2022-2023学年江苏省盐城市亭湖区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省盐城市亭湖区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。


第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下图是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
下列调查中，需要采用全面调查(普查)方式的是( )
A. 对某批次汽车的抗撞击能力的调查
B. 对长征5B火箭发射前各零部件的检查
C. 对全国中学生课外阅读情况的调查
D. 对某一批次盒装牛奶的合格情况的调查
已知等腰三角形的两边长为4，5，则它的周长为( )
A. 13B. 14C. 15D. 13或14
平面直角坐标系中，点(1,-2022)所在象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
下列各组数中能作为直角三角形三边长度的是( )
A. 1，2，3B. 6，8，10C. 3，4，6D. 4，5，8
若kb>0，则函数y=kx+b的图象可能是( )
A. B.
C. D.
如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
如图，点A，B，C在一次函数y=-2x+m的图象上，它们的横坐标依次为-1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是( )
A. 1B. 3C. 3(m-1) D. 32(m-2)
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
函数y=x+2中，自变量x的取值范围是______．
由四舍五入得到的近似数3.17精确到______位．
若实数m，n满足(m+1)2+n-5=0，则m+n=______．
学校为了解我校八年级同学的视力情况，从八年级的15个班共709名学生中，抽取了75名进行分析．在这个问题中，样本容量是______．
“打开电视，正在播放《新闻联播》”是______ 事件．
已知点P(a,b)在一次函数y=3x-1的图象上，则3a-b+1=______．
如图，函数y1=ax和y2=-12x+b的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组y1=axy2=-12x+b的解是______．
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=3cm，BC=4cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD= ______ ．
已知：如图，AB=AC=12cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于28cm，则DC的长为______ ．
如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=4，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
(1)计算：4-(3-π)0+(13)-2；
(2)(2x-1)3-27=0．
四、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题4.0分)
如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB//DE．
(本小题6.0分)
已知：A(1,0)，B(0,4)，C(4,2)．
(1)在坐标系中描出各点(小正方形网格的长度为单位1)，画出△ABC；
(2)若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，请在图中画出△A1B1C1；
(3)点Q是x轴上的一动点，直接写出QB+QC的最小值______．
(本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(-6,0)的直线l1与直线l2：y2=2x相交于点B(m,4)．
(1)求直线l1的表达式；
(2)直线l1与y轴交于点M，求△BOM的面积．
(3)若y2≥y1，直接写出x的取值范围．
(本小题8.0分)
某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目．为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．

(1)求本次被调查的学生人数；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中“足球”所对应扇形的圆心角为______ 度；
(4)该校共有1 200名学生，请估计全校有多少学生喜爱篮球？
(本小题8.0分)
甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示．
(1)A，B两城相距______千米；
(2)当1≤t≤4时，求乙车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系式；
(3)求乙车出发后几小时追上甲车．
(本小题10.0分)
学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好的理解和运用相关定理或结论．
【结论证明】证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．
求证：______．
证明：
小明同学的思路是：取线段AB的中点O，连接CO．
请补全求证的内容，并写出证明过程．
【结论应用】
如图，平面直角坐标系中，∠BAO=30°，点A的坐标为(4,0)，C是AO的中点，D为AB上一动点，连接CD，点A关于直线CD的对称点为A'．
(1)当CD⊥AB时，求点A'的坐标；
(2)当CA'⊥AB时，求点A'的坐标．
(本小题8.0分)
【直观想象】如图1，动点P在数轴上从负半轴向正半轴运动，点P到原点的距离先变小再变大，当点P的位置确定时，点P到原点的距离也唯一确定；
【数学发现】当一个动点P(x,0)到一个定点的距离为d，我们发现d是x的函数；
【数学理解】(1)动点P(x,0)到定点A(2,0)的距离为d，当x= ______ 时，d取最小值；
【类比迁移】(2)设动点P(x,0)到两个定点M(1,0)、N(3,0)的距离和为y．
①随着x增大，y怎样变化？
②在给出的平面直角坐标系中画出y关于x的函数图象；
③当y>6时，x的取值范围是______ ．
(本小题10.0分)
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB>AC(如图1)，怎样证明∠C>∠B呢？
把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC，所以点C落在AB上的点C'处(如图2).于是，由∠AC'D=∠C，∠AC'D>∠B，可得∠C>∠B．
【感知】(1)①如图2，在△ABC中，若∠B=35°，∠C=70°，则∠C'DB=______°.
②如图2，在△ABC中，若∠C=2∠B，求证：AB-AC=CD；
【探究】(2)若将图2中AD是角平分线的条件改成AD是高线，其他条件不变(图3)，即在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC，请探索线段AC、BC、CD之间的等量关系，并说明理由．
【拓展】(3)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=5，点P是BC边上的一个动点(不与B、C重合)，将△APC沿AP翻折，点C的对应点是点C'.若以B、C、C'为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BP的长度______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】B
【解析】解：A、对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、对长征5B火箭发射前各零部件的检查，适合全面调查，故本选项符合题意；
C、对全国中学生课外阅读情况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、对某一批次盒装牛奶的合格情况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：B．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】D
【解析】解：当4是腰时，三边为4、4、5，能组成三角形，周长为4×2+5=13；
当5是腰时，三边为4、5、5，能组成三角形，则三角形的周长是4+5×2=14．
所以它的周长为13或14．
故选：D．
分情况考虑：当4是腰时或当5是腰时，然后分别求出两种情况下的周长．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵1>0，-2022<0，
∴在平面直角坐标系中，点(1,-2022)所在的象限是第四象限．
故选：D．
根据第四象限内，点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(-,+)；第三象限(-,-)；第四象限(+,-)．
5.【答案】B
【解析】解：∵12=22≠32，
32+42≠62，
42+52≠82，
62+82=102，
∴只有选项B符合题意，
故选：B．
根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
根据kb>0，可知k>0，b>0或k<0，b<0，然后分情况讨论直线的位置关系．
本题考查一次函数的图象性质，解题的关键是正确理解k与b对直线位置的影响，属于基础题型．
【解答】
解：由题意可知：可知k>0，b>0或k<0，b<0，
当k>0，b>0时，
直线经过一、二、三象限，
当k<0，b<0
直线经过二、三、四象限，
故选：A．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
根据全等三角形的对应边相等推知BD=AC=7，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】
解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD=AC=7，
∵BE=5，
∴DE=BD-BE=2，
故选：A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为1，高为2的直角三角形是解题的关键．设AD⊥y轴于点D；BF⊥y轴于点F；BG⊥CG于点G，然后求出A、B、C、D、E、F、G各点的坐标，计算出相应线段长度，再利用面积公式即可．
【解答】
解：如图，设AD⊥y轴于点D；BF⊥y轴于点F；BG⊥CG于点G．
由题意可得：A点坐标为(-1,2+m)，B点坐标为(1,-2+m)，C点坐标为(2,m-4)，D点坐标为(0,2+m)，E点坐标为(0,m)，F点坐标为(0,-2+m)，G点坐标为(1,m-4)．
所以，DE=2+m-m=2，EF=m-(-2+m)=2，BG=-2+m-(m-4)=2，
所以DE=EF=BG=2，
又因为AD=BF=GC=1，
所以图中阴影部分的面积和等于12×2×1×3=3．
故选B．
9.【答案】x≥-2
【解析】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥-2．
故答案为：x≥-2．
本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
10.【答案】百分
【解析】解：由四舍五入得到的近似数3.17，精确到百分位，
故答案为：百分．
看数字“7”所在数位即可．
本题主要考查近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
11.【答案】2
【解析】解：由题意得，m+1=0，n-5=0，
解得，m=-1，n=5，
则m+n=-1+5=4=2，
故答案为：2．
根据非负数的性质列出算式，求出m、n的值，根据算术平方根的概念计算即可．
本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
12.【答案】75
【解析】解：从八年级的15个班共709名学生中，抽取了75名进行分析，所以样本容量是75．
故答案为：75．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，正确记忆相关概念是解题关键．
13.【答案】随机
【解析】解：“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，
故答案为：随机．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
14.【答案】2
【解析】解：∵点P(a,b)在一次函数y=3x-1的图象上，
∴b=3a-1，
∴3a-b+1=3a-(3a-1)+1=2．
故答案为：2．
由点P在一次函数图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出b=3a-1，再将其代入(3a-b+1)中即可求出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
15.【答案】x=2y=3
【解析】解：由图可得，函数y1=ax和y2=-12x+b的图象交于点P(2,3)，
∴二元一次方程组y1=axy2=-12x+b的解是x=2y=3，
故答案为：x=2y=3．
先根据函数图象确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，解题时注意：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
16.【答案】32cm
【解析】解：在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=5，
由翻折的性质可知：AE=AC=3，CD=DE，则BE=2．
设CD=DE=x，则BD=4-x．
Rt△DEB中，由勾股定理得：DB2=DE2+EB2，即(4-x)2=x2+22，
解得：x=32．
∴CD=32．
故答案为：32cm．
先利用勾股定理求得AB=5，然后由翻折的性质得到AE=AC=3，CD=DE，则EB=2，设CD=EC=x，则BD=4-x，然后在Rt△DEB中利用勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
17.【答案】4cm
【解析】解：∵AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，
∴AD=BD，
∵△ABD的周长等于28cm，
∴AD+BD+AB=2AD+AB=28cm，
∵AB=AC=12cm，
∴AD=8cm，
∴DC=AC-AD=4cm．
故答案为：4cm．
由AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，又由△ABD的周长等于28cm，可得2AD+AB=28cm，继而求得AD的长，则可求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18.【答案】17-5
【解析】解：如图，连接EO、PO、OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠OAP=90°，
在Rt△OBC中，BC=4，OB=1，
∴OC=12+42=17，
在Rt△AOP中，OA=1，PA=2，
∴OP=12+22=5，
∵OE=OC=17，PE≥OE-OP，
∴PE的最小值为17-5．
故答案为17-5
如图，连接EO、PO、OC.根据三边关系，PE≥OE-OP，求出OE，OP即可解决问题．
本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
19.【答案】解：(1)原式=2-1+9
=10；
(2)因为(2x-1)3-27=0，
所以(2x-1)3=27，
因为33=27，
所以2x-1=3，
解得x=2．
【解析】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
(1)直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂和二次根式的性质分别化简得出答案．
(2)根据立方根的定义计算即可．
20.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠ABC=∠DEF，
∴AB//DE．
【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定有关知识，根据等式的性质可得BC=EF.运用SSS证明△ABC与△DEF全等，得到∠ABC=∠DEF，利用同位角相等，两直线平行得到结论．
21.【答案】213
【解析】解：(1)如图所示，△ABC即为所求；
(2)如图所示，△A1B1C1即为所求；

(3)作点C关于x轴的对称点C'(4,-2)，连接BC'，交x轴于Q，
则QB+QC=BC'=42+62=213．
故答案为：213．
(1)依据A(1,0)，B(0,4)，C(4,2)，即可描出各点，画出△ABC；
(2)依据轴对称的性质，即可得到△A1B1C1；
(3)作点C关于x轴的对称点C'(4,-2)，连接BC'，依据两点之间，线段最短，即可得到点Q的位置，根据勾股定理求得QB+QC的最小值．
本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，掌握两个图形成轴对称的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)将B(m,4)代入y2=2x得：4=2m，
解得m=2，
所以B(2,4)，
设直线l1的表达式为y1=kx+b，将(-6,0)、(2,4)代入得：-6k+b=02k+b=4，
解得k=12b=3，
所以直线l1的表达式为y1=12x+3；
(2)在y1=12x+3中，令x=0得y=3，
所以M(0,3)，
所以OM=3，
所以△BOM的面积S△BOM=12OM⋅|xB|=12×3×2=3；
(3)x≥2
【解析】(1)将B(m,4)代入y=2x可得m=2，从而得到B(2,4)，再用待定系数法即可得直线l1的表达式为y1=12x+3；
(2)在y=12x+3中，令x=0得y=3，即得OM=3，然后利用S△BOM=12OM⋅|xB|计算即可；
(3)根据图形即可求得．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
(1)(2)见答案
(3)观察图象，当x≥2时，y2≥y1，
所以若y2≥y1，x的取值范围是x≥2．
23.【答案】(1)观察条形统计图与扇形统计图可知：喜欢跳绳的有10人，占25%，
故总人数有10÷25%=40人；
(2)喜欢足球的有40×30%=12人，
喜欢跑步的有40-10-15-12=3人，
故条形统计图补充为：
(3)108；
(4)全校最喜爱篮球的人数=1200×1540=450，
答：估计全校有450名学生喜爱篮球．
【解析】(1)见答案；
(2)见答案；
(3)扇形统计图中“足球”所对应扇形的圆心角为360°×1240=108°，
故答案为：108；
(4)见答案．
(1)用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比，即可求得被调查的总人数；
(2)用总人数乘以足球所占的百分比即可求得喜欢足球的人数，用总数减去其他各小组的人数即可求得喜欢跑步的人数，从而补全条形统计图；
(3)用360度乘以样本中喜欢足球人数占总人数的比例；
(4)用样本估计总体，即可确定最喜爱篮球的人数．
本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题时注意：用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．
24.【答案】300
【解析】解：(1)由图可知，A、B两城相距300千米；
故答案为：300；
(2)当1≤t≤4时，设乙车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系式为y=mt+n，
由题意得：m+n=04m+n=300，
解得：m=100n=-100，
即乙车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系式为y=100t-100(1≤t≤4)；
(3)设甲对应的函数解析式为：y=kt，则300=5k，
解得：k=60，
即甲对应的函数解析式为：y=60t(0≤t≤5)，
由题意可得，100t-100=60t，
解得t=2.5，即甲出发2.5小时，乙追上甲，
∴乙车出发后1.5小时追上甲．
(1)观察函数图象即可直接得到答案；
(2)根据图象中的信息用待定系数法解可求出乙车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系式；
(3)求出甲对应的函数解析式，列方程即可得t，从而可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是将甲乙相遇的情况进行分类讨论，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】BC=12AB
【解析】【结论证明】求证：BC=12AB，
证明：取AB的中点D，连接CD，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=12AB=BD，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=CD，
∴BC=12AB，
故答案为：BC=12AB；
【结论应用】(1)如图2，连接A'C，过点A'作A'G⊥OA于G，
则CA'=CA=2，
∴∠A'CG=60°，
∴∠CA'G=30°，
∴CG=12A'C=1，A'G=3，
∴OG=1，
∴点A'的坐标为：(1,3)；
(2)如图3，当CA'⊥AB时，延长A'D交AO于点F，
由轴对称可知，∠A'=∠BAO=30°，CA'=CA=2，
∵∠AEC=90°，
∴∠ACE=60°，
∴∠A'FC=90°，
∴CF=12CA'=1，OF=OC+CF=3，
在Rt△A'CF中，A'F=A'C2-CF2=3，
∴点A'的坐标是(3,3)，
如图4，同①理，CF=12CA'=1，OF=OC-CF=1，
在Rt△A'CF中，由勾股定理得A'F=3，
∴点A'的坐标是(1,-3)，
综上所述：当CA'⊥AB时，点A'的坐标为(3,3)或(1,-3).
【结论证明】取AB的中点D，连接CD，得到△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质证明结论；
【结论应用】(1)连接A'C，过点A'作A'G⊥OA于G，根据直角三角形的性质求出CG，根据勾股定理求出A'G，得到点A'的坐标；
(2)分图3和图4两种情况，根据直角三角形的性质求出CF，根据勾股定理求出A'F，得到点A'的坐标．
本题考查的是轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理的应用，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
26.【答案】解：(1)2；
(2)①y先变小然后不变再变大．
②由题意得，y=-2x+4x⩽121函数图象如图所示：
；
③ x<-1或x>5
【解析】解：(1)当A，P重合时，d=0最小，此时x=2．
故答案为：2．
(2)①②见答案；
③观察图象可知，满足条件的x的取值范围为：x<-1或x>5．
故答案为：x<-1或x>5．
(1)当A，P重合时，d=0最小，此时x=2．
(2)①利用图象法可得结论．
②分x<-1，-1≤≤3，x>3三种情形，分别画出函数图象即可．
③观察图象易得答案．
本题考查函数图象，函数关系式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27.【答案】35 2或32
【解析】(1)①解：∵AC沿∠A的平分线AD翻折，
∴∠AC'D=∠C=70°，
∵∠AC'D=∠B+∠C'DB，∠B=35°，
∴∠C'DB=35°，
故答案为：35；
②证明：∵AC沿∠A的平分线AD翻折，
∴△AC'D≌△ACD，
∴∠AC'D=∠C，AC'=AC，C'D=CD．
∵∠C=2∠B，
∴∠AC'D=2∠B．
∵∠AC'D=∠B+∠C'DB，
∴∠C'DB=∠B，
∴C'D=C'B．
∵AB-AC=AB-AC'=C'B，
∴AB-AC=C'D，
∴AB-AC=CD；
(2)解：线段AC、BC、CD之间的等量关系为：BC=AC+2CD，理由：
在线段BD上取一点E，使DE=DC，连接AE，如图，

∵DE=DC，AD⊥BC，
∴AD为DE的垂直平分线，
∴AE=AC，∠AEC=∠C，
∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=2∠B．
∵∠AEC=∠B+∠EAB，
∴∠B=∠EAB，
∴BE=AE，
∴BE=AC．
∴BC=BE+ED+DC=AC+2DC，
即BC=AC+2CD；
(3)解：若以B、C、C'为顶点的三角形是直角三角形，BP的长度为32或2，理由：
①当∠C'BC=90°时，
过点C'作C'D⊥AC于点D，如图，

∵将△APC沿AP翻折，点C的对应点是点C'，
∴AC'=AC=5，PC'=PC，
∵∠C'BC=90°，∠ACB=90°，∠CDC'=90°，
∴四边形BCDC'为矩形，
∴BC'=CD，C'D=BC=4，
∴AD=AC'2-C'D2=52-42=3，
∴CD=AC-AD=5-3=2，
∴C'B=2．
设BP=x，则PC=BC-BP=4-x，
∴C'P=4-x．
在Rt△BPC'中，
∵BP2+BC'2=C'P2，
∴x2+22=(4-x)2，
解得：x=32；
②当∠BC'C=90°时，如图，

∵将△APC沿AP翻折，点C的对应点是点C'，
∴PC'=PC，∠AC'P=∠ACP=90°，
∴∠PC'C=∠PCC'，
∵∠C'BC+∠PCC'=90°，∠PC'C+∠PC'B=90°，
∴∠CBC'=∠PC'B，
∴PC'=PB，
∴BP=PC，
∴BP=12BC=2，
综上，BP的长度为2或32，
故答案为：2或32．
(1)①利用折叠的性质和三角形的外角的性质解答即可；
②利用翻折的性质得到∠AC'D=∠C，AC'=AC，C'D=CD，利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定解答即可得出结论；
(2)在线段BD上取一点E，使DE=DC，连接AE，利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角的性质解答即可得出结论；
(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当∠C'BC=90°时，过点C'作C'D⊥AC于点D，利用勾股定理和矩形的判定与性质求得线段C'B的长度，设BP=x，则PC=BC-BP=4-x，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论；②当∠BC'C=90°时，利用折叠的性质，等腰三角形的性质和等角的余角相等的性质得到P为BC的中点，则结论可求．
本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键．