2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。1．（3分）将一元二次方程2x2＝3x﹣1化成一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数是（　　）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣12．（3分）下列图标中，是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．3．（3分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　）A．30° B．90° C．120° D．180°4．（3分）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）A．开口向上 B．对称轴是x＝﹣1 C．有最小值2 D．顶点坐标是（1，2）5．（3分）将抛物线y＝2x2平移到抛物线y＝2x2﹣4x﹣1，正确的平移方法是（　　）A．向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 B．向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度 C．向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度6．（3分）如图，在⊙O中AB为直径，CD为弦，AB⊥CD于点E，CD＝6，EB＝1，则AE的长为（　　）A．5 B．7 C．8 D．97．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）A．80° B．70° C．60° D．50°8．（3分）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　）A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m9．（3分）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（　　）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1 C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜110．（3分）已知a，b是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则2a25b的值是（　　）A．﹣18 B．18 C．22 D．20二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（﹣2，3）关于原点对称点的坐标是　   　．12．（3分）已知函数y＝x2﹣8x+9，当x＞　   　时，y随x的增大而增大．13．（3分）已知在一次会议中，参会的每两个人之间握手一次，全部参会人员一共握手66次，则参会的人数是 　   　人．14．（3分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米，则y与x的函数关系式是 　   　．15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0．下列四个结论：①若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）；②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≥0．其中正确的是 　   　．（填写序号）16．（3分）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，动点P从顶点B出发，沿BC边以1个单位长度/秒的速度向顶点C运动，点Q为AC中点，AP+PQ＝y，y随运动时间t变化的函数图象如图2，则函数图象最低点的坐标是 　   　． 三、解答题（共8小题，共72分）17．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．18．（8分）如图，在⊙O中，C为弦AB的中点，连接CO并延长交⊙O于点D，AB＝CD＝8，求⊙O的半径．19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5，请回答下列问题：（1）其图象与x轴的交点坐标为 　   　；（2）当x满足 　   　时，y＜0；（3）当﹣1≤x≤4时，函数y的取值范围是 　   　．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，直接写出它的根．21．（10分）如图是12×9的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知A（﹣4，0），B（0，3），C（﹣2，4），仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图，并回答问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）直接写出△ABC的形状；（2）线段AB平移至线段OD（点O与点A对应），画出线段OD；（3）格点E在第四象限内，使∠ODE＝45°．①画出格点E，并写出点E的坐标；②连接OE，线段AB绕点M旋转一个角度可以得到线段OE（点O与点A对应），直接写出点M的坐标．（4）将△ABC绕点A逆时针旋转角度2α（其中α＝∠BAC）得到△AB1C1（点C1与点C对应），画出△AB1C1．22．（10分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：售价x（元/件）4050周销售量y（件）120100周销售利润w（元）24003000注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）直接写出该商品的每件的进价以及y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当每件售价x为多少时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．23．（10分）将正方形ABCD的边CD绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜90）至CP，连接PB，PD．（1）如图1，当α＝40°时，直接写出∠BPD的大小；（2）如图2，过点B作BE⊥PD交PD延长线于点E，连接AE．①求∠BPD的大小；②探究AE，PD之间的数量关系，并证明你的结论；③当点D为PE中点时，PB＝6，直接写出四边形ABPE的面积．24．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝OC，其对称轴为直线x＝1．（1）直接写出抛物线C的解析式；（2）已知点D（1，2），点E，F均在抛物线上（点E在点F右侧），若以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）如图2，将抛物线C平移得到抛物线C1，使C1的顶点在原点，过点P（t，﹣1）的两条直线PM，PN，它们与y轴不平行，都与抛物线C1只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线MN必过定点．
2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。1．（3分）将一元二次方程2x2＝3x﹣1化成一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数是（　　）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：2x2＝3x﹣1，2x2﹣3x+1＝0，所以一次项系数是﹣3，故选：B．2．（3分）下列图标中，是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：C．3．（3分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　）A．30° B．90° C．120° D．180°【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选：C．4．（3分）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）A．开口向上 B．对称轴是x＝﹣1 C．有最小值2 D．顶点坐标是（1，2）【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，a＝﹣3＜0，∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意；当x＝1时取得最大值2，故选项C不符合题意；顶点坐标为（1，2），故选项D符合题意；故选：D．5．（3分）将抛物线y＝2x2平移到抛物线y＝2x2﹣4x﹣1，正确的平移方法是（　　）A．向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 B．向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度 C．向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为（1，﹣3），而点（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移3个单位可得到点（1，﹣3），所以抛物线y＝2x2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y＝2x2﹣4x﹣1．故选：D．6．（3分）如图，在⊙O中AB为直径，CD为弦，AB⊥CD于点E，CD＝6，EB＝1，则AE的长为（　　）A．5 B．7 C．8 D．9【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB⊥CD，CD＝6，∴CE＝EDCD＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝OB﹣EB＝r﹣1，在Rt△OEC中，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（r﹣1）2+32＝r2，解得：r＝5，∴OA＝5，OE＝4，∴AE＝OA+OE＝9，故选：D．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）A．80° B．70° C．60° D．50°【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°，∴∠CDA＝∠CAD＝50°，∴∠BAD＝80°，故选：A．8．（3分）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　）A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），得：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，把x＝﹣3代入抛物线解析式得出：y＝﹣0.5×（﹣3）2+2＝﹣2.5，∴水面下降2.5米，故选：C．9．（3分）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（　　）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1 C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1【解答】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x2，∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．故选：D．10．（3分）已知a，b是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则2a25b的值是（　　）A．﹣18 B．18 C．22 D．20【解答】解：根据根与系数的关系得到a+b＝4，ab＝﹣1，∴a，∴2a25b＝2a2﹣3a+5b，∵a是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的实数根，∴a2﹣4a﹣1＝0，∴a2＝4a+1，∴2a25b＝2（4a+1）﹣3a+5b＝8a+2﹣3a+5b＝5（a+b）+2＝5×4+2＝22．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（﹣2，3）关于原点对称点的坐标是　（2，﹣3）　．【解答】解：∵点M（﹣2，3）关于原点对称，∴点M（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．故答案为（2，﹣3）．12．（3分）已知函数y＝x2﹣8x+9，当x＞　4　时，y随x的增大而增大．【解答】解：y＝x2﹣8x+9＝（x2﹣8x+16）﹣7＝（x﹣4）2﹣7，∵a＝1＞0，对称轴x＝4，∴当x＞4时，y随x的增大而增大，故答案为：4．13．（3分）已知在一次会议中，参会的每两个人之间握手一次，全部参会人员一共握手66次，则参会的人数是 　12　人．【解答】解：设共有x人参会，依题意得：x（x﹣1）＝66，整理得：x2﹣x﹣132＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．故答案为：12．14．（3分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米，则y与x的函数关系式是 　y＝﹣2x2+30x　．【解答】解：设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（30﹣2x）米．依题意可得：y＝x（30﹣2x），即y＝﹣2x2+30x．故答案为：y＝﹣2x2+30x．15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0．下列四个结论：①若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）；②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≥0．其中正确的是 　①②④　．（填写序号）【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a﹣b+c＝0，∴（﹣1，0）是抛物线与x轴的一个交点．①∵b＝﹣2a，∴对称轴为直线x1，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴抛物线经过点（3，0），即①正确；②Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，∴抛物线与x轴一定有公共点，∵a≠c，∴抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故②正确；③方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c整理得，a（2﹣x）2+b（2﹣x）+c＝0，∵a﹣b+c＝0，∴当2﹣x＝﹣1时，a+b+c＝0，∴x＝3，∴一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝3；故③错误；④由题意可知，抛物线开口向上，且2，∴﹣b≤4a，∵a﹣b+c＝0，∴﹣b＝﹣a﹣c，∴﹣a﹣c≤4a，∴5a+c≥0．故④正确．故答案为：①②④．16．（3分）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，动点P从顶点B出发，沿BC边以1个单位长度/秒的速度向顶点C运动，点Q为AC中点，AP+PQ＝y，y随运动时间t变化的函数图象如图2，则函数图象最低点的坐标是 　（，）　． 【解答】解：由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，由图2可知，BC＝4，∴AB＝AC＝2，∴AQ＝CQ，如图，把Rt△ABC补全成正方形ABA′C，由正方形对称性可知，A′P＝AP，∴AP+PQ＝A′P+PQ，∴当A′、P、Q共线时，AP+PQ的值最小，在Rt△A′CQ中，DE，∴PB+PE的最小值为，∴最低点的纵坐标为，∵CQ∥A′B，∴2，∵BC＝4，∴BP＝4，∴最低点的横坐标为，结合选项可知，当a＝3时，点Q的坐标为（，）．故答案为：（，）．三、解答题（共8小题，共72分）17．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴Δ＝9+8＝17＞0，∴x，x1，x2．18．（8分）如图，在⊙O中，C为弦AB的中点，连接CO并延长交⊙O于点D，AB＝CD＝8，求⊙O的半径．【解答】解：连接OA，如图所示：∵C为AB中点，AB＝8，∴OC⊥AB，ACAB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，∵CD＝8，∴OC＝8﹣r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，即r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，即⊙O的半径为5．19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5，请回答下列问题：（1）其图象与x轴的交点坐标为 　（1，0）和（5，0）　；（2）当x满足 　1＜x＜5　时，y＜0；（3）当﹣1≤x≤4时，函数y的取值范围是 　﹣4≤y≤12　．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴它与x轴的交点坐标为（1，0）和（5，0）；故答案为：（1，0）和（5，0）； （2）∵抛物线y＝x2﹣6x+5开口向上，与x轴的交点坐标为（1，0）和（5，0）；∴当1＜x＜5 时，y＜0；故答案为：1＜x＜5； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴顶点坐标为（3，﹣4），∴x＝3时，有最小值﹣4，当x＝﹣1时，y＝1+6+5＝12，∴当﹣1≤x≤4时，y的范围是﹣4≤y≤12．故答案为：﹣4≤y≤12．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，直接写出它的根．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）≥0，解得：m即m的取值范围为m；（2）根据题意得x1+x2＝4，∵该方程的两个根都是符号相同的整数∴x1＝1，x2＝3 或x1＝x2＝2．21．（10分）如图是12×9的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知A（﹣4，0），B（0，3），C（﹣2，4），仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图，并回答问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）直接写出△ABC的形状；（2）线段AB平移至线段OD（点O与点A对应），画出线段OD；（3）格点E在第四象限内，使∠ODE＝45°．①画出格点E，并写出点E的坐标；②连接OE，线段AB绕点M旋转一个角度可以得到线段OE（点O与点A对应），直接写出点M的坐标．（4）将△ABC绕点A逆时针旋转角度2α（其中α＝∠BAC）得到△AB1C1（点C1与点C对应），画出△AB1C1．【解答】解：（1）∵BC2＝12+22＝5，AC2＝42+22＝20，AB2＝32+42＝25，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形；（2）如图，OD为所作；（3）①如图，E点为所作，E点坐标为（3，﹣4）；②M（﹣2，﹣2）；（4）如图，△AB1C1为所作．22．（10分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：售价x（元/件）4050周销售量y（件）120100周销售利润w（元）24003000注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）直接写出该商品的每件的进价以及y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当每件售价x为多少时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．【解答】解：（1）由表中数据知，每件商品进价为：20，∴每件进价 20元；设一次函数解析式为y＝kx+b，根据题意，得，解得：，所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；（2）由题意，得w＝（﹣2x+200）（x﹣20）＝﹣2x2+240x﹣4000＝﹣2（x﹣60）2+3200，∵﹣2＜0，∴当x＝60时，w有最大值，最大值为3200，∴当每件售价为60元时，周销售利润w最大，最大利润为3200元；（3）根据题意得，w＝（x﹣20﹣4）（﹣2x+200）＝﹣2x2+248x﹣4800＝﹣2（x﹣62）2+2888，∵﹣2＜0，对称轴为x＝62，24≤x≤m，∴当50＜m＜62时，周销售最大利润为﹣2m2+248m﹣4800，当m≥62时，周销售最大利润为2888元．23．（10分）将正方形ABCD的边CD绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜90）至CP，连接PB，PD．（1）如图1，当α＝40°时，直接写出∠BPD的大小；（2）如图2，过点B作BE⊥PD交PD延长线于点E，连接AE．①求∠BPD的大小；②探究AE，PD之间的数量关系，并证明你的结论；③当点D为PE中点时，PB＝6，直接写出四边形ABPE的面积．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，CB＝CD，由旋转的性质可知，CD＝CP，∵∠DCP＝40°，∴∠CPD＝∠CDP（180°﹣40°）＝70°，∵CB＝CD，CD＝CP，∴CB＝CP，∵∠BCP＝∠BCD+∠DCP＝130°，∴∠CPB＝∠CBP（180°﹣130°）＝25°，∴∠BPD＝∠CPD﹣∠CPB＝70°﹣25°＝45°； （2）解：①∵CD绕顶点C顺时针旋转α°至CP，∴CD＝CP，∠DCP＝α，∴∠DPC，∵ABCD为正方形∴BC＝CD＝CP，∠BCD＝90°，∴∠BCP＝90+α，∴∠BPC，∴∠BPD＝∠DPC﹣∠BPC45°； ②结论：PDAE．理由：过A作AF⊥AE交BE于点F．∵ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴∠BAD﹣∠FAD＝∠EAF﹣∠FAD，即∠BAF＝∠DAE，又∵BE⊥PE，∴∠BED＝90°＝∠BAD，∴∠ABF＝∠ADE，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴BF＝DE，AF＝AE，由知∠BPD＝45°，∠BED＝90°，∴△BEP为等腰直角三角形，∴BE＝PE，∴BE﹣BF＝PE﹣DE  即EF＝PD，又∵AE＝AF，∠EAF＝90°，∴EF＝PDAE； ③如图3中，∵△PEB是等腰直角三角形，PB＝6，∴EB＝PE＝3，∴S△PBE•EB•EP＝9，∵DE＝DPAE，∴AE，∵△AEF是的以及三角形，∴∠AEB＝∠EBP＝45°，∴AE∥PB，∴，∴S△AEBS△EBP，∴S四边形ABPE＝S△EBP+S△AEB＝9．24．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝OC，其对称轴为直线x＝1．（1）直接写出抛物线C的解析式；（2）已知点D（1，2），点E，F均在抛物线上（点E在点F右侧），若以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）如图2，将抛物线C平移得到抛物线C1，使C1的顶点在原点，过点P（t，﹣1）的两条直线PM，PN，它们与y轴不平行，都与抛物线C1只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线MN必过定点．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x1，即b＝﹣2a①，∵抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，∴C（0，﹣3），OC＝3，∵OB＝OC，∴OB＝3，B（3，0），把B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得9a+3b﹣3＝0②，由①②可知，a＝1，b＝﹣2，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）若CD∥EF，∵四边形CDEF是平行四边形，∴CD∥EF且CD＝EF，∵C（0，﹣3），D（1，2），∴D向左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点C，∵点E，F都在抛物线上，点E在点F的右侧，∴点E左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点F，设E（x，x2﹣2x﹣3），则F（x﹣1，x2﹣2x﹣8），将点F（x﹣1，x2﹣2x﹣8）代入y＝x2﹣2x﹣3得，（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3＝x2﹣2x﹣8，解得x＝4，∴E（4，5），若CE∥DF，∵四边形CEDF是平行四边形，∴CE∥DF且CE＝DF，∵C（0，﹣3），D（1，2），∴CD的中点坐标为（，﹣1），设E（x，x2﹣2x﹣3），则F（﹣x+1，﹣x2+2x+2），将点F（﹣x+1，﹣x2+2x+2）代入y＝x2﹣2x﹣3得，（﹣x+1）2﹣2（﹣x+1）﹣3＝﹣x2+2x+2，解得x或x，∵点E在点F的右侧，∴E（，）．综上，点E的坐标为E（4，5），或E（，）．（3）根据题意得，抛物线C1的解析式为：y＝x2，设M（m，m2），N（n，n2），则直线PM可设为y＝k1（x﹣m）+m2，直线PN可设为y＝k2（x﹣n）+n2，∵直线PM与抛物线只有一个公共点，∴联立y＝k1（x﹣m）+m2与抛物线y＝x2，得，得x2﹣k1x+k1m﹣m2＝0，∴Δ＝k12﹣4（k1m﹣m2）＝（k1﹣2m）2＝0，解得k1＝2m，∴直线PM的解析式为：y＝2m（x﹣m）+m2＝2mx﹣m2，同理可得，直线PN的解析式为：y＝2n（x﹣n）+n2＝2nx﹣n2，联立PM和PN的解析式可得，P（，mn），∵P（t，﹣1），∴mn＝﹣1，设直线MN的解析式为：y＝kx+b，将M（m，m2），N（n，n2）代入可得y＝（m+n）x﹣mn，∴直线MN的解析式为：y＝（m+n）x+1，∴直线MN过定点（0，1）．