面内两点间距离公式直接得出AC和BD，从平方的非负性可知，当m=1时AC和BD最小，即可求解．

【详解】解：根据两点间距离公式可得：

AC=

BD=

要使须AC和BD都最小，

所以当m=1时，AC和BD都最小，

故答案为：1.

【点睛】本题考查了两点间距离公式和进行完全平方公式配方，熟练运用两点间距离公式和配方是解题的关键．

三、解答题（本大题共8题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21. （1）计算：

（2）已知，求的值．

【答案】（1）3；（2）

【解析】

【分析】（1）原式利用零指数幂，立方根和二次根式的性质计算即可得到结果；

（2）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解．

【详解】解：（1）原式=1-3+5=3；

（2）方程变形得： ，

开方得： ．

【点睛】此题考查了实数的运算，平方根和立方根的定义，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22. 如图，，，求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】由“ASA”可证△ABO≌△DCO，可得结论．

【详解】证明：在△ABO和△DCO中，

，

∴△ABO≌△DCB（ASA），

∴AB＝DC．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．

23. 已知与成正比例，且当时，．

（1）求与之间的函数表达式；

（2）当时，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，设，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案；

（2）根据一次函数的性质计算，即可得到答案．

【小问1详解】

设

∵当时，

∴

∴

∴；

【小问2详解】

∵

∴当时，．

【点睛】本题考查了一次函数、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．

24. 如图，高速公路上有A、B两点相距10km．C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等．

（1）在图中作出服务站E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求服务站E到B点的距离．

【答案】（1）见解析    （2）BE=4

【解析】

【分析】（1）取AE=BC，利用SAS证明△AED≌△BCE，得DE=CE，即可确定服务站的位置；

（2）由（1）知，BC=AE=6km，可得BE=4km．

【小问1详解】

解：如图所示，取AE=BC，

∵AB=10km，DA=4km，CB=6km．

∴AE=BC=6km，则BE=AD=4km，

在△AED和△BCE中，

，

∴△AED≌△BCE（SAS），

∴DE=CE；

点E即为所求；

【小问2详解】

解：由（1）知，BC=AE=6（km），

∵A、B两点相距10km，

∴BE=4km，

∴服务站E到B点的距离为4km．

【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定与性质等知识，作图推导出AD=BE是解题的关键．

25. 如图，以矩形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，已知，，其中，满足，点从点出发沿以1cm/s的速度向点移动，同时点从点出发沿方向以1cm/s的速度向点移动，设运动时间为秒．

（1）______，______．

（2）当时，判断的形状，并说明理由．

【答案】（1），   

（2）是等腰直角三角形，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据非负数的非负性得出a、b的值；

（2）根据路程公式可得，，再证明，进一步可得即可．

【小问1详解】

解：∵，，

∴a-4=0，b-6=0

∴a=4，b=6

故答案为：4，6．

【小问2详解】

解：当时， 是等腰直角三角形，理由是：

当时，，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴是等腰直角三角形

【点睛】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据矩形的性质和全等三角形解答问题．

26. 如图1，公路上依次有、、三个汽车站，，，一辆汽车8:00从离站10km的地出发，向站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达站时接到通知，要求中午12:00准时到达站．设汽车出发小时后离站，图2中折线表示接到通知前与之间的函数关系．

（1）根据图像可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/时；

（2）求线段所表示的与之间的函数关系式；

（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由．

【答案】（1）80    （2）   

（3）汽车不能准时到达，理由见解析

【解析】

【分析】（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；

（2）根据题意求出点G的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；

（3）求出到达C地所行驶的时间即可求解．

【小问1详解】

解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为：90-10=80（千米/小时），

故答案为：80．

【小问2详解】

解：休息后按原速度继续前进行驶的时间为：

小时．

∴点G的坐标为（3．5，250）

设FG所表示的y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，则：

解得

∴函数关系式为(1．5≤x≤3．5)

【小问3详解】

解：接到通知后，汽车仍按原速度行驶，则全程所需时间为

(250-10+60)÷80+(1．5-1)=4．25（小时）

12∶00-8∶00=4（小时）

∵4．25>4

∴汽车不能准时到达．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

27. 问题背景：如图1，在等边中，点为边上一个动点（点不与，重合），连接，把绕点顺时针旋转60°到，连接．探究、、之间的数量关系．小明同学的探究思路是：过点作，交边于点（如图2），易证是等边三角形，并且，所以，从而．

（1）结论应用：

①在图1中，若，，则______cm；

②在图1中，若，点为的中点，则的最小值为______cm；

（2）类比探究：如图3，若点为等边边延长线上一点，连接，把绕点顺时针旋转60°到，连接．若，，求的长．

（3）拓展延伸：如图4，是等腰直角三角形，，，点为边上一个动点（点不与、重合），连接，把绕点顺时针旋转90°到，连接．直接写出、、之间的数量关系．

【答案】（1）①3；②   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）①作PE//AB，可知△PEC为等边三角形，再利用SAS证明△PEA≌△PCD，得CD=AE，从而得出AC=AE+EC=CD+PC；②由①知，∠AEP=∠PCD=120°，则∠ACD=60°为定角，可知当OD⊥CD时，OD最小，此时∠DOC=30°，从而得出答案；

（2）过点作，交边延长线于点，可得△CEP为等边三角形，再证△APE≌△DPC，得AE=CD，则有结论CD=AC+CP，计算即可；

（3）作PM//AB交AC于M，由①同理得△MPC为等腰直角三角形，△AMP≌△DCP，得AM=CD，则有结论．

【小问1详解】

解：①作PE∥AB，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠PEC=∠CPE=∠B=60°

∴△PEC为等边三角形

∴PE=PC

又∵∠APE+∠EPD=∠EPD+∠DPC=60°

∴∠APE=∠DPC

在△PEA与△PCD中，

∴△PEA≌△PCD(SAS)

∴CD=AE

∵PC=CE

∴AC=AE+EC=CD+PC

∵AC=5，CD=2

∴PC=AC-CD=3

故答案为：3；

②∵O为AC的中点

∴AO=CO==2（cm）

由①知，∠AEP=∠PCD=120°

∵∠ACB=60°

∴∠ACD=60°为定角，∵OC=2

∴当OD⊥CD时，OD最小

∴此时∠DOC=30°

∴CD= OC=1

∴OD=（cm）

故答案为： ．

【小问2详解】

解：如图，过点作，交边延长线于点，

则∠CPE=∠B=60°，∠E=∠BAC=60°

∴是等边三角形，

∴PC=PE=CE

∵绕点顺时针旋转60°到

∴∠APD=∠CPE=60°

∴∠CPD=∠APE

在△PCD和△PEA中

∴（SAS）

∴，

∴

【小问3详解】

解：作PM⊥AB交AC于M．如图，

∵△ABC是等腰直角三角形

∴△PMC是等腰直角三角形

∴MC=

∵∠PMC=45°

∴∠AMP=135°

又∵∠APM+∠MPD=∠MPD+∠DPC=90°

∴∠APM=∠DPC

在△AMP和△DCP中，

∴△AMP≌△DCP（SAS）

∴AM=CD

∵AC=AM+MC，AM=CD，MC=

∴

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，采取类比的方法是解题的关键．

28. 如图，已知直线分别与，轴交于点A、，与直线相交于点，点为直线上一点．

（1）______，______；

（2）若点在射线上，且，求点的坐标．

（3）若的面积为1，求点的坐标．

（4）点在函数的图像上，若的面积为（为常数且），试确定满足条件的点的个数（直接写出结果）．

【答案】（1），   

（2）   

（3）或   

（4）当时，点有4个，当时，点有3个；当时，点有2个

【解析】

【分析】（1）根据题意，将点代入到，通过计算得n，再根据一次函数的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案；

（2）根据题意，推导得，根据坐标和一次函数的性质，得点P纵坐标绝对值，设，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案；

（3）根据三角形面积关系、一次函数的性质，分点在BC上、点在AC上、在x轴下侧、y轴左侧四种情况分析，即可得到答案；

（4）过点A作轴，根据一次函数图象和绝对值的性质，得函数的图象关于直线对称；结合（3）的结论，分、、三种情况， 结合函数的图象的性质分析，即可得到答案．

【小问1详解】

解：∵直线与直线相交于点

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：，；

【小问2详解】

如图，

∵，，

∴，

∴点P和点C的纵坐标绝对值相等，符号相反，

∵，点P和点C均在直线上，

∴点P纵坐标绝对值，

设，

∴，

∴，

∴；

【小问3详解】

当点在BC上，如图：

∵直线与轴交于点，

∴当时，，即，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

设点横坐标为，

∴，

∴，

把代入直线，

得，

∴；

若点在AC上，如图，

∵直线与轴交于点A，

∴当时，，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

设点纵坐标为，

∴，

∴，

把代入直线，

得，

∴；

∵，

∴点在x轴下侧、或y轴左侧时，的面积为1不成立，

∴或；

【小问4详解】

根据（3）的结论，得：，

如图，过点A作轴，

函数的图像关于直线对称，

当时，，

∴点分别在线段BC和线段AC上，

如下图：

∵函数的图像关于直线对称，

∴点有4个；

当时，得：，

∴点在线段BC上或点和点重合，

如下图：

∵函数的图像关于直线对称，

∴点有3个；

当时，得：，

∴点在点C左侧，

∵函数的图像关于直线对称，

∴点有2个，

综上，当时，点有4个，当时，点有3个；当时，点有2个．

【点睛】本题考查了绝对值、轴对称、一次函数、一元一次方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图象、轴对称的性质，从而完成求解．