2021-2022学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷，共22页。
2021-2022学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的选项涂黑1．（3分）下列四种垃圾回收标志中，是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（3分）方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）A．2，0，3 B．2，1，3 C．2，0，﹣3 D．2，1，﹣33．（3分）在下列抛物线中，其顶点是（﹣2，1）的是（　　）A．y＝（x+2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣14．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，P为弦AB上动点，则线段OP长的取值范围是（　　）A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤55．（3分）“十一”国庆节，某高校发起了“热爱祖国，说句心里话”的征集活动，某同学将征集活动发在自己的朋友圈，并邀请x个好友转发，每个好友转发后，又各自邀请x个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，则可列方程是（　　）A．x2+x＝241 B．（x+1）2＝241 C．x（x﹣1）＝241 D．x2+x+1＝2416．（3分）已知⊙O的直径为12，直线l上有一点P，OP＝6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交7．（3分）关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）A．k B．k且k≠0 C．k D．k且k≠08．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（　　）A．20° B．25° C．30° D．35°9．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则下列说法中正确的是（　　）A．抛物线开口向下 B．对称轴可能为直线x＝3 C．y1＞y4 D．5a+b＞010．（3分）如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是上一点，AB＝5，PB＝1，则PC的长是（　　）A． B．2 C． D．3二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置11．（3分）方程x2＝x的解是 　   　．12．（3分）将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位得到的解析式为　   　．13．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），将点A绕原点顺时针旋转90°得到点A′，则A′的坐标为 　   　．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，若∠DOB＝140°，则∠CBA的度数为 　   　．15．（3分）已知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．关于x的一次函数y＝kx+3k的图象与抛物线交点的横坐标分别为x1和x2，且x1＜x2＜1．则k的取值范围为 　   　．16．（3分）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 　   　．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定的位置写出文字说明证明过程演算步骤或画出图形17．（8分）解方程：x2﹣x﹣3＝0．18．（8分）如图，在半径为5的⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，AE＝BE，已知CE＝2，求AD的长．19．（8分）如图，一个长为30cm，宽为20cm的长方形礼品盒表面镶有宽度相同的四条丝带，若盒子表面未被丝带覆盖的面积为200cm2，则丝带的宽度为多少cm？20．（8分）如图．是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．点A，B，C，O都在格点上．（1）在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1（其中点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；（2）在图中描出△ABC的外心P，并直接写出点A到直线PB的距离．21．（8分）已知：如图，P为⊙O外一点，射线PO交⊙O于点A，B，C为⊙O上一点，连AC，BC，过点O作OD⊥AC于点E，交直线PC于点D，∠AOD＝∠PCA．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若BC＝4，DE＝1，求⊙O的半径．22．（10分）某超市销售一种成本为30元/千克的食品，设第x天的销售量为n千克，销售价格为y元/千克，现已知以下条件：①y与x满足一次函数关系，且当x＝10时，y＝50；当x＝20时，y＝45；②n与x的关系式为n＝6x+60．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设每天的销售利润为W元，在整个销售过程中，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该超市把销售价格在当天的基础提高a元/千克（a为整数），那么在前30天（包含第30天）每天的销售利润随x的增大而增大，求a的最小值．23．（10分）已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．（1）将线段AB绕点A旋转至如图1所示的AP处，若AP∥BC，求∠ABP的度数；（2）如图2，M为边BC下方一点，E为线段BM的中点，Q为线段CM垂直平分线上一点，若∠AEQ＝90°，求∠CQM的度数；（3）如图3，D为BC边上一点，已知DB＝DA，将△ABC沿BC翻折至△FBC，将线段BD绕点B顺时针旋转得到线段BH，连FH，N为FH的中点，连AN，请直接写出在旋转过程中AN的最大值． 24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣5ax+c的最小值为，其图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），且过点D（0，4）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如图1，已知C（﹣1，0）将线段CB平移至线段MN（点C，B的对应点分别为M，N），使点M，N都在抛物线上．若直线l：y＝kx+b（k≠0）将四边形CBNM分成面积相等的两部分，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求k的值；（3）如图2，若直线y＝3x+m与抛物线交于P，Q两点，求证：△PAQ的内心在x轴上． 
2021-2022学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的选项涂黑1．（3分）下列四种垃圾回收标志中，是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【解答】选项A，B，D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：C．2．（3分）方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）A．2，0，3 B．2，1，3 C．2，0，﹣3 D．2，1，﹣3【解答】解：∵2x2+x＝3，∴2x2+x﹣3＝0，∴方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，﹣3，故选：D．3．（3分）在下列抛物线中，其顶点是（﹣2，1）的是（　　）A．y＝（x+2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1【解答】解：y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），故选项A不符合题意；y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1），故选项B不符合题意；y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1），故选项C符合题意；y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），故选项D不符合题意．故选：C．4．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，P为弦AB上动点，则线段OP长的取值范围是（　　）A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤5【解答】解：过点O作OH⊥AB于H，连接OB，则AH＝HBAB＝4，在Rt△OBH中，OH3，∴线段OP长的取值范围是3≤OP≤5，故选：B．5．（3分）“十一”国庆节，某高校发起了“热爱祖国，说句心里话”的征集活动，某同学将征集活动发在自己的朋友圈，并邀请x个好友转发，每个好友转发后，又各自邀请x个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，则可列方程是（　　）A．x2+x＝241 B．（x+1）2＝241 C．x（x﹣1）＝241 D．x2+x+1＝241【解答】解：依题意得：1+x+x2＝241．故选：D．6．（3分）已知⊙O的直径为12，直线l上有一点P，OP＝6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交【解答】解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝6＝r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜6＝r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选：D．7．（3分）关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）A．k B．k且k≠0 C．k D．k且k≠0【解答】解：当k＝0时，原方程可化为﹣x﹣3＝0，∴x＝﹣3，∵方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k（k﹣3）＝8k+1≥0，解得：k，∴k的取值范围为：k．故选：A．8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（　　）A．20° B．25° C．30° D．35°【解答】解：∵将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，∵AD∥CE，∴∠DAE＝∠AEC＝50°，∴∠ACE＝∠AEC＝50°，∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠BAE＝∠EAC﹣∠BAC＝80°﹣50°＝30°．故选：C．9．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则下列说法中正确的是（　　）A．抛物线开口向下 B．对称轴可能为直线x＝3 C．y1＞y4 D．5a+b＞0【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点，若y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在和3之间，故A、B错误；∴P1（1，y1）离对称轴的距离最大，∴y1＞y4，故C正确；∵y3＜y2，∴9a+3b+c＜4a+2b+c，∴5a+b＜0，故D错误；故选：C．10．（3分）如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是上一点，AB＝5，PB＝1，则PC的长是（　　）A． B．2 C． D．3【解答】解：连接AC、BC，过点C作CQ⊥BP，交BP的延长线于点Q，∵AB为直径，C为半圆的中点，∴CB＝CA，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴BCAB55，∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠CPB+∠CAB＝180°，∵∠CPB+∠CPQ＝180°，∴∠CPQ＝∠CAB＝45°，又∵CQ⊥BP，∴∠CPQ＝∠PCQ＝45°，∴PQ＝CQPC，∴BQ＝BP+PQ＝1PC，在Rt△BCQ中，BQ2+CQ2＝BC2，即52，解得，PC＝3或PC＝﹣4（舍去），∴PC＝3，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置11．（3分）方程x2＝x的解是 　x1＝0，x2＝1　．【解答】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝112．（3分）将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位得到的解析式为　y＝x2﹣2　．【解答】解：抛物线y＝x2+1向下平移3个单位得到的解析式为y＝x2+1﹣3，即y＝x2﹣2．故答案为y＝x2﹣2．13．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），将点A绕原点顺时针旋转90°得到点A′，则A′的坐标为 　（4，﹣2）　．【解答】解：如图，A′（4，﹣2），故答案为：（4，﹣2）．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，若∠DOB＝140°，则∠CBA的度数为 　20°　．【解答】解：如图，记AB与CD交于点M，∵∠DOB＝140°，∠DOB＝2∠C，∴∠C＝70°，∵CD⊥AB于点M，∴∠CMB＝90°，∴∠CBA＝180°﹣∠CMB﹣∠C＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故答案为：20°．15．（3分）已知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．关于x的一次函数y＝kx+3k的图象与抛物线交点的横坐标分别为x1和x2，且x1＜x2＜1．则k的取值范围为 　k＜0且k≠﹣4　．【解答】解：y＝x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，y＝kx+3k＝0，解得x＝﹣3，∵x1＜x2＜1，∴x1＝﹣3，x2＝1时，y＝0，代入y＝kx+3k，解得k＝0，∴k＜0，联立：x2+2x﹣3＝kx+3k，Δ＞0，解得k≠﹣4，∴k＞﹣4，综上所述：k的取值范围为k＜0且k≠﹣4．故答案为k＜0且k≠﹣4．16．（3分）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 　7　．【解答】解：连接AD，过D作DF⊥AE于F，延长BA交DF的延长线于H，∵D为AB垂直平分线上一点，AB＝2，∴BD＝AD，ACAB，∴∠ADCADB，∵将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，∴DE＝BD，∴DE＝AD，∴∠ADFADE，AFAE＝2，∴∠HDC＝∠ADF+∠ADCBDE＝30°，∵∠HCD＝∠AFH＝90°，∴∠H＝60°，∴∠CDH＝30°，AH，∴CH＝AH+AC，∴CDCH＝7，故答案为：7．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定的位置写出文字说明证明过程演算步骤或画出图形17．（8分）解方程：x2﹣x﹣3＝0．【解答】解：a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0∴x，∴，．18．（8分）如图，在半径为5的⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，AE＝BE，已知CE＝2，求AD的长．【解答】解：连接OA，∵OC＝5，CE＝2，∴OE＝3，∵AE＝EB，∴OE⊥AB，∴AE4，∴AD4．19．（8分）如图，一个长为30cm，宽为20cm的长方形礼品盒表面镶有宽度相同的四条丝带，若盒子表面未被丝带覆盖的面积为200cm2，则丝带的宽度为多少cm？【解答】解：设丝带的宽度为xcm，则盒子表面未被丝带覆盖的部分可合成长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的长方形，依题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝200，整理得：x2﹣25x+100＝0，解得：x1＝5，x2＝20．当x＝5时，20﹣2x＝20﹣2×5＝10＞0，符合题意；当x＝20时，20﹣2x＝20﹣2×20＝﹣20＜0，不合题意，舍去．答：丝带的宽度为5cm．20．（8分）如图．是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．点A，B，C，O都在格点上．（1）在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1（其中点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；（2）在图中描出△ABC的外心P，并直接写出点A到直线PB的距离．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，点P为所作，设点A到直线PB的距离为h，∵S△PAB224，而PB，∴h＝4，解得h，即点A到直线PB的距离为．21．（8分）已知：如图，P为⊙O外一点，射线PO交⊙O于点A，B，C为⊙O上一点，连AC，BC，过点O作OD⊥AC于点E，交直线PC于点D，∠AOD＝∠PCA．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若BC＝4，DE＝1，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，∵OD⊥AC，∴∠AOD+∠OAC＝90°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠PCA＝∠AOD，∴∠PCA+∠OCA＝90°，即OC⊥PC，又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵OD⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OEBC＝2，∵∠AEO＝∠DEC＝90°，∠DCE＝∠AOE，∴△DEC∽△AEO，∴，即，∴AE，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA，即⊙O的半径为．22．（10分）某超市销售一种成本为30元/千克的食品，设第x天的销售量为n千克，销售价格为y元/千克，现已知以下条件：①y与x满足一次函数关系，且当x＝10时，y＝50；当x＝20时，y＝45；②n与x的关系式为n＝6x+60．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设每天的销售利润为W元，在整个销售过程中，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该超市把销售价格在当天的基础提高a元/千克（a为整数），那么在前30天（包含第30天）每天的销售利润随x的增大而增大，求a的最小值．【解答】解：（1）由题意可设y与x的函数解析式为y＝kx+b，∵当x＝10时，y＝50；当x＝20时，y＝45，∴，解得：，∴y与x的函数关系式为yx+55；（2）由题意，得W＝（y﹣30）n＝（x+55﹣30）（6x+60）＝﹣3x2+120x+1500＝﹣3（x﹣20）2+2700，∵﹣3＜0，∴当x＝20时，W有最大值，最大值为2700，∴第20天的销售利润最大，最大利润是2700元；（3）∵销售价格在当天的基础提高a元/千克，∴W＝（y﹣30+a）n＝（x+25+a）（6x+60）＝﹣3x2+（120+6a）x+1500+60a，∴对称轴为直线x20+a，∵在前30天（包含第30天）每天的销售利润随x的增大而增大，﹣3＜0，∴20+a＞29.5，解得：a＞9.5，∴a的最小值为10．23．（10分）已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．（1）将线段AB绕点A旋转至如图1所示的AP处，若AP∥BC，求∠ABP的度数；（2）如图2，M为边BC下方一点，E为线段BM的中点，Q为线段CM垂直平分线上一点，若∠AEQ＝90°，求∠CQM的度数；（3）如图3，D为BC边上一点，已知DB＝DA，将△ABC沿BC翻折至△FBC，将线段BD绕点B顺时针旋转得到线段BH，连FH，N为FH的中点，连AN，请直接写出在旋转过程中AN的最大值． 【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C30°，∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠C＝30°，∴∠BAP＝∠BAC+∠PAC＝150°，∵AB＝AP，∴∠ABP＝∠P15°；（2）如图2，延长QE至N，使NE＝QE，连接BN，AN，AQ，∵∠AEQ＝90°，∴AN＝AQ，∵BE＝EM，∠BEN＝∠MEQ，∴△BEN≌△MEQ（SAS），∴BN＝MQ，∠BNE＝∠MQE，∵Q点在CM的垂直平分线上，∴CQ＝MQ，∴BN＝CQ，∵AB＝AC，∴△ABN≌△ACQ（SSS），∴∠CAQ＝∠BAN，AN＝AQ，∴∠BAN+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝120°，∴∠NAQ＝120°，∴∠AQE＝∠ANE＝30°，∴∠CQM＝∠AQC+∠AQM＝∠ANB+（∠AQE﹣∠MQE）＝（∠ANE+∠BNE）+∠AQE﹣∠MQE＝30°+∠MQE+30°﹣∠MQE＝60°；（3）如图3，∵DB＝DA，∴∠BAD＝∠ABC＝30°，∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°，∴DB＝DA＝AC•tan∠ACD＝44，取BF的中点M，连接MN，∵N是HF的中点，∴MNBHBD＝2，∴点N在以M为圆心，半径是2的圆上，在△ABM中，AB＝4，BMAB＝2，∠ABF＝60°，作MK⊥AB于K，∴BK＝BM•cos60°，KM＝BM•sin60°＝3，∴AK＝AB﹣BK＝3，∴AM6，当AN（图中N′位置）过点M，AN最大，AN′＝AM+MN′＝6+2＝8．24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣5ax+c的最小值为，其图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），且过点D（0，4）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如图1，已知C（﹣1，0）将线段CB平移至线段MN（点C，B的对应点分别为M，N），使点M，N都在抛物线上．若直线l：y＝kx+b（k≠0）将四边形CBNM分成面积相等的两部分，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求k的值；（3）如图2，若直线y＝3x+m与抛物线交于P，Q两点，求证：△PAQ的内心在x轴上． 【解答】（1）解：∵过点D（0，4），∴c＝4，∴（a＞0），∴a＝1，∴y＝x2﹣5x+4；（2）解：由x2﹣5x+4＝0得，x1＝1，x2＝4，∴A（1，0），B（4，0），∴BC＝5，∵抛物线的对称轴x，∴M点的横坐标是0，∴M（0，4），N（5，4），∴2，2∴平行四边形CBNM的对称中心是（2，2），∵直线l：y＝kx+b（k≠0）将四边形CBNM分成面积相等的两部分，∴直线l过（2，2），∴2k+b＝2，∴b＝2﹣2k，∴1，当k＞0时，b2＝2k，∴（2﹣2k）2＝2k，∴k＝2或k，当k＜0时，b2＝﹣2k，∴（2﹣2k）2＝﹣2k，方程无解，综上所述：k＝2或k；（3）证明：如图2， 作PE⊥AB于E，QF⊥AB于F，由得，，，设t＝12+m，∴，，∴PE＝t2+3t，AE＝（4+t）﹣1，FQ＝﹣（t2﹣3t），AF＝（4﹣t）﹣1，∴t，t，∴，∵∠AEP＝∠AFQ＝90°，∴△APE∽△AQF，∴∠PAB＝∠QAB，∴△PAQ的内心在x轴上．