2022-2023学年吉林省实验中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省实验中学八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各组数是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2. 叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体最早发现于衣藻叶绿体，长约米．数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 要使分式有意义，则的取值应满足(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一名射击运动员，射靶次，射击成绩分别为单位：环片，，，，，，，，，，则他射中环的频率为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列分式变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，，于点，若，且的周长为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 年月在北京召开的国际数学家大会会微取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边为，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 约分：______．
10. 写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：______．
11. 如图，在等腰中，，，，，则______．

12. 如图，在中，为的平分线，于点，于点若的面积是，，，则______．

13. 已知，则的值为______．
14. 如图，是等边三角形，点在外部，且，连接，与交于点过点作交于点，若，，则的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

15. 先阅读下列解法，再解答后面的问题．
    已知，求、的值．
    解法一：将等号右边通分，再去分母，得：，
    即：，
    由多项式相等的意义可知，
    ．
    解得．
    解法二：在已知等式中取，有，整理得；
    取，有，整理得．
    解，
    得：．
    已知，用上面的解法一或解法二求、的值．
    计算：；
    直接写出使中式子的值为正整数的所有整数的值之和．

四、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：．
17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ．
19. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
    为丰富同学们的课余生活，某校计划举行亲近大自然户外活动，现随机抽取了部分学生进行你最想去的景点是“？”的问卷调查，要求学生必须从南湖公园，净月潭森林公园，长春动植物园，北湖湿地公园四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，请完成下列问题：
    
    求本次调查的学生人数；
    请将条形统计图补充完整；
    请计算扇形统计图中南湖公园项目的圆心角度数．
21. 本小题分
    某单位购进一种垃圾分类机器人，据实验分析，在对生活垃圾进行分类时，机器人每小时比人工多分类桶垃圾．机器人分类桶垃圾所用的时间与人工分类桶垃圾所用的时间相同，求机器人每小时能分类多少桶垃圾？
22. 本小题分
    如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．
    求的度数；
    求的面积．

23. 本小题分
    如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，且，．
    求修建的公路的长；
    若公路建成后，一辆货车由处途经处到达处的总路程是多少？

24. 本小题分
    如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向点匀速运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒．
    直接写出边的长为______．
    用含的代数式表示______，______；
    当是等腰三角形时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【解答】
解：、不是，因为；
B、是，因为；
C、不是，因为；
D、不是，因为．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
他射中环的频率为，
故选：．
根据频率频数总次数，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由作图痕迹得平分，垂直平分，
过点作于点，如图，
，
，
．
故选：．
由作图痕迹得平分，垂直平分，过点作于点，如图，根据角平分线的性质得到，则利用垂线段最短得到，所以．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：，且的周长为，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，大正方形的面积是，
，
，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
，
．
故选：．
根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．
本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和，之间的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质进行计算即可．
本题考查了约分，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键．
 

10.【答案】内错角相等，两直线平行 

【解析】解：原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等
其逆命题为：内错角相等地，两直线平行．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
考查学生对逆命题的定义的理解及运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
由于，根据三角形的内角和为即可求出、的度数，利用余角的性质和平角的定义即可求出的度数．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质和平角的定义等知识．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，为的平分线，于，于，
，
，
面积是，，，
，
解得．
故答案为：．
先根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
垂直平分，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
由，是等边三角形可得垂直平分，从而可得的度数，由可得为等边三角形，从而可得的度数，进而求解．
本题考查等边三角形的性质，解题关键是掌握平行线的性质及等腰三角形的判定及性质．
 

15.【答案】解：等号右边通分、再去分母，得：，
即，
，
解得：；
原式


；
式子的值为正整数，
、、、、、，
则、、、、、，
． 

【解析】根据方法一先对等号右边的分式进行加减，根据等号左右两边相等，得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
裂项求解可得原式，由式子的值为正整数知、、、、、，从而得出答案．
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则及裂项求解的方法是解题的关键．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

17.【答案】解：原式
；

原式


． 

【解析】先根据分式的乘方进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
先通分，再根据分式的减法法则进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

18.【答案】解：去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根；
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的增根，原方程无解． 

【解析】根据解分式方程的步骤求解即可；
根据解分式方程的步骤求解即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，
原式
． 

【解析】利用分式的相应的运算法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：人，
本次调查的学生人数为人；
的人数为人，
补全条形统计图如下：

，
答：扇形统计图中南湖公园项目的圆心角度数为． 

【解析】根据选B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
用总人数减去其它景点的人数求出的人数，即可补全条形统计图；
用乘以的百分比即可求出扇形统计图中南湖公园项目的圆心角度数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：设机器人每小时能分类桶垃圾，则人工每小时能分类桶垃圾，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：机器人每小时能分类桶垃圾． 

【解析】设机器人每小时能分类桶垃圾，则人工每小时能分类桶垃圾，利用工作时间工作总量工作效率，结合机器人分类桶垃圾所用的时间与人工分类桶垃圾所用的时间相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：由图可得，
，，，
，，
是等腰直角三角形，
；
由是等腰直角三角形，，
的面积是：，
即的面积是． 

【解析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以计算出、、的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到的形状，从而可以得到的度数；
根据中的得到的的形状和三角形的面积公式，可以计算出的面积．
本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理可以判断三角形的形状．
 

23.【答案】解：，，，
，
，
，

答：修建的公路的长为；
，，
，
货车由处途经处到达处的总路程为：． 

【解析】首先利用勾股定理求出的长，再利用等积法求即可；
利用勾股定理求的长，从而得出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，运用等积法求高是解题的关键．
 

24.【答案】     

【解析】解：，，，
，
故答案为：；
由题意得：，则，
故答案为：，；
分三种情况：
时，，
，
，，
，
，
，
即，
；
时，，
即，
；
时，如图，过点作于，
则，
，
，
，
，
即，
；
综上所述，当是等腰三角形时，的值为或或．
由勾股定理即可得出结论；
由题意得，则，
分三种情况，时，证，则，即可求解；时，，即可求解；时，过点作于，由等腰三角形的性质得，再由三角形面积和勾股定理分别求出、的长，即可解决问题．
本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．