扬州市江都区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份扬州市江都区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
扬州市江都区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1. 北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.
2. 面积为9的正方形的边长是（　　）
A. 9的算术平方根 B. 9的平方根
C. 9的立方根 D. 9开平方的结果
3. 用四舍五入法得到的近似数1.05万，下列说法正确的是（　　）
A. 精确到百分位 B. 精确到0.01
C. 精确到百位 D. 精确到万位
4. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）

A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD
5. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A. ，， B. 2，3，4 C. 4，6，8 D. 6，8，10
6. 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（　 ）

A. 40° B. 44° C. 48° D. 52°
7. 规定：是一次函数的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 如图，直线经过点P（1，2），当时，则x的取值范围为（ ）

A. x＜1 B. x＜2 C. x＞1 D. x＞2
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9. 等腰三角形的两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长为__________．
10. 在实数，0.1，，，中，无理数有____个．
11. 一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是_____．
12. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是____．
13. 已知点A（3，m），B（，n）在一次函数的图像上，则m____n（填“＞”“＜”或“＝”）．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，则AB＝____．

15. 若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a 的值为 _____．
16. 已知点、、在同一条直线上，则m的值为____．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N； ②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O； ③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为，则BC的长为____．

18. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，3），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C．若直线l： 把四边形OABC分成面积相等的两部分，则m的值为____．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．）
19. 计算：
（1）
（2）
20. 求下列各式中x的值：
（1）
（2）
21. 如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，AE=CF，AD=CB．

（1）求证：△ADF≌△CBE;
（2）判断BE与DF的位置关系，并说明理由．
22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．△ABC的顶点坐标分别为，，．

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点A2，则点A2的坐标为 ；
（3）△ABC的面积为 ；
（4）若P为x轴上任意一点，连接AP、BP，则△ABP周长的最小值为 ．
23. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．

24. 点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0）．
设△OPA的面积为S．
（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为15时，求点P的坐标；
（3）△OPA的面积能大于24吗？并说明理由．
25. 疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数（万人）与各自接种时间（天）之间的关系如图所示．

（1）直接写出乙地每天接种的人数及的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．
26. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是“和谐点”．

（1）判断点，D（2，8）是否为“和谐点”，并说明理由；
（2）若“和谐点”E（3，a）在直线y＝3x+b（b为常数）上，求a，b的值．
27. （1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（5，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点C是x轴上的动点，线段CA绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ．

28. 利用类比思想解决下列问题：
【初步探究】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF．小明的证明思路是：如图2，连接AP，△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积．请按照小明的思路完成证明过程．
【类比探究】
（2）如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请直接写出PD、PE与CF的数量关系．
【解决问题】
（3）如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1，l2与x轴的交点分别为A，B．
① 求证：AB=AC；
② 若l2上的一点M到l1的距离是2，直接写出点M的坐标．




答案与解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1. 北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可
【详解】A,B,C都不是轴对称图形，故不符合题意；
D是轴对称图形，
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键．
2. 面积为9的正方形的边长是（　　）
A. 9的算术平方根 B. 9的平方根
C. 9的立方根 D. 9开平方的结果
【答案】A
【解析】
【分析】设正方形边长为x，根据面积公式得方程，从而可得答案．
【详解】解：设正方形边长为x， 根据面积公式得：x2=9，
解得x=±3，而不合题意，舍去，
所以面积为9的正方形的边长是9的算术平方根，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根的概念的运用，熟练掌握它们的区别与联系，根据题意列出方程是解题关键．
3. 用四舍五入法得到的近似数1.05万，下列说法正确的是（　　）
A. 精确到百分位 B. 精确到0.01
C. 精确到百位 D. 精确到万位
【答案】C
【解析】
【分析】根据近似数的精确度求解．
【详解】解：四舍五入法得到的近似数1.05万，近似数精确到百位．
故选：C．
【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式，
4. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）

A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD
【答案】D
【解析】
【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
5. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A. ，， B. 2，3，4 C. 4，6，8 D. 6，8，10
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项计算可得.
【详解】选项A，；
选项B，；
选项C，；
选项D，；
根据勾股定理的逆定理，只有选项D符合条件，
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（　 ）

A. 40° B. 44° C. 48° D. 52°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，结合图形计算即可．
【详解】解：在△ABC中，∠BAC＝114°，
则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，
∵EG是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理：∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7. 规定：是一次函数的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据正比例函数的定义求出m的值，然后求出点的坐标即可判断．
【详解】解：由题意得：
∵“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，
∴m﹣4＝0，
∴m＝4，
∴2+m＝6，2﹣m＝﹣2，
∴点（6，﹣2）在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
8. 如图，直线经过点P（1，2），当时，则x的取值范围为（ ）

A. x＜1 B. x＜2 C. x＞1 D. x＞2
【答案】C
【解析】
【分析】将P（1，2）代入y＝kx+b，可得k﹣2＝﹣b，再将（k﹣2）x+b＜0变形整理，得﹣bx+b＜0，求解即可．
【详解】解：由题意，将P（1，2）代入y＝kx+b（k≠0），
可得k+b＝2，即k﹣2＝﹣b，
整理（k﹣2）x+b＜0得，﹣bx+b＜0，即，
由图象可知b＞0，则，
，解得x＞1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9. 等腰三角形的两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长为__________．
【答案】17
【解析】
【分析】分①腰长为3和②腰长为7，根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系进行求解即可得．
【详解】解：①当这个等腰三角形的腰长为3时，
则这个等腰三角形的三边长分别为，
此时，不满足三角形的三边关系，舍去；
②当这个等腰三角形的腰长为7时，
则这个等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系，
此时这个等腰三角形的周长为；
综上，该等腰三角形的周长为17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确分两种情况讨论是解题关键．
10. 在实数，0.1，，，中，无理数有____个．
【答案】2
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【详解】解：在实数，0.1，，，中，无理数有，，一共2个．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
11. 一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是_____．
【答案】y=2x+1．
【解析】
【详解】解：一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，所得图象的函数解析式为：y=2x+3﹣2，化简得，y=2x+1，
故答案为：y=2x+1．
12. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是____．
【答案】(-5，3)
【解析】
【分析】先根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据第二象限点坐标的特征解答即可．
【详解】解：∵点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5
∴，
∵点M在第二象限
∴x=-5，y=3
∴M（-5,3）
故答案为：（-5,3）．
【点睛】本题考考了直角坐标系中点的坐标，掌握每个象限点坐标的特征和横坐标、纵坐标的意义是解答本题的关键．
13. 已知点A（3，m），B（，n）在一次函数的图像上，则m____n（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】先由函数的解析式求得一次函数的增减性，然后即可得到m与n的大小关系．
【详解】解：y＝−2x＋b中的系数，
一次函数的y随x的增大而减小，
∵，
∴m＞n，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟知由自变量系数确定一次函数的增减性，本题也可以将点A和点B的坐标代入求得m与n的值，然后比较m与n的大小．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，则AB＝____．

【答案】12
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，CD=6，
∴AB=2CD=12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
15. 若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则（﹣b）a 的值为 _____．
【答案】－64
【解析】
【分析】根据无理数的估算可知3＜＜4，求得a=3，b=4，即可求出结果．
【详解】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
即：a=3，b=4，
∴．
故答案为：-64．
【点睛】本题主要考查的是无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键．
16. 已知点、、在同一条直线上，则m的值为____．
【答案】1
【解析】
【分析】求出直线AC的解析式，将点B代入即可求出m．
【详解】解：设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意得
，解得，
∴直线AC的解析式为y=2x-3，
将点B坐标代入，得2m-3=-1，
解得m=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握待定系数法解决问题是解题的关键．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N； ②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O； ③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为，则BC的长为____．

【答案】##
【解析】
【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD＝DH＝1，进而求解．
【详解】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，

则CD＝DH＝，
∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B＝45°，
则△DHB为等腰直角三角形，，
故，
则BC＝CD+BD＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，3），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C．若直线l： 把四边形OABC分成面积相等的两部分，则m的值为____．

【答案】-3
【解析】
【分析】先由BA⊥x轴，BC⊥y轴得到四边形OABC是矩形，然后由矩形的性质可得直线l过矩形OABC的中心点，再由点B和点O的坐标求得中心点的坐标，最后将中心点的坐标代入直线l的解析式求得m的值．
【详解】解：∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，
∴四边形OABC是矩形，
∵直线l将四边形OABC分为面积相等的两部分，
∴直线l过矩形OABC的中心点，
∵点B（3，3），点O（0，0），
∴矩形OABC的中心点为（，），（中点坐标公式）
将中心点（，）代入y＝mx﹣2m得，m﹣2m，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是通过直线l平分四边形OABC的面积得到直线l经过矩形OABC的中心点．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）3； （2）6
【解析】
【分析】（1）首先计算开方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先计算乘方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【小问1详解】
解：（1）
＝6+2﹣5
＝3；
【小问2详解】

＝5﹣（1）
＝51
＝6．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20. 求下列各式中x的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）x=4或x=-2
【解析】
【分析】（1）先把常数项移到等号的右边，再根据立方根的计算公式求出x的值即可；
（2）先把常数项移到等号的右边，再开方即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴x3，
∴x；
【小问2详解】
∵（x﹣1）2﹣9＝0，
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x＝4或x＝﹣2．
【点睛】此题考查了立方根和平方根，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键．
21. 如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，AE=CF，AD=CB．

（1）求证：△ADF≌△CBE;
（2）判断BE与DF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2），见解析
【解析】
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）结论：，利用全等三角形的性质即可证明．
【小问1详解】
证明：∵，
∴∠A＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
【小问2详解】
解：结论：．
理由：∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．△ABC的顶点坐标分别为，，．

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点A2，则点A2的坐标为 ；
（3）△ABC的面积为 ；
（4）若P为x轴上任意一点，连接AP、BP，则△ABP周长的最小值为 ．
【答案】（1）作图见解析；
（2）（-4，0）； （3）8；
（4）
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据平移的性质即可将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点A2，进而可得点A2的坐标；
（3）根据割补法即可求出△ABC的面积；
（4）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由AB为定值可得当的和最小时，△ABP周长的最小，然后根据勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
解：由题意知，的点坐标分别为，在坐标系中描点，然后依次连接，如图，△A1B1C1即为所求；
【小问2详解】
如上图，点A2即为所求；点A2的坐标为（﹣4，0）；
故答案为：（﹣4，0）；
【小问3详解】
如上图所示，作出矩形ADEF，
则，
即，
故答案为：8；
【小问4详解】
解：由题意知，，
，且AB为定值，
∴当的和最小时，△ABP周长的最小，
如上图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则的最小值为，
由图可得，
△ABP周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
23. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）54°．
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC=36°，进而根据等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，∠A=36°，
∴BD=AD，
即△ABD是等腰三角形；
（2）∵点E是AB的中点，
∴AE=EB，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE=90°﹣36°=54°．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解题的关键．
24. 点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0）．
设△OPA的面积为S．
（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为15时，求点P的坐标；
（3）△OPA的面积能大于24吗？并说明理由．
【答案】（1）S=-3x+24，
（2）(3，5) （3）不能，见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式列式，即可用含x的解析式表示S，然后根据S＞0及已知条件，可求出x的取值范围；
（2）把S=15代入（1）中函数关系即可得出x的值，进而得出y的值，即可得到点P的坐标；
（3）假设△OPA的面积能大于24，求出x的取值范围，与（1）中x的取值范围相比较即可．
【小问1详解】
解：（1）∵A和P点的坐标分别是（6，0）、（x，y），
∴△OPA的面积= OA•|yP|，
∴S=×6×|y|=3y．
∵x+y=8，
∴y=8-x．
∴S=3（8-x）=24-3x；
∵S=-3x+24＞0， 解得：x＜8；
又∵点P在第一象限，
∴x＞0， 即x的范围为：0＜x＜8；
【小问2详解】
解：当△OPA的面积为15时，
24-3x=15， 解得x=3，
∴y=8-3=5，
∴点P的坐标为（3，5）；
【小问3详解】
解：不能．理由如下：
假设△OPA的面积能大于24，则-3x+24＞24， 解得x＜0，
∵0＜x＜8，
∴△OPA的面积不能大于24．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质及三角形的面积，熟知一次函数的图象与性质是解答此题的关键．
25. 疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数（万人）与各自接种时间（天）之间的关系如图所示．

（1）直接写出乙地每天接种的人数及的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．
【答案】（1）；（2）；（3）5万人
【解析】
【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解．
（2）利用待定系数法求解．
（3）将代入（2）问中解析式得出，然后由．
【详解】解：（1）乙地接种速度为（万人/天），
，
解得．
（2）设，将，代入解析式得：
，
解得，
∴．
（3）把代入得，
（万人）．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是“和谐点”．

（1）判断点，D（2，8）是否为“和谐点”，并说明理由；
（2）若“和谐点”E（3，a）在直线y＝3x+b（b为常数）上，求a，b的值．
【答案】（1）点C是“和谐点”，点D不是“和谐点”，理由见解析；
（2）a=6，b=－3或a=-6，b=15．
【解析】
【分析】（1）分别求得过点C和点D得到的长方形的周长和面积，然后比较周长和面积判断；
（2）先通过点E在直线y=3x+b上得到a与b的关系，然后由“和谐点”列出方程求得a与b的值．
【小问1详解】
解：（1）点C是“和谐点”，点D不是“和谐点”，
理由如下， 过点C围成的长方形的周长为：2×（4+4）=16，面积为：4×4=16，
∴点C是“和谐点”，
过点D围成的长方形的周长为：2×（2+8）=20，
面积为：2×8=16≠20，
∴点D不是“和谐点”．
【小问2详解】
∵“和谐点”E（3，a）在直线y=3x+b（b为常数）上，
∴ ，
解得：
所以 或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是会用含有未知数的式子表示围成的矩形的面积和周长．
27. （1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（5，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点C是x轴上的动点，线段CA绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ．

【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）（1，3），（4，4），（3，2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证明△ABE≌△ECD（SAS），即可求解；
（2）分三种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝BA；当∠ABC＝90°，AB＝BC时；当∠ACB＝90°，AC＝BC时；分别构造三角形全等，由（1）的结论求解即可；
（3）在x轴上取D（1，0），在y轴上截取AE＝CD，连接EC，BD，通过证明△AEC≌△CDB（SAS），确定B点在直线y＝x﹣1上运动，作A点关于直线BD的对称点A'，连接A'G，A'O，A'B，当O、B、A'三点共线时，AB+OB有最小值，求出A'（2，﹣1），在求出OA'即为所求．
【详解】解：（1）△AED是等腰直角三角形，理由如下：
在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（SAS），
∴∠AEB＝∠EDC，∠BAE＝∠DEC，
∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）①如图1，当∠CAB＝90°时，AC＝BA，

过点B作BH⊥x轴交于H点，过点C作GC⊥x轴交于点G，
由（1）可得△ACG≌△BAH（AAS），
∴CG＝AH，AG＝BH，
∵A（2，0），点B（5，1），
∴BH＝AG＝1，AH＝3，
∴C（1，3）；
②如图2，当∠ABC＝90°，AB＝BC时，

过点B作LK⊥x轴交x轴于点L，过点C作CK⊥LK交于点K，
由（1）可得△ABL≌△BCK（AAS），
∴AL＝BK，BL＝CK，
∵点A（2，0），点B（5，1），
∴BL＝CK＝1，AL＝BK＝3，
∴C（4，4）；
③如图3，当∠ACB＝90°，AC＝BC时，

过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥x轴交EF于点E，过点B作BF⊥x轴交EF于点F，
由（1）可得△EAC≌△FCB（AAS），
∴EC＝BF，AE＝CF，
∵点A（2，0），点B（5，1），
∴EF＝3，CE＝BF，AE＝CF，
设C（x，y），
∴BF＝y﹣1，AE＝y，
∴y﹣1+y＝3，
∴y＝2，
∴AE＝2，EC＝1，
∴C（3，2）；
综上所述：C点坐标为（4，4）或（1，3）或C（3，2）；
（3）如图4，在x轴上取D（1，0），在y轴上截取AE＝CD，连接EC，BD，

∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝90°+∠OCA，
∵∠EAC＝90°+∠OCA，
∴∠DCB＝∠EAC，
∵EA＝CD，AC＝BC，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ECA＝∠DBC，
∵∠ECA+∠ECB＝90°，
∴∠DBC+∠ECB＝90°，
∴BD⊥EC，
∵OC＝OE，
∴∠ECO＝∠BDC＝45°，
∴∠ODG＝45°，
∴G（0，﹣1），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣1，
∴B点在直线y＝x﹣1上运动，
作A点关于直线BD的对称点A'，连接A'G，A'O，A'B，
∴OB＝BA'，
∴AB+OB＝AB+BA'≥OA'，
∴当O、B、A'三点共线时，AB+OB有最小值，
∵GD垂直平分AA'，GA＝GA'，AD＝GD，
∴A'G⊥AG，
∴A'（2，﹣1），
∴OA'，
∴AB+OB的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定与性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
28. 利用类比思想解决下列问题：
【初步探究】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF．小明的证明思路是：如图2，连接AP，△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积．请按照小明的思路完成证明过程．
【类比探究】
（2）如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请直接写出PD、PE与CF的数量关系．
【解决问题】
（3）如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1，l2与x轴的交点分别为A，B．
① 求证：AB=AC；
② 若l2上的一点M到l1的距离是2，直接写出点M的坐标．

【答案】（1）见解析 （2）PD+PE=CF；
（3）①见解析；②（，1）或（，5）
【解析】
【分析】（1）由S△ABP+S△APC=×AB×（DP+PE），S△ABC=×AB×CF，再由面积相等即可证明；（2）由S△ABC+S△APC=×AB×（CF+PE），S△ABP=×AB×DP，再由面积相等即可求解；（3）①求出A、B、C三点坐标，再由两点间距离求证即可；②分两种情况讨论：当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC垂足分别为P、Q，应用（1）的结论，可得求出点M的纵坐标为1，再求M点坐标即可；当点M在线段BC外时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC垂足分别为P、Q，由（2）的结论，可求点M的纵坐标为5或-1，再求M点坐标即可．
【小问1详解】
证明：∵DP⊥AB，PE⊥AC，
∴S△ABP=×AB×DP，S△APC=×AC×PE，
∵AB=AC，
∴S△ABP+S△APC=×AB×（DP+PE），
∵CF⊥AB，
∴S△ABC=×AB×CF，
∵S△ABP+S△APC=S△ABC，
∴PD+PE=CF
【小问2详解】
∵CF⊥AB，PE⊥AC，
∴S△ABC=×AB×CF，S△APC=×AC×PE，
∵AB=AC，
∴S△ABC+S△APC=×AB×（CF+PE），
∵DP⊥AB，
∴S△ABP=×AB×DP，
∵S△ABC+S△APC=S△ABP，
∴PE+CF=DP；
【小问3详解】
①由题意可得A（4，0），B（-1，0），C（0，3），
∴AB=5，AC=，
∴AB=AC；
②当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC垂足分别为P、Q，
∵l2上的一点M到l1的距离是2，
∴MQ=2，
由上面的结论，得MP+MQ=3，
∴MP=1，
∴点M的纵坐标为1，
又M在直线y=3x+3上，
∴当y=1时，x=-，
∴M坐标为（-，1）；
当点M在线段BC外时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC垂足分别为P、Q，
由结论可得：|MP-MQ|=3，
∴MP=5或MP=-1（舍去），
即点M的纵坐标为5，
代入y=3x+3，可求得x=，
∴点M的坐标为（，5）
综上可知点M的坐标为（-，1）或（，5）．

【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，以及三角形面积公式，灵活应用结论是解题的关键．