盐城市建湖县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份盐城市建湖县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
盐城市建湖县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 下面调查中，最适合采用普查的是（　　）A. 对全国中学生视力状况的调查B. 了解某市八年级学生身高情况C. 调查人们垃圾分类的意识D. 对“神舟十三号”飞船零部件的调查2. 已知实数a＜b，则下列事件中是随机事件的是（    ）A. 3a＞3b B. a﹣b＜0 C. a＋3＞b＋3 D. a2＞b23. 在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（　　）A. （﹣2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （2，﹣3）4. 用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是（　　）A. 1，2，3 B. 2，2，4 C. 3，4，5 D. 2，3，55. 在等腰三角形ABC中，若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　）A. 40° B. 55°C. 70° D. 40°或55°或70°6. 若式子有意义，则一次函数的图象可能是（    ）A.  B.  C.  D. 7. △ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为（　　）A. 6 B. 14 C. 6或14 D. 8或128. 如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回．设x小时后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则乙车的速度为（　　）A. 60千米/小时 B. 70千米/小时C. 75千米/小时 D. 80千米/小时二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）9. 下列实数：，0，﹣，﹣1.5，，26161161116……（每两个6之间依次增加一个1），其中无理数有 _______个．10. 学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的个班共名学生中，每班抽取了名进行分析，在这个问题中，样本的容量是________．11. 转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字_______的区域的可能性最大．12. 2021年10月8日，市场监管总局根据《中华人民共和国反垄断法》的规定，对美团在中国境内网络餐饮外卖平台服务市场滥用市场支配地位的行为处以34.42亿元的罚款，近似数34.42亿精确到_______位．13. 2021年4月8日，中国扬州世界园艺博览会在扬州仪征市开幕，本届博览会以“绿色城市，健康生活”为主题如图，是扬州世界园艺博览会部分导游图，若滩涂印象的坐标为（3，2），丛林野趣的坐标为（﹣2，﹣1），则中国馆的坐标为_______．14. 已知一次函数的图像经过点(2，3)，则的值为____15. 如图，OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B．若∠MAB＝20°，则∠AOB的度数为 _______°．
 16. 如图，在数轴上点P表示的实数是为_______．17. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠AED＝_______°．18. 在平面直角坐标系中，坐标原点O到一次函数y＝kx－3k＋4图像的距离的最大值为______三、解答题（本大题共有9小题，共76分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）19. （1）计算：；（2）求式中的x：．20. 如图，，求证：（1）；（2）．21. 在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1002003005008001000摸到黑球的次数m65118189310482602摸到黑球的频率0.650.590.630.620.6030.602（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近       （精确到0.1）；（2）试估计袋子中有黑球      个；（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为  50%，则可以在袋子中增加相同的白球       个或减少黑球       个22. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图．（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是       °．（3）这个小区有3000人，请你估计爱吃B种粽子的人数为       ．23. 已知y与x+2成正比例，当x＝3时，y＝﹣10．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当﹣2＜x≤1时，求y的取值范围．24. 已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．（1）①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；②过P作射线PD，使PDAC；（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）（2）若∠BPD＝32°，连接PC，则∠ACP＝        °．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．（1）求证：CD⊥AB；（2）求AC长．26. 某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？27. 如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E．（1）求直线l2的函数表达式；（2）试说明CD＝CE．（3）若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．
 
答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 下面调查中，最适合采用普查的是（　　）A. 对全国中学生视力状况的调查B. 了解某市八年级学生身高情况C. 调查人们垃圾分类的意识D. 对“神舟十三号”飞船零部件的调查【答案】D【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．【详解】解：A．对全国中学生视力状况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；B．了解某市八年级学生身高情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；C．调查人们垃圾分类的意识，适合抽样调查，故本选项不合题意；D．对“神舟十三号”货运飞船零部件的调查，适合普查，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．2. 已知实数a＜b，则下列事件中是随机事件的是（    ）A. 3a＞3b B. a﹣b＜0 C. a＋3＞b＋3 D. a2＞b2【答案】D【解析】【分析】依据不等式的性质，判断各选项是否成立，进而得出结论．【详解】解：A．由a＜b，可得3a＜3b，故3a＞3b是不可能事件，不合题意；B．由a＜b，可得a﹣b＜0，故a﹣b＜0是必然事件，不合题意；C．由a＜b，可得a＋3＜b＋3，故a＋3＞b＋3是不可能事件，不合题意；D．若a＜b，则a2＞b2不一定成立，故a2＞b2是随机事件，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了随机事件以及不等式的性质，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．3. 在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（　　）A. （﹣2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （2，﹣3）【答案】A【解析】【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】解：点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），            故选A．【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．4. 用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是（　　）A. 1，2，3 B. 2，2，4 C. 3，4，5 D. 2，3，5【答案】C【解析】【分析】设直角三角形的两直角分别为，斜边为，根据勾股定理可得：，由此可得两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，由此即可求解．【详解】解：设直角三角形的两直角分别为，斜边为，三个正方形的面积分别为、、根据勾股定理可得：可得两个小正方形的面积和等于大正方形的面积而C选项，不符合，选项错误，不符合题意，故选C【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．5. 在等腰三角形ABC中，若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　）A. 40° B. 55°C. 70° D. 40°或55°或70°【答案】D【解析】【分析】分三种情况，根据等腰三角形的性质分别计算，即可分别求得．【详解】解：当∠A是顶角时，，当∠A与∠B都是底角时，∠A=∠B=70°,当∠B是顶角时，，故∠B的度数是40°或55°或70°，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．6. 若式子有意义，则一次函数的图象可能是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出k的取值范围，再判断出及的符号，进而可得出结论．【详解】解：∵式子有意义，∴解得：k＞2，∴＞0, ＜0，∴一次函数的图象过一、三、四象限．故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．7. △ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为（　　）A. 6 B. 14 C. 6或14 D. 8或12【答案】C【解析】【分析】分两种情况，当BD与CE无重合，当BD与CE有重合．【详解】解：∵AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，∴AD＝BD，AE＝EC，分两种情况：当BD与CE无重合时，∵BC＝10，DE＝4，∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，当BD与CE有重合时，∵BC＝10，DE＝4，∴AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14，综上所述：AD+AE的值为：6或14．故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．8. 如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回．设x小时后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则乙车的速度为（　　）A. 60千米/小时 B. 70千米/小时C. 75千米/小时 D. 80千米/小时【答案】B【解析】【分析】设甲车的速度是a千米/小时，乙车的速度为b千米/小时，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可．【详解】解：设甲车的速度是a千米/小时，乙车的速度为b千米/小时，由题意，得，解得：故乙车的速度是70千米/小时，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找准等量关系，列出方程是解决本题的关键．二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）9. 下列实数：，0，﹣，﹣1.5，，26161161116……（每两个6之间依次增加一个1），其中无理数有 _______个．【答案】2【解析】【分析】根据无理数的概念，即无限不循环小数，依次判断即可得出答案．【详解】是分数，是有理数；0是有理数；﹣是无理数；﹣1.5是有理数；是有理数；26161161116……（每两个6之间依次增加一个1）是无理数．故有2个无理数．故答案为：2．【点睛】本题考查了无理数的概念，含根号的实数要判断是否能开得尽方是本题的关键．10. 学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的个班共名学生中，每班抽取了名进行分析，在这个问题中，样本的容量是________．【答案】20【解析】【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象.从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本最后再根据样本确定出样本容量.【详解】从八年级的4个班共160名学生中，每班抽取了5名进行分析，在这个问题中，样本的容量是20.故答案为：.【点睛】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.11. 转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字_______的区域的可能性最大．【答案】2【解析】【分析】分别求出每种情况的可能性，然后进行判断．【详解】解：指针落在标有1的区域内的可能性是；指针落在标有2的区域内的可能性是；指针落在标有3的区域内的可能性是；所以指针指向标有数字2的区域的可能性最大，故答案为：2．【点睛】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．12. 2021年10月8日，市场监管总局根据《中华人民共和国反垄断法》的规定，对美团在中国境内网络餐饮外卖平台服务市场滥用市场支配地位的行为处以34.42亿元的罚款，近似数34.42亿精确到_______位．【答案】百万【解析】【分析】这里以亿为单位，且保留到小数点后两位，即可知道精确到百万位．【详解】近似数34.42亿精确到百万位故答案为：百万．【点睛】本题考查了近似数，写出近似数精确到的数位，要注意的是这里的计数单位是亿，否则易出错．13. 2021年4月8日，中国扬州世界园艺博览会在扬州仪征市开幕，本届博览会以“绿色城市，健康生活”为主题如图，是扬州世界园艺博览会部分导游图，若滩涂印象的坐标为（3，2），丛林野趣的坐标为（﹣2，﹣1），则中国馆的坐标为_______．【答案】【解析】【分析】】直接利用滩涂印象的坐标为（3，2），丛林野趣的坐标为（﹣2，﹣1），建立平面直角坐标系进而得出答案．【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，则中国馆的坐标为：（4，﹣1）．故答案为：（4，﹣1）．【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．14. 已知一次函数的图像经过点(2，3)，则的值为____【答案】2.【解析】【分析】将点（2，3）代入y=kx+k-3可得关于k的方程，解方程求出k的值即可．【详解】将点(2,3)代入一次函数y=kx+k−3，可得：3=2k+k−3，解得：k=2.故答案为2.【点睛】本题考查了一次函数的性质.15. 如图，OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B．若∠MAB＝20°，则∠AOB的度数为 _______°．
 【答案】40【解析】【分析】利用角平分线的性质定理可知：，即可证明，利用三角形内角和可知，再利用四边形OAMB的内角和为即可求出．【详解】解：∵OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，∴，∵，∴，∴，∵四边形OAMB的内角和为，∴，故答案为：40【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，得到=．16. 如图，在数轴上点P表示的实数是为_______．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边的长为，将2向左平移个单位即可得到点P表示的实数．【详解】解：根据勾股定理得，∴点P表示的实数为．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．17. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠AED＝_______°．【答案】30【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，根据直角三角形的性质得到，进而得AC=AD=BD=CD=CE，由可求得∠CED=，于是得到结论．【详解】解：，，，，，，，，D为的中点，，，，，∴AC=AD=BD=CD=CE，∴∠DCE=∠B=30°，∵CD=CE，∴∠CED=，∴∠AED=∠CED-∠AEC=75°-45°=30°，故答案为30．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．18. 在平面直角坐标系中，坐标原点O到一次函数y＝kx－3k＋4图像的距离的最大值为______【答案】【解析】【分析】由，可得该一次函数经过定点，设该定点为P，则，当直线OP与直线垂直时，坐标原点O到一次函数的距离最大，求出线段OP的距离，即可得到答案．【详解】解： 当时， 一次函数y＝kx－3k＋4图像过定点 如图，当与直线垂直时，到直线的距离最大， 故答案为：【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（本大题共有9小题，共76分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）19. （1）计算：；（2）求式中的x：．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）利用实数的运算法则计算法则；（2）利用平方根解方程即可．【详解】解：（1）．（2）开平方得：∴或∴或故方程的解为：或 ．【点睛】本题考查实数的混合运算法则，利用平方根解方程，解题的关键是掌握运算法则及平方根解方程．20. 如图，，求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂直得到，求出，即可得到结果；（2）设交于，交于，根据全等三角形的性质得到，再根据已知条件转换即可；【详解】证明：，，，，，在和中，，；如图，设交于，交于，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确证明是解题的关键．21. 在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1002003005008001000摸到黑球的次数m65118189310482602摸到黑球的频率0.650.590.630.620.6030.602（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近       （精确到0.1）；（2）试估计袋子中有黑球      个；（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为  50%，则可以在袋子中增加相同的白球       个或减少黑球       个【答案】（1）0.6；（2）；（3）10；10．【解析】【分析】（1）观察表格中摸到黑球的频率可得结果；（2）用总数乘以黑球的频率即可得到结果；（3）根据摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，据此计算即可．【详解】解：（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，故答案为：0.6；（2）黑球有：个，故答案为：；（3）原来白球的数量为：50-30=20，摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，∴若保持黑球数量不变，则白球数量：20+10=30，若保持白球的数量不变，则黑球数为：30-10=20，∴要使摸到黑球的可能性大小为50%，则需要增加相同的白球10个，或减少黑球10个，故答案为：10；10．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．22. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图．（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是       °．（3）这个小区有3000人，请你估计爱吃B种粽子的人数为       ．【答案】（1）120    （2）108    （3）600【解析】【分析】（1）先计算出抽样调查的总人数，用总人数减去喜欢A，C，D种粽子的人数的和即可得到喜欢B种粽子的人数，从而补全统计图；（2）先求出D种粽子所占的百分比，然后360°×百分比即可求出D种粽子所在扇形的圆心角；（3）根据样本估计总体即可．【小问1详解】抽样调查的总人数：240÷40%=600（人），喜欢B种粽子的人数为：600-240-60-180=120（人），补全条形统计图，如图所示：
 【小问2详解】D种粽子所在扇形的圆心角是×360°=108°；故答案为：108；【小问3详解】爱吃B种粽子的人数为：3000×=600（人）．故答案为：600人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，体现了用样本估计总体的思想，计算出D种粽子所占的百分比是解题的关键．23. 已知y与x+2成正比例，当x＝3时，y＝﹣10．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当﹣2＜x≤1时，求y的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）设y与x的关系式为y＝k（x+2），把x＝3，y＝﹣10代入求出k值即可得出y与x的关系式；（2）求得x＝﹣2和1时的函数值，然后根据一次函数的性质即可得到答案．【小问1详解】设y与x的关系式为y＝k（x+2），把x＝3，y＝﹣10代入解析式得k（3+2）＝﹣10，解得k＝﹣2．故函数解析式为y＝﹣2x﹣4；【小问2详解】当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）﹣4＝0，当x＝1时，y＝﹣2×1﹣4＝﹣6，y的取值范围是﹣6≤y＜0．【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的关系式，一次函数的性质，求得其解析式是解题的关键．24. 已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．（1）①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；②过P作射线PD，使PDAC；（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）（2）若∠BPD＝32°，连接PC，则∠ACP＝        °．【答案】（1）①见详解；②见详解．    （2）32【解析】【分析】(1)①作线段AC的垂直平分线交AB于点P，连接PC，△PAC即为所求．②作∠CPB的角平分线即可．(2)根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可求出∠ACP的度数．【小问1详解】①如图，△PAC即为所求．②如图，射线PD即为所求．【小问2详解】∵PD//AC∴∠A=∠BPD=32°∵PA=PC∴∠ACP=∠A=32°故答案为：32【点睛】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是认真读题理解题意，灵活运用所学知识．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．（1）求证：CD⊥AB；（2）求AC长．【答案】（1）见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．【小问1详解】证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12，∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2，∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，∴CD⊥AB；【小问2详解】解：∵AB＝AC，∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5，∵∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2+CD2，∴（AD+5）2＝AD2+122，∴AD＝，∴AC＝+5＝．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．26. 某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）    （2）该商店购进A型25台，B型75台时，利润最大，最大利润为13750元【解析】【分析】（1）根据题意列出关系式y＝100x+150（100﹣x），整理即可；（2）利用“B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍”列不等式求出x的范围，再根据一次函数的性质解答即可．【小问1详解】解：据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，∴y关于x的函数解析式为：y＝﹣50x+15000．【小问2详解】解：根据题意得，100﹣x≤3x，解得x≥25，由（1）可知y＝﹣50x+15000，∵k＝﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝25时，y有最大值，，100﹣25＝75（台），∴该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最大，最大利润为13750元．【点睛】本题主要考查了一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是确定一次函数的增减性．27. 如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E．（1）求直线l2的函数表达式；（2）试说明CD＝CE．（3）若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．【答案】（1）    （2）见解析    （3）或【解析】【分析】（1）将C点和D点坐标代入直线l2：y＝kx+b，即可求出k，b，得到解析式；（2）首先求出点E的坐标，利用两点之间的距离公式分别求出CD和CE，值相等，即可说明CD＝CE；（3）当点P在B上方时，OP∥DE，得出直线OP的解析式，跟直线l1联立求解，求出交点P的坐标；当点P在B下方时，设点P关于y轴的对称点Q，链接OQ交直线l1为点P'，同理求出OQ的解析式，从而解决问题．【小问1详解】将C（1，0）和D（0，2）代入直线l2：y＝kx+b得，，解得∴直线l2：y＝-2x+2；【小问2详解】当-2x+2= x﹣4时，x=2∴E(2，-2)∴∴∴CD＝CE；【小问3详解】∵∠POB=∠BDE，∴OP∥DE，∴点P在l1上有两个位置，①当点P在点B上方时，如图，∵OP∥DE，∴直线OP的函数解析式为y=-2x，∴-2x=x-4∴∴∴②当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1为点P'，∴∴直线OQ的解析式为：y=2x∴2x= x-4∴x=-4∴y=-8∴P'（-4，-8）综上所述：或（-4，-8）．【点睛】本题考查了一次函数的综合问题，包括待定系数法求解析式，两点之间的距离公式，一次函数中的几何问题．分类讨论思想和转化思想是本题的关键．