2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。

1．（3分）下列汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）

A．3，1 B．3，6 C．﹣3，6 D．3，﹣6

3．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　）

A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，3）

4．（3分）下列方程有两个相等的实数根的是（　　）

A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0

5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3）关于原点的对称点的坐标为（　　）

A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，4）

6．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（　　）

A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1 B．y＝﹣2（x+2）2+1 

C．y＝﹣2（x+2）2+5 D．y＝﹣2（x﹣4）2+5

7．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（　　）

A．50° B．70° C．110° D．120°

8．（3分）某种防疫物资原价为50元/件，经过连续两次降价后售价为28元/件，每次降价的百分率均为x，根据题意所列方程正确的是（　　）

A．50（1﹣x）2＝50﹣28 B．50（1﹣x）2＝28 

C．50（1﹣2x）＝28 D．50（1﹣x2）＝28

9．（3分）如图，点A、B、C、D、P都在⊙O上，OC⊥AB．若∠ADC＝α（0＜α＜90°），则∠APB＝（　　）

A．90°+α B．180°﹣α C．180°﹣2α D．2α

10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（　　）

A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣3，x2＝5

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 　   　．

12．（3分）二次函数y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线 　   　．

13．（3分）如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 　   　cm．

14．（3分）如果a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则多项式3b2+ab+3a的值为 　   　．

15．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝1，直线y＝﹣x+c与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，现有下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）＜a+b；④a＜﹣1．其中正确的结论是 　   　（只填写序号）．

16．（3分）如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB2＝19，，则线段BD的长度是 　   　．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）解方程：5x2﹣2x﹣1＝0．

18．（8分）如图，在△ABC中，AC＝7，在同一平面内，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B'C的位置，∠B′CA′＝70°，且B′C∥A′A．

（1）A′C＝　   　．

（2）求旋转角的大小．

19．（8分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为96cm2的无盖长方体盒子，求剪去的小正方形的边长是多少．

20．（8分）如图，平面直角坐标系中点D坐标为（1，1），每个小正方形网格的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点均在格点上．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．

（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE，并直接写出点E的坐标 　   　；

（2）过（1）中点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；

（3）找一个格点F，使得CF⊥AD，并直接写出点F的坐标 　   　．

21．（8分）AB是⊙O的直径，弦CE平分∠ACB交⊙O于点E．交AB于点D．连接AE、BE，∠BEC＝60°，AC＝2．

（1）求四边形ACBE的面积；

（2）求CE的长．

22．（10分）某“精准扶贫“助农平台为安康村农户销售苹果，平台的苹果销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的苹果销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系，如表记录的是某三周的销售数据：

（1）请直接写出y与x之间符合哪种函数关系：　   　，请在横线上写出y与x之间的函数关系式，并在括号中注明x的取值范围：　   　，（ 　   　）．

（2）若某一周苹果的销售量不少于6000千克，求本周安康村农户获得的最大收入和苹果售价分别为多少元？

（3）该平台制定新政策：每销售一千克苹果便向村福利院捐款a元．实施新政策后发现，农户每周的收入依然随售价的增大而增大．请直接写出a的最小值是 　   　元．

23．（10分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系：　   　．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+FD，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论．

（3）若（2）中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上（如图3所示），其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论．

①∠EAF＝∠BAD；

②2∠EAF+∠BAD＝360°．

24．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣1，0），抛物线顶点P的坐标为（1，4）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，点D是直线BC上一点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E（点E在点D的上方），再过点E作EF∥x轴，交直线BC于点F．求△DEF的最大面积是多少？

（3）如图2，点D是直线BC上任意一点，若DPDO，求出点D的坐标．

2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。

1．（3分）下列汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

2．（3分）将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）

A．3，1 B．3，6 C．﹣3，6 D．3，﹣6

【解答】解：∵3x2+1＝6x，

∴3x2﹣6x+1＝0，

∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣6，

故选：D．

3．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　）

A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，3）

【解答】解：二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．

故选：B．

4．（3分）下列方程有两个相等的实数根的是（　　）

A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0

【解答】解：A．此方程的Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，此选项符合题意；

B．此方程的Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；

C．此方程的Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8，方程没有实数根，此选项不符合题意；

D．此方程的Δ＝02﹣4×1×（﹣9）＝36＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；

故选：A．

5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3）关于原点的对称点的坐标为（　　）

A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，4）

【解答】解：点A（﹣4，3）关于原点的对称点的坐标为（4，﹣3），

故选：B．

6．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（　　）

A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1 B．y＝﹣2（x+2）2+1 

C．y＝﹣2（x+2）2+5 D．y＝﹣2（x﹣4）2+5

【解答】解：将将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是y＝﹣2（x﹣1+3）2+3+2，即y＝﹣2（x+2）2+5．

故选：C．

7．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（　　）

A．50° B．70° C．110° D．120°

【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，

∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，

∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，

∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，

∴∠BAA′＝∠BA′A（180°﹣40°）＝70°，

∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．

故选：D．

8．（3分）某种防疫物资原价为50元/件，经过连续两次降价后售价为28元/件，每次降价的百分率均为x，根据题意所列方程正确的是（　　）

A．50（1﹣x）2＝50﹣28 B．50（1﹣x）2＝28 

C．50（1﹣2x）＝28 D．50（1﹣x2）＝28

【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为50（1﹣x）元，

两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为50（1﹣x）×（1﹣x）元，

则列出的方程是50（1﹣x）2＝28，

故选：B．

9．（3分）如图，点A、B、C、D、P都在⊙O上，OC⊥AB．若∠ADC＝α（0＜α＜90°），则∠APB＝（　　）

A．90°+α B．180°﹣α C．180°﹣2α D．2α

【解答】解：如图，连接BD．

∵OC⊥AB，

∴，

∴∠ADC＝∠CDB＝α，

∴∠ADB＝2α，

∵∠APB+∠ADB＝180°，

∴∠APB＝180°﹣2α，

故选：C．

10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（　　）

A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣3，x2＝5

【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，

∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，

又∵关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是m（m＜﹣1），

∴方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）的另一个根为2﹣m，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，

∵关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，

∴这两个整数根是0或2，

故选：B．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 　1.5　．

【解答】解：∵方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，

∴2a﹣1＝2，

解得：a＝1.5，

故答案为：1.5．

12．（3分）二次函数y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线 　x＝1　．

【解答】解：∵a＝2，b＝﹣4，

∴1，

∴二次函数y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线x＝1．

故答案为：x＝1．

13．（3分）如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 　8　cm．

【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB＝24cm，

∴BDAB＝12（cm），

∵OB＝OC＝13cm，

在Rt△OBD中，OD5（cm），

∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），

即水管中的水最大深度为8cm，

故答案为：8．

14．（3分）如果a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则多项式3b2+ab+3a的值为 　9　．

【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，

∴a+b＝1，ab＝﹣3，b2﹣b﹣3＝0，

∴b2＝b+3，

则原式＝3（b+3）+ab+3a

＝3b+9+ab+3a

＝3（a+b）+ab+9

＝3×1﹣3+9

＝3﹣3+9，

＝9，

故答案为：9．

15．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝1，直线y＝﹣x+c与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，现有下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）＜a+b；④a＜﹣1．其中正确的结论是 　①②④　（只填写序号）．

【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x1，

∴b＝﹣2a，即b+2a＝0，

∴2a+b+c＝c，

∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴正半轴，

∴c＞0，

故①正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，

而抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，

∴当x＝﹣1时，函数值小于0，

即a﹣b+c＜0，

故②正确；

∵x＝1时，二次函数有最大值，

∴ax2+bx+c≤a+b+c，

∴x（ax+b）≤a+b，

故③错误；

∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，

∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，

即9a+3b+c＜﹣3+c，

而b＝﹣2a，

∴9a﹣6a＜﹣3，

解得a＜﹣1，

故④正确．

故答案为：①②④．

16．（3分）如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB2＝19，，则线段BD的长度是 　　．

【解答】解：如图，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于H，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AGB，过点D作DN⊥BG于N，

∵，

∴设AD＝2x，CD＝3x，

∵∠ADC＝120°，

∴∠CDH＝60°，

∴∠DCH＝30°，

∴DHDC，CHx，

∴AHx，

∵AB＝AC，

∴AC2＝AB2＝19，

∵AH2+CH2＝AC2，

∴x2x2＝19，

∴x＝1，

∴AD＝2，CD＝3，

∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AGB，

∴AG＝AD＝2，CD＝BG＝3，∠DAG＝60°，

∴△AGD是等边三角形，

∴∠AGD＝60°，

∴∠DGB＝60°，

∵DN⊥BG，

∴∠GDN＝30°，

∴GNGD＝1，DNGN，

∴BN＝2，

∴BD，

故答案为：．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）解方程：5x2﹣2x﹣1＝0．

【解答】解：∵a＝5，b＝﹣2，c＝﹣1，

∴Δ＝（﹣2）2﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，

则x，

∴x1，x2．

18．（8分）如图，在△ABC中，AC＝7，在同一平面内，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B'C的位置，∠B′CA′＝70°，且B′C∥A′A．

（1）A′C＝　7　．

（2）求旋转角的大小．

【解答】解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B'C的位置，

∴AC＝A'C＝7，

故答案为：7；

（2）∵将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B'C的位置，

∴旋转角为∠ACA'，

∵B′C∥A′A，

∴∠B'CA'＝∠CA'A＝70°，

∵AC＝A'C，

∴∠CA'A＝∠CAA'＝70°，

∴∠ACA'＝40°，

∴旋转角为40°．

19．（8分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为96cm2的无盖长方体盒子，求剪去的小正方形的边长是多少．

【解答】解：设剪去的小正方形的边长是xcm，则做成的无盖长方体的底面长为（20﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm，

依题意得：（20﹣2x）（10﹣2x）＝96，

整理得：x2﹣15x+26＝0，

解得：x1＝2，x2＝13．

又∵10﹣2x＞0，

∴x＜5，

∴x＝2．

答：剪去的小正方形的边长是2cm．

20．（8分）如图，平面直角坐标系中点D坐标为（1，1），每个小正方形网格的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点均在格点上．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．

（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE，并直接写出点E的坐标 　（6，4）　；

（2）过（1）中点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；

（3）找一个格点F，使得CF⊥AD，并直接写出点F的坐标 　（0，2）　．

【解答】解：（1）如图，线段AE即为所求，E（6.4）．

故答案为：（6，4）；

（2）如图，直线EK即为所求；

（3）如图，点F即为所求，F（0，2）．

故答案为：（0，2）．

21．（8分）AB是⊙O的直径，弦CE平分∠ACB交⊙O于点E．交AB于点D．连接AE、BE，∠BEC＝60°，AC＝2．

（1）求四边形ACBE的面积；

（2）求CE的长．

【解答】解：（1）如图，∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠AEB＝90°，

∵∠BEC＝∠BAC＝60°，AC＝2，

∴∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC＝4，BCAC＝2，

∵CE平分∠ACB，

∴，

∴AE＝EB＝2，

∴S四边形ACBE＝S△ABC+S△ABE2×22224；

（2）过点E作EM⊥CA交CA的延长线于M，EN⊥CB于N．

∵EC平分∠ACB，

∴EM＝EN，

∵∠M＝∠ENB＝90°，EA＝BE，

∴Rt△EMA≌Rt△ENB（HL），

∴AM＝EM，

∵∠M＝∠ENC＝∠MCN＝90°，

∴四边形CMEN是矩形，

∵EM＝EN，

∴四边形CMEN是正方形，

∴CM＝CN，

∴CA+CB＝CM﹣AM+CN+BN＝2CM＝2+2，

∴CM＝1，

∴ECCM．

22．（10分）某“精准扶贫“助农平台为安康村农户销售苹果，平台的苹果销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的苹果销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系，如表记录的是某三周的销售数据：

（1）请直接写出y与x之间符合哪种函数关系：　一次函数关系　，请在横线上写出y与x之间的函数关系式，并在括号中注明x的取值范围：　y＝﹣500x+12000　，（ 　6≤x≤15　）．

（2）若某一周苹果的销售量不少于6000千克，求本周安康村农户获得的最大收入和苹果售价分别为多少元？

（3）该平台制定新政策：每销售一千克苹果便向村福利院捐款a元．实施新政策后发现，农户每周的收入依然随售价的增大而增大．请直接写出a的最小值是 　2　元．

【解答】解：（1）由表格可知，x值增加1，y值减小500，故y与x之间符合一次函数关系，

设y和x的函数表达式为：y＝kx+b，则，

解得，

∴y和x的函数表达式为y＝﹣500x+12000；

而平台的苹果销售运营成本为每千克3元，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克，

∴6≤x≤15；

故答案为：一次函数关系，y＝﹣500x+12000；6≤x≤15；

（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，

∵苹果的销售量不少于6000千克，

∴﹣500x+12000≥6000，解得x≤12，

∴6≤x≤12，

而w＝y（x﹣3）＝（﹣500x+12000）（x﹣3）＝﹣500（x）2+55125，

∵﹣500＜0，抛物线对称轴为直线x，

∴6≤x≤12在对称轴左侧，w随x的增大而增大，

∴x＝12时，w有最大值为54000元，

答：本周安康村农户获得的最大收入为54000元，销售单价是12元；

（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣a）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500a）x﹣36000﹣12000a，

∴对称轴为直线x＝13.5+0.5a，

∵﹣500＜0，

∴当x＜13.5+0.5a时，w随x的增大而增大，

而售价不超过15元/千克，

∴15≤13.5+0.5a，

解得a≥3，

∴a的最小值为3，

故答案为：3．

23．（10分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系：　∠BAE+∠FAD＝∠EAF　．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+FD，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论．

（3）若（2）中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上（如图3所示），其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论．

①∠EAF＝∠BAD；

②2∠EAF+∠BAD＝360°．

【解答】解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．

理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，

∴∠ADG＝180°﹣∠ADC＝90°，

∴∠B＝∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵EF＝BE+DF，DG＝BE，

∴EF＝BE+DF＝DG+DF＝GF，

在△AEF和△AGF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；

（2）（1）中结论∠BAE+∠FAD＝∠EAF成立，

证明：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠BCD+∠B+∠ADC＝360°，

∴∠B+∠ADC＝180°，

∵∠ADG+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵EF＝BE+DF，DG＝BE，

∴EF＝BE+DF＝DG+DF＝GF，

在△AEF和△AGF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；

（3）②2∠EAF+∠BAD＝360°是正确的．

证明：如图3，在DC的延长线上取一点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠BCD+∠B+∠ADC＝360°，

∴∠ABC+∠ADC＝180°，

∵∠ABC+∠ABE＝180°，

∴∠ABE＝∠ADC，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵EF＝BE+DF＝DG+DF＝GF，AF＝AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠FAE＝∠FAG，

∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，

即2∠FAE+∠BAD＝360°．

24．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣1，0），抛物线顶点P的坐标为（1，4）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，点D是直线BC上一点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E（点E在点D的上方），再过点E作EF∥x轴，交直线BC于点F．求△DEF的最大面积是多少？

（3）如图2，点D是直线BC上任意一点，若DPDO，求出点D的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线顶点P的坐标为（1，4），

∴设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），

∵该抛物线经过点A（﹣1，0），

∴将x＝﹣1，y＝0代入解析式得，a×（﹣1﹣1）2+4＝0，

解得a＝﹣1，

∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，

∴该抛物线的解析式的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）由（1）可知y＝﹣x2+2x+3，

∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，

∴当x＝0时，y＝3，

当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴B（3，0），C （0，3），

∴OB＝OC＝3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

把B（3.0），C（0.3）代入y＝kx+b，得：

，

解得：．

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

设点E坐标为（m，﹣m2+2m+3），

∵DE∥y轴，

∴D（m，﹣m+3），

∴DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m）2，

∴当m时，DE最大为，

∵DE//y轴，EF//x轴，

∴∠EDF＝∠OCB＝45°，∠DFE＝∠OBC＝45°，∠EDF＝90°，

∴∠EDF＝∠DFE＝45°，

∴△DEF为等腰直角三角形，且DE＝EF，

∵S△DEFDE•EFDE2，又∵DE＞0，

∴DE越大，△DEF的面积越大，

∴△DEF的最大面积是（）2；

（3）由（2）得D（m，﹣m+3），

∴DP2＝（m﹣1）2+[4﹣（﹣m+3）]2，

OD2＝m2+（﹣m+3）2，

∵DPDO，

∴DP2＝2DO2，

∴（m﹣1）2+（m+1）2＝2[m﹣2+（﹣m+3）2]，

整理得：m2﹣6m+8＝0，

解得：m1＝2，m2＝4，

当m＝2时，﹣m+3＝﹣2+3＝1，

当m＝4时，﹣m+3＝﹣4+3＝﹣1，

∴点D坐标为（2，1）或（4，﹣1）．