2021-2022学年湖北省武汉市黄陂区九年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市黄陂区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）将方程3x2+2x＝5化成一元二次方程的一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　）

A．2，5 B．2，﹣5 C．﹣2，5 D．﹣2，﹣5

2．（3分）下列各图案中，属于中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）方程x2﹣6x＝0两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值是（　　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．6

4．（3分）点（1，﹣2）在抛物线y＝x2﹣4x+n上，则n的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

5．（3分）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　）

A．点A B．点B 

C．线段AB的中点 D．无法确定

6．（3分）关于x的方程x2﹣3x+n＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（　　）

A．n B．n C．n D．n

7．（3分）抛物线y（x+1）2﹣2向右平移2个单位再向上平移1个单位后所得抛物线的顶点是（　　）

A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）

8．（3分）如图，在一块长30m，宽20m的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植花苗的面积为522m2，依题意列方程（　　）

A．20x+30×2x＝600﹣522 B．20x+30×2x﹣x2＝600﹣522 

C．（20﹣2x）（30﹣x）＝522 D．（20﹣x）（30﹣2x）＝522

9．（3分）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，…，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（　　）

A．y＝﹣x2+38x﹣360 B．y＝﹣x2+34x﹣288 

C．y＝x2﹣36x+288 D．y＝﹣x2+38x+360

10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的长不可能是（　　）

A．1.2 B．2.05 C．2.7 D．3.1

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）若2是方程x2﹣c＝0的一个根，则c的值为　   　．

12．（3分）x2﹣6x+（　   　）＝（x﹣　   　）2

13．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，将△ABC绕点A逆时针旋转110°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，则∠E的度数为 　   　°．

14．（3分）某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人．当每日销售收入最大时，票价下调 　   　元．

15．（3分）二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过（1，m），且mc＜0，下列结论：①c＞0；②a；③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．其中一定正确的有 　   　．（填序号即可）

16．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点．若点P是线段AB上一动点，Q为线段AD上一点，则△PQE的周长的最小值是 　   　．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）解方程：x2﹣x﹣1＝0．

18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．

（1）填表：

（2）在平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣4x+3的图象；（3）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是 　   　．（直接写出结果）

19．（8分）用一条长40cm的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm．

（1）若围成的矩形面积为75cm2，求x的值；

（2）当x为何值时围成的矩形面积最大，最大面积是多少？

20．（8分）如图，在△ABC中，点A（﹣3，﹣1），B（1，1），C（0，3）．

（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，点A，B，C的对应点A1，B1，C1均落在格点上，画出旋转后的△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；

（2）将△ABC绕点A旋转后，B，C对应点B2，C2均落在格点上，画出旋转后的△AB2C2，并直接写出点B2，C2的坐标；

（3）若线段B1C1绕某点旋转后恰好与线段B2C2重合，直接写该点的坐标为 　   　．

21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2与x轴分别交于（x1，0），（x2，0）两点．

（1）求m的取值范围．

（2）若x1，x2满足（x1+2）（x2+2）＝5，求m的值．

（3）点（a，y1），（b，y2），（，y3）均在抛物线上，若a＜b，请直接写出y1，y2，y3的大小关系（用“＜”连接）．

22．（10分）R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basicreproductionnumber．更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数．例如：有1人感染新型冠状病毒，若R0＝3.50，则经两轮传染后感染新型冠状病毒的人数为：1+1×3.50+1×3.50×3.50≈17（人）．时下人心惶惶的新型冠状病毒的基本传染数据估计为3.30到5.40之间．请解答下列问题：

（1）若现有10人感染新型冠状病毒，则经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数大约在什么范围内（直接写出结果，结果保留整数）？

（2）最近，新型冠状病毒变异出德尔塔毒株，德尔塔变异病毒的R0值极高．若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染．

①求德尔塔变异病毒的R0值；

②国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低．例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值为：R0（1﹣40%）＝0.6R0．若有1人感染德尔塔变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？

23．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝α，O为AC的中点，将点O沿BC翻折得到点O′，将△ABC绕点O′顺时针旋转，使点B与C重合，旋转后得到△ECF．

（1）如图1，旋转角为 　   　．（用含α的式子表示）

（2）如图2，连BE，BF，点M为BE的中点，连接OM，

①∠BFC的度数为 　   　．（用含α的式子表示）

②试探究OM与BF之间的关系．

（3）如图3，若α＝30°，请直接写出的值为 　   　．

24．（12分）抛物线C1：y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，抛物线的对称轴l交BC于M，交OB于N，点I为MN的中点．若抛物线上一点P关于点I的中心对称点Q正好落在坐标轴上，求点P的坐标；

（3）如图2，点G（﹣3，0），将抛物线C1平移得到抛物线C2，C2的顶点D始终在线段CG上，抛物线C2与x轴交于EF两点，过点D作DH垂直于x轴于点H，线段DH和EF之间存在怎样的数量关系？判断并说明理由．

2021-2022学年湖北省武汉市黄陂区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）将方程3x2+2x＝5化成一元二次方程的一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　）

A．2，5 B．2，﹣5 C．﹣2，5 D．﹣2，﹣5

【解答】解：3x2+2x＝5，

3x2+2x﹣5＝0，

一次项系数是2、常数项是﹣5，

故选：B．

2．（3分）下列各图案中，属于中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：D．

3．（3分）方程x2﹣6x＝0两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值是（　　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．6

【解答】解：∵方程x2﹣6x＝0两个根分别为x1，x2，

∴x1+x2＝6，

故选：D．

4．（3分）点（1，﹣2）在抛物线y＝x2﹣4x+n上，则n的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【解答】解：∵点（1，﹣2）在抛物线y＝x2﹣4x+n上，

∴﹣2＝1﹣4+n，

解得n＝1．

故选：C．

5．（3分）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　）

A．点A B．点B 

C．线段AB的中点 D．无法确定

【解答】解：如图对称中心是AB的中点，

故选：C．

6．（3分）关于x的方程x2﹣3x+n＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（　　）

A．n B．n C．n D．n

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+n＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0，即Δ＝（﹣3）2﹣4n＞0，

∴n，

故选：A．

7．（3分）抛物线y（x+1）2﹣2向右平移2个单位再向上平移1个单位后所得抛物线的顶点是（　　）

A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）

【解答】解：抛物线y（x+1）2﹣2向右平移2个单位再向上平移1个单位后所得抛物线是：y（x+1﹣2）2﹣2+1，即y（x﹣1）2﹣1，

所以顶点为（1，﹣1）．

故选：B．

8．（3分）如图，在一块长30m，宽20m的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植花苗的面积为522m2，依题意列方程（　　）

A．20x+30×2x＝600﹣522 B．20x+30×2x﹣x2＝600﹣522 

C．（20﹣2x）（30﹣x）＝522 D．（20﹣x）（30﹣2x）＝522

【解答】解：设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长（30﹣x）m，宽（20﹣2x）m的矩形，

依题意得：（30﹣x）（20﹣2x）＝522，

故选：C．

9．（3分）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，…，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（　　）

A．y＝﹣x2+38x﹣360 B．y＝﹣x2+34x﹣288 

C．y＝x2﹣36x+288 D．y＝﹣x2+38x+360

【解答】解：∵抛物线C1：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2）与x轴交于点O，A；

∴抛物线C1开口向上（a＝1），且经过O（0，0），A（2，0），

∵将C1绕点A旋转180°得C2，交x轴于A1；

∴抛物线C2开口向下（a＝﹣1），且经过A（2，0），A1（4，0），

∵将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，

∴抛物线C3开口向上（a＝1），且经过A1（4，0），A2（6，0），

…，

如此进行下去，直至得C10，

∴抛物线C10开口向下（a＝﹣1），且经过A8（18，0），A9（20，0），

∴C10的解析式为：y10＝﹣（x﹣18）（x﹣20）＝﹣x2+38x﹣360，

故选：A．

10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的长不可能是（　　）

A．1.2 B．2.05 C．2.7 D．3.1

【解答】解：作AB的中点O，连接OE，如图：

由题意知：BD＝BC＝2，

∵点E为AD的中点，点O为AB中点，

∴OEBD＝1，

∴点E的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，

∴当点E在CO延长线上时，CE最大，

而由∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2可得AB＝4，

∵点O为AB中点，

∴OCAB＝2，

∴CE最大为OC+OE＝2+1＝3，

∴CE的长度不能是3.1，

故选：D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）若2是方程x2﹣c＝0的一个根，则c的值为　4　．

【解答】解：根据题意，将x＝2代入方程x2﹣c＝0，得：4﹣c＝0，

解得c＝4，

故答案为：4．

12．（3分）x2﹣6x+（　9　）＝（x﹣　3　）2

【解答】解：∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+32＝x2﹣6x+9，

故答案为：9，3．

13．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，将△ABC绕点A逆时针旋转110°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，则∠E的度数为 　65　°．

【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转110°得到△ADE，

∴AB＝AD，∠BAD＝110°，∠ACB＝∠E，

∴∠ABC＝35°，

∵∠BAC＝80°，

∴∠ACB＝65°＝∠E，

故答案为：65．

14．（3分）某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人．当每日销售收入最大时，票价下调 　6　元．

【解答】解：设票价下调x元，每日销售收入为w元，

由题意得：w＝（2x+136）（80﹣x）

＝﹣2x2+24x+10880

＝﹣2（x﹣6）2+10952．

∵﹣2＜0，

∴当x＝6时，w最大，

∴当每日销售收入最大时，票价下调6元，

故答案为：6．

15．（3分）二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过（1，m），且mc＜0，下列结论：①c＞0；②a；③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．其中一定正确的有 　①②④　．（填序号即可）

【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过（1，m），

∴a+2a+c＝m，即3a+c＝m，

∴3ac+c2＝cm，

∵mc＜0，

∴3ac+c2＜0，

∴0≤c2＜﹣3ac，

∵a＜0，

∴c＞0，故①正确；

∴c＜﹣3a，

∴a，故②正确；

∵c＞0，mc＜0，

∴m＜0，

∴点（1，m）在x轴的下方，

∵抛物线的对称轴为直线x1，a＜0，c＞0，

∴抛物线与直线y＝p（p＞0）交点的横坐标为整数的有﹣2，﹣1，0三个，

∴若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有2个，故③错误；

∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与y轴的交点为（0，c），

∴抛物线过（﹣2，c），

∵a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，

∴a+2＝﹣2，

∴a＝﹣4，

故④正确；

故答案为：①②④．

16．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点．若点P是线段AB上一动点，Q为线段AD上一点，则△PQE的周长的最小值是 　6　．

【解答】解：作E点关于AB的对称点G，作E点关于AD的对称点F，连结FG交AD于点Q，交AB于点P，

∴FQ＝EQ，PE＝PG，

∴PQ+QE+PE＝FQ+PQ+GP＝FG，此时△PQE的周长最小，

由对称性可得，FE⊥AD，GE⊥AB，

∵E是BC的中点，

∴FE是BC的垂直平分线，

连结DE，

∵菱形ABCD中，∠BAD＝60°，

∴△BCD是等边三角形，

∵E是BC的中点，

∴DE是BC的垂直平分线，

∴D点在EF上，

∴DF＝DE，

在Rt△BCD中，BC＝12，∠BCD＝60°，

∴DE＝6，

∴EF＝12，

∵AB⊥GH，FH⊥GH，

∴FH∥AB∥CD，

∴∠HFE＝∠CDE＝30°，

∴HEEF＝6，

在Rt△EFH中，FH18，

∵∠ABC＝180°﹣∠BAD＝120°，

∴∠EBM＝60°，

∴∠BEM＝30°，

在Rt△BEM中，BMBE＝3，

∴ME＝3，

∴GM＝ME＝3，

∴GE＝6，

∴GH＝GE+EH＝6612，

在Rt△FHG中，FG6，

∴△PQE的周长的最小值是6，

故答案为：6．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）解方程：x2﹣x﹣1＝0．

【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，

∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，

则

∴，．

18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．

（1）填表：

（2）在平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣4x+3的图象；（3）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是 　x＜1或x＞3　．（直接写出结果）

【解答】解：（1）x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3；x＝1时，y＝x2﹣4x+3＝0；x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝﹣1；x＝3时，y＝x2﹣4x+3＝0；x＝4时，y＝x2﹣4x+3＝3；

故答案为：3，0，﹣1，0，3；

（2）画出函数y＝x2﹣4x+3的图象如下：

（3）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜1或x＞3，

故答案为：x＜1或x＞3．

19．（8分）用一条长40cm的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm．

（1）若围成的矩形面积为75cm2，求x的值；

（2）当x为何值时围成的矩形面积最大，最大面积是多少？

【解答】解：（1）由已知，矩形的另一边长为（20﹣x）cm，

由题意得：x（20﹣x）＝75，

整理得：x2﹣20x+75＝0，

解得：x1＝5，x2＝15，

答：x的值为5cm或15cm；

（2）设矩形的面积为ycm2，

由题意得：y＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，

∵﹣1＜0，

∴当x＝10时，y有最大值，最大值为100，

答：当x为10cm时围成的矩形面积最大，最大面积是100cm2．

20．（8分）如图，在△ABC中，点A（﹣3，﹣1），B（1，1），C（0，3）．

（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，点A，B，C的对应点A1，B1，C1均落在格点上，画出旋转后的△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；

（2）将△ABC绕点A旋转后，B，C对应点B2，C2均落在格点上，画出旋转后的△AB2C2，并直接写出点B2，C2的坐标；

（3）若线段B1C1绕某点旋转后恰好与线段B2C2重合，直接写该点的坐标为 　（4，﹣2）　．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1（﹣1，3），B1（1，﹣1），C1（3，0）；

（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（1，﹣3），C2（2，﹣1）；

（3）若线段B1C1绕某点旋转后恰好与线段B2C2重合，该点Q的坐标为（4，﹣2）．

故答案为：（4，﹣2）．

21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2与x轴分别交于（x1，0），（x2，0）两点．

（1）求m的取值范围．

（2）若x1，x2满足（x1+2）（x2+2）＝5，求m的值．

（3）点（a，y1），（b，y2），（，y3）均在抛物线上，若a＜b，请直接写出y1，y2，y3的大小关系（用“＜”连接）．

【解答】解：（1）根据题意得：△＝4（m﹣1）2﹣4m2＝﹣8m+4＞0，

解得m；

（2）根据题意得x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝m2，

∵（x1+2）（x2+2）＝5，

∴x1x2+2（x1+x2）+4＝5，

∴m2+4m﹣4+4＝5，

整理得m2+4m﹣5＝0，

解得m1＝﹣5，m2＝1，

而m；

∴m的值为﹣5；

（3）∵y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线xm﹣1，

∴m，

∴m﹣1

∵a＜b，

∴a＜b，

∴y3＜y1＜y2．

22．（10分）R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basicreproductionnumber．更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数．例如：有1人感染新型冠状病毒，若R0＝3.50，则经两轮传染后感染新型冠状病毒的人数为：1+1×3.50+1×3.50×3.50≈17（人）．时下人心惶惶的新型冠状病毒的基本传染数据估计为3.30到5.40之间．请解答下列问题：

（1）若现有10人感染新型冠状病毒，则经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数大约在什么范围内（直接写出结果，结果保留整数）？

（2）最近，新型冠状病毒变异出德尔塔毒株，德尔塔变异病毒的R0值极高．若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染．

①求德尔塔变异病毒的R0值；

②国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低．例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值为：R0（1﹣40%）＝0.6R0．若有1人感染德尔塔变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？

【解答】解：（1）当R0＝3.30时，经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数为：10+10×3.30+10×3.30×3.30≈152（人），

当R0＝5.40时，经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数为：10+10×5.40+10×5.40×5.40≈356（人），

∴现有10人感染新型冠状病毒，则经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数大约在152人至356人；

（2）①根据题意得：1+1×R0+1×R0×R0＝73，即R02+R0﹣72＝0，

解得R0＝﹣9（舍去）或R0＝8，

答：德尔塔变异病毒的R0值为8；

②设全民接种率至少应该达到x%，根据题意得：

1+1×8（1﹣x%）+1×8（1﹣x%）×8（1﹣x%）≤7，

令8（1﹣x%）＝y，则1+y+y2≤7，

∴y2+y﹣6≤0，解得﹣3≤y≤2，

即8（1﹣x%）≤2，

∴x%≥75%，

答：全民接种率至少应该达到75%．

23．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝α，O为AC的中点，将点O沿BC翻折得到点O′，将△ABC绕点O′顺时针旋转，使点B与C重合，旋转后得到△ECF．

（1）如图1，旋转角为 　2α　．（用含α的式子表示）

（2）如图2，连BE，BF，点M为BE的中点，连接OM，

①∠BFC的度数为 　α　．（用含α的式子表示）

②试探究OM与BF之间的关系．

（3）如图3，若α＝30°，请直接写出的值为 　　．

【解答】解：如图1，连接OB、O′B、O′C，

∵∠ABC＝90°，O为AC的中点，

∴OB＝OA＝OCAC，

∴∠OBA＝∠A＝α，

∴∠CBO＝∠ABC﹣∠OBA＝90°﹣α，

∵将点O沿BC翻折得到点O'，

∴∠CBO'＝∠CBO＝90°﹣α，

由旋转可知，O'B＝O'C，∠FCO'＝∠CBO'，BC＝CF，

∴∠BCO'＝∠CBO'＝90°﹣α，

∴∠BO'C＝180°﹣2∠CBO'＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，

故答案为：2α；

（2）①如图2，连接BO、EO，延长OM交EF于N，

由（1）和图1知：

∠FCO'＝∠CBO'＝90°﹣α，BC＝CF，

∴∠BCF＝2∠CBO'＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，

∵BC＝CF，

∴∠BFC＝∠FBCα，

故答案为：α；

②如图2，由①得：∠CBF＝∠BFC＝∠A＝α，

由旋转可知：∠CFE＝∠BCA，AC＝EF，

∵∠ABC＝90°，

∴∠A+∠BCA＝90°，

∴∠BFC+∠CFE＝90°，

∴BF⊥EF，

∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠BCA，

∴∠A+∠BCA＝90°，

∴∠CBF+∠OBC＝90°，

∴OB⊥BF，

∴OB∥EF，

∴∠OBM＝∠NEM，

∵M为BE的中点，

∴BM＝EM，

在△OBM和△NEM中，

，

∴△OBM≌△NEM（ASA），

∴EN＝BO，OM＝MNON，

∴ENACEF，

∴N为EF的中点，

∴ON∥BF，

∵BF⊥EF，

∴ON⊥EF，

∴四边形OBFN是矩形，

∴ON＝BF，

又∵OMON，

∴BF＝2OM；

（3）如图3，连接CO'交BF于H，

∵∠BCO'＝∠FCO'，BC＝CF，

∴CH⊥BF，BF＝2HF，

∵BF＝2OM，

∴OM＝HF，

由（2）①知：∠BFC＝α，

∵α＝30°，

∴∠BFC＝30°，

∴HFCF，

∵OM＝HF，

∴CF，

又∵∠ECF＝∠ABC＝90°，∠FEC＝∠A＝α＝30°，

∴EF＝2CF，

∴BEOM，

∴，

故答案为：．

24．（12分）抛物线C1：y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，抛物线的对称轴l交BC于M，交OB于N，点I为MN的中点．若抛物线上一点P关于点I的中心对称点Q正好落在坐标轴上，求点P的坐标；

（3）如图2，点G（﹣3，0），将抛物线C1平移得到抛物线C2，C2的顶点D始终在线段CG上，抛物线C2与x轴交于EF两点，过点D作DH垂直于x轴于点H，线段DH和EF之间存在怎样的数量关系？判断并说明理由．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得

，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）当x＝0时，y＝3，则点C（0，3），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，则

，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，

∴N（1，0），当x＝1时，y＝2，即M（1，2），

∴MN的中点I的坐标为（1，1），

设P（x，﹣x2+2x+3），则点Q的坐标为（2﹣x，x2﹣2x﹣1），

当点Q在x轴上时，x2﹣2x﹣1＝0，

解得：x＝1，或x＝1，

∴点P为（1，2）或（1，2），

当点Q在y轴上时，2﹣x＝0，

∴x＝2，

∴点P为（2，3），

综上所述，点P的坐标为（1，2）或（1，2）或（2，3）．

（3）EF2＝4DH，理由如下，

设直线GC的解析式为y＝mx+n，则

，解得：，

∴直线GC的解析式为y＝x+3，

设点D的坐标为（a，a+3）（﹣3≤a≤0），则DH＝a+3，

∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣a）2+a+3，

当y＝0时，﹣（x﹣a）2+a+3＝0，

解得：x＝a或x＝a，

∴EF＝|a（a）|＝2，

∴EF2＝4（a+3）＝4DH．