高考数学题型与技巧——圆锥曲线（中档-较难-难）

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圆曲-中档
一．解答题（共40小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，已知过点Q（0，4）的直线l与双曲线交于A、B两点，与x轴交于点P，且，．
（1）当点A在第一象限且λ＝3时，求直线l的方程；
（2）求证：λ+μ为定值．
2．已知斜率为﹣1的直线l与椭圆E：+＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，线段AB的中点M与坐标原点O的连线OM与直线2x+y﹣＝0垂直．
（1）求椭圆E的离心率e；
（2）若椭圆E的焦距为2，直线l经过椭圆E的右焦点F，直线l1⊥l，且直线l1与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．
3．已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
4．已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值．

5．已知F1（﹣1，0）和F2（1，0）是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，且点P（1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）若椭圆C与直线y＝x+m交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值；
（Ⅲ）若点A（x1，y1）与点P（x2，y2）在椭圆C上，且点A在第一象限，点P在第二象限，点B与点A关于原点对称，求证：当x12+x22＝4时，三角形△PAB的面积为定值．
6．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且F2也是抛物线E：y2＝4x的焦点，P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且|PF2|＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS＝∠OTR？说明理由．
7．已知复数z1＝m+ni（m，n∈R），z＝x+yi（x，y∈R），z2＝2+4i且．
（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；
（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；
（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．
8．已知椭圆及圆的方程分别为和x2+y2＝r2，若直线AB与圆相切于点A，与椭圆有唯一的公共点B，若a＞b＞0是常数，试写出AB长度随动圆半径变化的函数关系式|AB|＝f（x），并求其最大值．
9．给定椭圆C：＝1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆m的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为F2（，0），其短轴上的一个端点到F2距离为．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2，求m的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l1，l2的斜率之积是否为定值，并说明理由．
10．如图，点F是抛物线C：x2＝2y的焦点，点P（x1，y1）为抛物线上的动点（P在第一象限），直线PF交抛物线C于另一点Q，直线l与抛物线C相切于点P．过点P作直线l的垂线交抛物线C于点R．
（1）求直线l的方程（用x1表示）；
（2）求△PQR面积的最小值．

11．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y＝k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；
②若点M（﹣，0），求证：•为定值．
12．如图，已知直线l1：y＝2x+m（m＜0）与抛物线C1：y＝ax2（a＞0）和圆C2：x2+（y+1）2＝5都相切，F是C1的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

13．如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y＝0，经过椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．

14．设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．
15．已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆+y2＝1于M，N
（1）记直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，当3（k1+k2）＝8k时，求l经过的定点；
（2）若直线l过点D（1，0），△OMD与△OND的面积比为t，当k2＜时，t的取值范围是（n1，n2），n1，n2＞1，若数列的通项公式为，μn为其前n项之和，求证：μn＜log34．
16．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左右焦点分割为F1，F2，左右端点分别为点A1，A2，抛物线y2＝4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2＝
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线l与椭圆相交于P，Q两点（不与A1，A2重合），求与夹角的大小．
17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若AF＝3，且当直线l⊥x轴时，PQ＝3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，问k1k2是否为定值？并证明你的结论；
（3）记△APQ的面积为S，求S的最大值．

18．已知F是椭圆D：的右焦点，过点E（2，0）且斜率为正数的直线l与D交于A、B两点，C是点A关于x轴的对称点．
（Ⅰ）证明：点F在直线BC上；
（Ⅱ）若，求△ABC外接圆的方程．
19．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x＝（a为长半轴，c为半焦距）上．
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2＝0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y＝kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
21．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22．已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且，求直线A2Q斜率的取值范围；
（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值．
23．已知椭圆C：的离心率为，A、B为它的左、右焦点，过一定点N（1，0）任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q，且||的最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线NP、NQ，使得向量与互相垂直？若存在，求出点P、Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
24．如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|＝4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

25．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
（1）若点P（0，2）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF＝90°，求抛物线方程；
（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．
26．已知椭圆的上下焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）已知直线l的方向向量为（1，），若直线l与椭圆交于P、Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
（3）过点T（1，0）作直线l与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若．证明：λ+μ为定值．
27．已知椭圆E：（a，b＞0）与双曲线G：x2﹣y2＝4，若椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，椭圆E的焦点恰为双曲线G的顶点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在一个以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在请求出该圆的方程，若不存在请说明理由．
28．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点F重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若过点A（﹣1，0）的直线与椭圆C1相交于M、N两点，求使成立的动点R的轨迹方程；
（3）若点R满足条件（2），点T是圆（x﹣1）2+y2＝1上的动点，求|RT|的最大值．
29．已知以动点P为圆心的圆与直线y＝﹣相切，且与圆x2+（y﹣）2＝外切．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若M（m，m1），N（n，n1）是C上不同两点，且m2+n2＝1，m+n≠0，直线L是线段MN的垂直平分线．
（1）求直线L斜率k的取值范围；
（2）设椭圆E的方程为+＝1（0＜a＜2）．已知直线L与抛物线C交于A、B两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，PQ中点为S，若＝0，求E离心率的范围．
30．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（﹣2，0）、B（2，0）、三点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（﹣1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l：y＝k（x﹣1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明：直线AM与直线BN的交点在直线x＝4上．
31．设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量＝（，），＝（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
32．直线l：y＝ax+1与双曲线C：3x2﹣y2＝1相交于A，B两点．
（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；
（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x﹣2y＝0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．
33．已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16（m∈N*），直线4x﹣3y﹣16＝0过椭圆的右焦点，且交圆C所得的弦长为，点A（3，1）在椭圆E上．
（Ⅰ）求m的值及椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
34．设F1，F2分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点，
（1）设椭圆C上的点（，）到F1，F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，KPN试探究kPM•KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．
35．已知x轴上的两点A，B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PB与y轴的交点M线段PB的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率大于零的直线过D（﹣1，0）与椭圆交于E、F两点，且，求直线EF的方程．
36．已知抛物线C：y2＝ax（a＞0），抛物线上一点到抛物线的焦点F的距离是3．
（1）求a的值；
（2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线C于A、B两点．
（i）若直线l的斜率为1，求AB的长；
（ii）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
37．已知中心在原点O，焦点F1、F2在y轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线的焦点为F2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与x轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．
38．已知点A（m，4）（m＞0）在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线另一个交点分别为B、C．
（I）求证：直线BC的斜率为定值；
（II）若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．

39．已知椭圆C：的右焦点为F1（1，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；
（Ⅱ）设过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△PAB的面积为，求直线AB的方程．
40．如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆C2：与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．


圆曲-中档
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，已知过点Q（0，4）的直线l与双曲线交于A、B两点，与x轴交于点P，且，．
（1）当点A在第一象限且λ＝3时，求直线l的方程；
（2）求证：λ+μ为定值．
【解答】解：（1）设P（t，0），则，
∵，∴，∴，点A在第一象限，∴t＞0，
又点A在双曲线上，∴，t＞0，解得t＝5，即P（5，0），
所以直线l的斜率为，直线l的方程为，即；
（2）由题意直线l的斜率必然存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx+4，设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由得（16﹣k2）x2﹣8kx﹣32＝0，令Δ＝64（32﹣k2）＞0，得，
可得x1+x2＝，x1x2＝，
设P（t，0），由Q、A、P、B四点共线且，，
得，其中x1、x2、t均不为0，∴，
所以＝，
点P（t，0）是在直线l：y＝kx+4上，∴0＝kt+4，∴，
∴，
所以λ+μ为定值﹣1．
2．已知斜率为﹣1的直线l与椭圆E：+＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，线段AB的中点M与坐标原点O的连线OM与直线2x+y﹣＝0垂直．
（1）求椭圆E的离心率e；
（2）若椭圆E的焦距为2，直线l经过椭圆E的右焦点F，直线l1⊥l，且直线l1与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．
【解答】解：（1）设A（x1，y1）B（x2，y2），中点M（x0，y0），
∵，
两式相减可得，b2（x1+x2）（x1﹣x2）+a2（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，
∴b2•2x0（x1﹣x2）+a22y0（y1﹣y2）＝0，
∴＝﹣，
∵线段AB的中点M与坐标原点O的连线OM与直线2x+y﹣＝0垂直，
∴＝，
∵直线l的斜率为﹣1，
∴﹣1＝﹣2•，
即＝，
∴e＝＝＝，
（2）∵椭圆E的焦距为2，
∴2c＝2，
∴c＝
由（1）可得e＝＝，
∴a＝，b＝，
∴椭圆E的方程为+＝1，
∵直线l经过椭圆E的右焦点F（，0）
∴直线l的方程为y＝﹣x+，
由可得，3x2﹣4x＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝0，
∴|AB|＝•|x1﹣x2|＝，
设C（x3，y3），D（x4，y4），
∵直线l1⊥l，
∴直线l1的斜率为1，
设直线l1的方程为y＝x+m，
由可得3x2+4mx+m2﹣6＝0，
∴x3+x4＝﹣，x3x4＝，
∴|CD|＝•|x3﹣x4|＝，
∴S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝•，
当m＝0时，四边形ACBD面积的最大，最大值为．
3．已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
【解答】证：曲线C1的直角坐标方程x﹣y＝4，曲线C2的直角坐标方程是抛物线y2＝4x，（4分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），将这两个方程联立，消去x，
得y2﹣4y﹣16＝0⇒y1y2＝﹣16，y1+y2＝4，（6分）
∴x1x2+y1y2＝（y1+4）（y2+4）+y1y2＝2y1y2+4（y1+y2）+16＝0．（8分）
∴，∴OA⊥OB．（10分）
4．已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值．

【解答】解：（1）设椭圆的方程为+＝1，由题意可得b＝，
＝，即a＝c，
∵a2﹣c2＝2
∴c＝，a＝2
∴椭圆方程为+＝1
∴焦点坐标为（0，），（0，﹣），设p（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）
则＝（﹣x0，﹣y0），＝（﹣x0，﹣﹣y0），
∴•＝x02﹣（2﹣y02）＝1
∵点P在曲线上，则+＝1
∴x02＝，
从而﹣（2﹣y02）＝1，得y0＝，则点P的坐标为（1，）

（2）由（1）知PF1∥x轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB的斜率为k（k＞0），
则PB的直线方程为y﹣＝k（x﹣1），由得
（2+k2）x2+2k（﹣k）x+（﹣k2）﹣4＝0
设B（xB，yB），则xB＝﹣1＝，
同理可得，则，
yA﹣yB＝﹣k（xA﹣1）﹣k（xB﹣1）＝
所以AB的斜率kAB＝＝为定值．
5．已知F1（﹣1，0）和F2（1，0）是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，且点P（1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）若椭圆C与直线y＝x+m交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值；
（Ⅲ）若点A（x1，y1）与点P（x2，y2）在椭圆C上，且点A在第一象限，点P在第二象限，点B与点A关于原点对称，求证：当x12+x22＝4时，三角形△PAB的面积为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵F1（﹣1，0）和F2（1，0）是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，∴c＝1；
设椭圆方程为，又∵点P（1，）在椭圆C上，∴，解得a2＝4或（舍）；
∴椭圆方程为；e＝；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得7x2+8mx+4m2﹣12＝0；
∴，|MN|＝＝＝，
∴m2＝4，∴m＝±2，Δ＝64m2﹣28×4（m2﹣3）＞0；
m2＜7，所以m＝±2成立；
（Ⅲ）证明：设AP的直线方程为y＝kx+n，
∴，可得（3+4k2）x+8knx+4n2﹣12＝0；
∴，＝4，
∴；d＝，|AB|＝，
S△PAB＝2S△POB＝d|AB|＝＝2．
6．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且F2也是抛物线E：y2＝4x的焦点，P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且|PF2|＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS＝∠OTR？说明理由．
【解答】解：（1）∵F2也是抛物线E：y2＝4x的焦点，
∴F2（1，0），
∴c＝1，且抛物线的准线方程为x＝﹣1，
设点P（x0，y0）
∵|PF2|＝，
∴x0+1＝，
∴x0＝，
∴y0＝＝，
∴+＝1，
∵a2﹣b2＝c2＝1，
解得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆方程为+＝1，
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS＝∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）
联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
由韦达定理有x1+x2＝，x1x2＝①，其中Δ＞0恒成立，
由∠OTS＝∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故kTS+kTR＝0即+＝0②，
由R，S两点在直线y＝k（x﹣1）上，故 y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
代入②整理有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0③，
将①代入③即有：＝0④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t＝4“时成立，
综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS＝∠OTR．
7．已知复数z1＝m+ni（m，n∈R），z＝x+yi（x，y∈R），z2＝2+4i且．
（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；
（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；
（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．
【解答】解：（1）∵i﹣z2＝（m﹣ni）•i﹣（2+4i）＝（n﹣2）+（m﹣4）i；
∴⇒．
∵复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动
∴x+2＝﹣（y+7）2﹣1⇒（y+7）2＝﹣2（x+3）．
复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程：（y+7）2＝﹣2（x+3）．
（2）∵按向量方向平移个单位，＝＝1×．
即为向 x 方向移动 1×＝个单位，向 y 方向移动 1×1＝1 个单位
（y+7）2＝﹣2（x+3）⇒y+7＝±．
得轨迹方程 y+7＝±⇒（y+6）2＝﹣2（x+）＝﹣2x﹣3．
C的轨迹方程为：（y+6）2＝﹣2x﹣3．
（3）设A（x0，y0），斜率为k，切线y﹣y0＝k（x﹣x0） （k≠0），
代入（y+6）2＝﹣2x﹣3整理得：
（y+6）2＝﹣2（）﹣3，Δ＝0⇒k＝，
设定点M（1，0），且．
∴以线段AB为直径的圆恒过一定点M，M点的坐标（1，0）．
8．已知椭圆及圆的方程分别为和x2+y2＝r2，若直线AB与圆相切于点A，与椭圆有唯一的公共点B，若a＞b＞0是常数，试写出AB长度随动圆半径变化的函数关系式|AB|＝f（x），并求其最大值．
【解答】解：设A（x0，y0），则过A的圆的切线方程为x0x+y0y＝r2，代入，得
（）x2﹣x+﹣a2b2＝0
由Δ＝0即（）2＝4（）（﹣a2b2）
整理可得（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝a2+b2﹣﹣r2
∴
∵+x2≥2＝2ab
∴f（x）≤＝a﹣b
（当且仅当x＝时取等号）
∴
f（x）的最大值为a﹣b
9．给定椭圆C：＝1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆m的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为F2（，0），其短轴上的一个端点到F2距离为．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2，求m的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l1，l2的斜率之积是否为定值，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，半焦距
则b＝1椭圆C方程为
“伴随圆”方程为x2+y2＝4…（4分）
（Ⅱ）则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y＝kx+m，
则整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2﹣3）＝0
所以Δ＝（6km）2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＝0，解3k2+1＝m2①…（6分）
又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，
则有化简得m2＝2（k2+1）②…（8分）
联立①②解得，k2＝1，m2＝4，
所以k＝±1，m＝﹣2（∵m＜0），则P（0，﹣2）…（10分）
（Ⅲ）当l1，l2都有斜率时，设点Q（x0，y0），其中x02+y02＝4，
设经过点Q（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y＝k（x﹣x0）+y0，
由，消去y得到x2+3[kx+（y0﹣kx0）]2﹣3＝0…（12分）
即（1+3k2）x2+6k（y0﹣kx0）x+3（y0﹣kx0）2﹣3＝0，
Δ＝[6k（y0﹣kx0）]2﹣4•（1+3k2）[3（y0﹣kx0）2﹣3]＝0，
经过化简得到：（3﹣x02）k2+2x0y0k+1﹣y02＝0，…（14分）
因为x02+y02＝4，所以有（3﹣x02）k2+2x0y0k+（x02﹣3）＝0，
设l1，l2的斜率分别为k1，k2，
因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，
所以k1，k2满足方程（3﹣x02）k2+2x0y0k+（x02﹣3）＝0，
因而k1•k2＝﹣1，即直线l1，l2的斜率之积是为定值﹣1…（16分）
10．如图，点F是抛物线C：x2＝2y的焦点，点P（x1，y1）为抛物线上的动点（P在第一象限），直线PF交抛物线C于另一点Q，直线l与抛物线C相切于点P．过点P作直线l的垂线交抛物线C于点R．
（1）求直线l的方程（用x1表示）；
（2）求△PQR面积的最小值．

【解答】解：（1）设L的斜率为k，则L的方程为：
y＝k（x﹣x1）+，
联立方程，消元化简得：

因为直线L与抛物线相切，则由Δ＝，
可得k＝x1
所以直线L的方程为y＝；
（2）设直线PF的方程为y＝kx+，
联立方程组，消元化简得x2﹣2kx﹣1＝0，又设Q（x2，），则由根与系数的关系得：
x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1；
直线PR的方程为y＝，与x2＝2y联立方程组，解得点R（，）；
又因为k＝＝，所以k2+1＝；
则点R到直线PQ的距离为：
d＝＝；
又因为|PQ|＝|PF|+|QF|＝2k2+2，
所以△PQR面积为：
S＝|PQ|d＝＝≥＝4；
当且仅当x1＝1即k＝0时，取等号，所以△PQR面积的最小值为4．
11．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y＝k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；
②若点M（﹣，0），求证：•为定值．
【解答】（1）解：因为满足a2＝b2+c2，，…（2分）
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得．
从而可解得，
所以椭圆方程为…（4分）
（2）证明：①将y＝k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5＝0…（6分）
Δ＝36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）＝48k2+20＞0，…（7分）
因为AB中点的横坐标为，所以，解得…（9分）
②由①知，
所以…（11分）
＝＝…（12分）
＝＝＝…（14分）
12．如图，已知直线l1：y＝2x+m（m＜0）与抛物线C1：y＝ax2（a＞0）和圆C2：x2+（y+1）2＝5都相切，F是C1的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

【解答】解：（1）由已知，圆C2：x2+（y+1）2＝5的圆心为C2（0，﹣1），半径 ．（1分）
由题设圆心到直线l1：y＝2x+m的距离 ．（3分）
即 ，
解得m＝﹣6（m＝4舍去）．（4分）
设l1与抛物线的相切点为A0（x0，y0），又y′＝2ax，（5分）
得 ，．（6分）
代入直线方程得：，∴
所以m＝﹣6，．（7分）
（2）由（1）知抛物线C1方程为 ，焦点 ．（8分）
设 ，由（1）知以A为切点的切线l的方程为 ．（10分）
令x＝0，得切线l交y轴的B点坐标为 （11分）
所以 ，，（12分）
∴（13分）
因为F是定点，所以点M在定直线 上．（14分）
（3）设直线MF：y＝kx+，代入y＝得：
，得x1+x2＝6k，x1x2＝﹣9．
S△NPQ＝|NF||x1﹣x2|＝×3×＝9
∵k≠0，∴S△NPQ＞9，
△NPQ的面积S的取值范围（9，+∞）．
13．如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y＝0，经过椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．

【解答】解：（1）过点F、B，
∴F（2，0），，
故椭圆的方程为
（2）直线l：

消y得2x2﹣2mx+（m2﹣6）＝0
由Δ＞0⇒，
又⇒
设C（x1，y1）、D（x2，y2），则x1+x2＝m，，，，
∴
∵F在圆E的内部，∴，
又⇒．
14．设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．
【解答】解：（I）由，∴．
由右焦点到直线的距离为，
得：，
解得．
所以椭圆C的方程为．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程为y＝kx+m，
与椭圆联立消去y得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12＝0，．
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝0，
∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0．
即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，∴，
整理得7m2＝12（k2+1）
所以O到直线AB的距离．为定值
∵OA⊥OB，∴OA2+OB2＝AB2≥2OA•OB，
当且仅当OA＝OB时取“＝”号．
由，
∴，
即弦AB的长度的最小值是．
15．已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆+y2＝1于M，N
（1）记直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，当3（k1+k2）＝8k时，求l经过的定点；
（2）若直线l过点D（1，0），△OMD与△OND的面积比为t，当k2＜时，t的取值范围是（n1，n2），n1，n2＞1，若数列的通项公式为，μn为其前n项之和，求证：μn＜log34．
【解答】解：（1）依题意可设直线l的方程为y＝kx+n，其中k≠0．
代入椭圆方程得：（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4＝0，
则有x1+x2＝． x1•x2＝…（2分）
则k1•k2＝
＝＝﹣．…（5分）
由条件有﹣，而k≠0，则有n＝±，
从而直线l过定点（0，）或（0，﹣）．…（8分）
（2）证明：依题意可设直线l的方程为y＝k（x﹣1），其中k≠0．
代入椭圆方程得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，
则有x1+x2＝．…x1x2＝
从而有y1+y2＝k（x1+x2）＝﹣…①
y1y2＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝…②
由①②得，…
由，得﹣．…
又t＝，因y1y2＜0，
故t＝﹣，又，
从而有，得，
解得2＜t＜3或．…（13分）
∴数列的通项公式为，
∵3n﹣1＝3•3n﹣1﹣1＝2•3n﹣1+3n﹣1﹣1
∴n≥1时，，
其前n项之和μn≤，
∴μn＜log34得证．
16．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左右焦点分割为F1，F2，左右端点分别为点A1，A2，抛物线y2＝4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2＝
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线l与椭圆相交于P，Q两点（不与A1，A2重合），求与夹角的大小．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），
抛物线y2＝4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与 F2重合，而抛物线 y2＝4x的焦点为（1，0），
则C2＝1，
由题意可得AF2＝x0+＝x0+1＝，故x0＝；
所以y02＝4×＝，则y0＝，
则A（，），
有+＝1，解可得a2＝4，
又由c2＝1，则b2＝3，
故椭圆的方程为+＝1；
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，由于，可得＝1﹣＝，
所以y＝±，所以P（，）Q（，﹣），因为A2（2，0），所以＝﹣1，＝1，
所以•＝﹣1，所以所以A2P与A2Q垂直，
②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y＝k（x﹣）；
联立可得，⇒49（3+4k2）x2﹣112k2x+16k2﹣12×49＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），A2（2，0），
则x1+x2＝，x1•x2＝，
＝，＝
•＝＝﹣1，
所以A2P与A2Q垂直，
综合可得所以与夹角的大小为90°．
17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若AF＝3，且当直线l⊥x轴时，PQ＝3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，问k1k2是否为定值？并证明你的结论；
（3）记△APQ的面积为S，求S的最大值．

【解答】解：（1）设椭圆的右焦点为F（c，0），c＞0，则a2＝b2+c2，…①
由AF＝3，得a+c＝3，…②
又当直线l⊥x轴时，P，Q的横坐标为c，将x＝c代入中，得，
则，…③
联立①②③，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，
所以椭圆C的方程为．
（2）k1k2为定值．证明如下：
显然，直线PQ不与y轴垂直，可设PQ的方程为x＝my+1，
联立椭圆方程，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
又设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理得
从而x1+x2＝（my1+1）+（my2+1）＝，x1x2＝（my1+1）（my2+1）＝，
所以＝＝，
即，故得证．
（3）由（2）知，
所以＝
＝＝＝
＝．
令t＝m2+1，t≥1，
则（t≥1），设函数（t≥1），
由＝＞0知，g（t）在[1，+∞）上为增函数，
得t＝1，即m＝0时，，
此时S取得最大值为＝．
18．已知F是椭圆D：的右焦点，过点E（2，0）且斜率为正数的直线l与D交于A、B两点，C是点A关于x轴的对称点．
（Ⅰ）证明：点F在直线BC上；
（Ⅱ）若，求△ABC外接圆的方程．
【解答】（Ⅰ）证明：设直线l：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），F（1，0），
由得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0．
所以，．
又Δ＝64k4﹣8（2k2+1）（4k2﹣1）＞0，则．…（3分）
而，，
所以（x1﹣1）（kx2﹣2k）﹣（x2﹣1）（﹣kx1+2k）＝k[2x1x2﹣3（x1+x2）+4＝＝0．…（5分）
∴B、F、C三点共线，即点F在直线BC上．…（6分）
（Ⅱ）解：因为，，
所以＝（1﹣k2）[x1x2﹣2（x1+x2）+4]＝＝＝1，
又k＞0，解得，满足．…（9分）
代入（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，知 x1，x2是方程3x2﹣4x＝0的两根，
根据对称性不妨设x1＝0，，即A（0，﹣1），C（0，1），．…（10分）
设△ABC外接圆的方程为（x﹣a）2+y2＝a2+1，把代入方程得，
即△ABC外接圆的方程为．…（12分）
19．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x＝（a为长半轴，c为半焦距）上．
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）又由点M在准线上，得
故，∴c＝1，从而
所以椭圆方程为；
（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）＝0
即
其圆心为，半径
因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2
所以圆心到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离＝
所以，解得t＝4
所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5
（3）设N（x0，y0），则，
，
∵，∴2（x0﹣1）+ty0＝0，∴2x0+ty0＝2，
又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）＝0，
∴x02+y02＝2x0+ty0＝2，
所以为定值．
20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2＝0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y＝kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，
则右焦点F（）由题设
解得a2＝3故所求椭圆的方程为；
（2）设P为弦MN的中点，由
得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）＝0
由于直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即m2＜3k2+1①
∴从而
∴又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则即2m＝3k2+1②
把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．
故所求m的取范围是（）．
21．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）设抛物线C的方程是x2＝ay，
则，
即a＝4．
故所求抛物线C的方程为x2＝4y．
（Ⅱ）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则抛物线C在点P处的切线方程是，
直线PQ的方程是．
将上式代入抛物线C的方程，得，
故x1+x2＝，x1x2＝﹣8﹣4y1，
所以x2＝﹣x1，y2＝+y1+4．
而＝（x1，y1﹣1），＝（x2，y2﹣1），×＝x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）
＝x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1
＝﹣4（2+y1）+y1（+y1+4）﹣（+2y1+4）+1
＝y12﹣2y1﹣﹣7
＝（y12+2y1+1）﹣4（+y1+2）
＝（y1+1）2﹣
＝＝0，
故y1＝4，此时，点P的坐标是（±4，4）．
经检验，符合题意．
所以，满足条件的点P存在，其坐标为P（±4，4）．
22．已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且，求直线A2Q斜率的取值范围；
（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值．
【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，且经过点（3，1），建立方程，求出几何量，即可
∴，
∴椭圆C的标准方程为…（3分）
（2）设A2Q的斜率为k'，Q（x0，y0），则，…（5分）
∴kk'＝及…（6分）
则kk'＝＝
又…（7分）
∴，
故A2Q斜率的取值范围为（） …（8分）
（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a，b，c，则有，
由椭圆定义，有…（9分）
∴cos∠F1QF2＝…（10分）
＝…（11分）
≥…（12分）
＝＝…（13分）
∴cos∠F1QF2的最小值为．（当且仅当|QF1|＝|QF2|时，即Q取椭圆上下顶点时，cos∠F1QF2取得最小值）
…（14分）
23．已知椭圆C：的离心率为，A、B为它的左、右焦点，过一定点N（1，0）任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q，且||的最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线NP、NQ，使得向量与互相垂直？若存在，求出点P、Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设O为坐标原点，则PO为△PAB的中线，
∴，，
因此，当P在短轴上顶点时，取得最小值2，即2b＝2，解得b＝1，
依题意得：，即，即，∴a2＝4，
∴椭圆C的方程为：；
（2）由题意知直线NP，NQ斜率均存在，设为KNP＝k，，
则此两直线方程分别为：LNP：y＝k（x﹣1），，
又，（O为原点），因此，只要满足即可，
故＝﹣1，化简为：xP+xQ＝1，
由半椭圆方程得：，则＝﹣1，即＝﹣4xPxQ，
令xPxQ＝t≤0且xP+xQ＝1，故，
化简为：15t2﹣8t﹣12＝0，解得t＝﹣或t＝（舍去），∴，
解之得：或，
因此，直线NP、NQ能使得与互相垂直．
24．如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|＝4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①
∵离心率，∴②
联立①②得：，所以b2＝8．
把b2＝8代入②得，a2＝16．
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2＝r2，
不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．
联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2＝0．
由Δ＝（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）＝0，得t2+r2＝8
又P（）在椭圆上，所以．
整理得，．
代入t2+r2＝8，得．
解得：．所以，．
此时．
满足椭圆上的其余点均在圆Q外．
由对称性可知，当t＜0时，t＝﹣，．
故所求圆Q的标准方程为．
25．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
（1）若点P（0，2）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF＝90°，求抛物线方程；
（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知：|AQ|＝|AF|，
∵∠PQF＝90°，∴A为PF的中点，
∵，
且点A在抛物线上，代入得⇒
所以抛物线方程为．…（5分）
（2）设A（x，y），y2＝2px，
根据题意：∠MAF为锐角且，
，，
∵y2＝2px，所以得对x≥0都成立
令
对x≥0都成立…（9分）
①若，即时，只要使成立，
整理得：，且，
所以．…（11分）
②若，即，只要使成立，得m＞0
所以…（13分）
由①②得m的取值范围是且．…（15分）
26．已知椭圆的上下焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）已知直线l的方向向量为（1，），若直线l与椭圆交于P、Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
（3）过点T（1，0）作直线l与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若．证明：λ+μ为定值．
【解答】解：（1）由题意可得：
a＝2，b＝c，a2＝b2+c2，∴b2＝2，
∴椭圆方程为．
（2）∵直线l的方向向量为（1，），
∴可设直线l的方程为，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
代入椭圆方程并化简得，
由Δ＝8m2﹣16（m2﹣4）＞0，可得m2＜8．（*）
∴，．
∴|PQ|＝＝．
又点O到PQ的距离为，
∴，
当且仅当2m2＝16﹣2m2，即m＝±2时取等号，且满足（*）式．
所以△OPQ面积的最大值为．
（3）依题意知，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k（x﹣1）
设M（x3，y3），N（x4，y4），R（0，y5）
则M、N满足消去y化为（2+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，
易知Δ＞0，∴，．
∵，∴（x3，y3﹣y5）＝λ（1﹣x3，y3），
∵x3≠1，∴，
同理．
∴λ+μ＝＝＝﹣4．
∴λ+μ为定值﹣4．
27．已知椭圆E：（a，b＞0）与双曲线G：x2﹣y2＝4，若椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，椭圆E的焦点恰为双曲线G的顶点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在一个以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在请求出该圆的方程，若不存在请说明理由．
【解答】解：（1）由双曲线G：x2﹣y2＝4，得焦点，顶点（±2，0）．
∵椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，∴＝8，c2＝22＝4，∴b2＝8﹣4＝4．
∴椭圆E的方程为；
（2）假设存在一个以原点O为圆心的圆x2+y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且．
当切线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx+t，与椭圆的两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，消去y得到关于x的方程（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣8＝0，
必须满足Δ＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣8）＞0，即8k2+4＞t2（*）．
∴x1+x2＝，．（**）
∵直线l与圆x2+y2＝r2，∴，化为t2＝r2（1+k2）．①
∵，∴x1x2+y1y2＝0．
又y1＝kx1+t，y2＝kx2+t．
代入上式得，
把（**）代入上式得，
化为3t2＝8（k2+1），②满足（*）式．
由①②可得．
因此此时存在满足条件的圆为．
当切线l的斜率不存在时，也满足上述方程．
综上可知：存在一个以原点O为圆心的圆x2+y2＝，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且．
28．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点F重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若过点A（﹣1，0）的直线与椭圆C1相交于M、N两点，求使成立的动点R的轨迹方程；
（3）若点R满足条件（2），点T是圆（x﹣1）2+y2＝1上的动点，求|RT|的最大值．
【解答】解：（1）抛物线C2：y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x＝﹣1，
设点P的坐标为（x0，y0），依据抛物线的定义，由，得1+x0＝，解得x0＝．
∵点P在抛物线C2上，且在第一象限，∴＝4x0＝4×，解得y0＝．
∴点P的坐标为（，）．
∵点P在椭圆上，∴．
又c＝1，且a2＝b2+c2＝b2+1，解得a2＝4，b2＝3．
∴椭圆C1的方程为．
（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），
则＝（x1﹣1，y1），＝（x2﹣1，y2），＝（x﹣1，y）．
∴+＝（x1+x2﹣2，y1+y2）．
∵+＝，
∴x1+x2﹣2＝x﹣1，y1+y2＝y．①
∵M、N在椭圆C1上，∴，．
上面两式相减，把①式代入得．
当x1≠x2时，得．②
设FR的中点为Q，则Q的坐标为（，）．
∵M、N、Q、A四点共线，∴kMN＝kAQ，即＝．③
把③式代入②式，得，化简得4y2+3（x2+4x+3）＝0．
当x1＝x2时，可得点R的坐标为（﹣3，0），
经检验，点R（﹣3，0）在曲线4y2+3（x2+4x+3）＝0上．
∴动点R的轨迹方程为4y2+3（x2+4x+3）＝0．
（3）4y2+3（x2+4x+3）＝0可化为，中心为（﹣2，0），焦点在x轴上，左顶点坐标为（﹣3，0）
∵圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）
∴|RT|的最大值为2﹣（﹣3）＝5．
29．已知以动点P为圆心的圆与直线y＝﹣相切，且与圆x2+（y﹣）2＝外切．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若M（m，m1），N（n，n1）是C上不同两点，且m2+n2＝1，m+n≠0，直线L是线段MN的垂直平分线．
（1）求直线L斜率k的取值范围；
（2）设椭圆E的方程为+＝1（0＜a＜2）．已知直线L与抛物线C交于A、B两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，PQ中点为S，若＝0，求E离心率的范围．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则有…（2分）
化简得：x2＝y …（4分）
（II）（1）因为直线MN的斜率为＝m+n
∵l⊥MN，m+n≠0，∴直线L斜率k＝﹣…（6分）
∵M，N两点不同，m2+n2＝1且m≠n，∴（m+n）2＜2（m2+n2）＝2
∴0＜|m+n|＜
∴|k|＞
∴k＜﹣或k＞ …（8分）
（2）l方程为：y﹣＝k（x﹣），
又m2+n2＝1，m+n＝﹣，∴l方程为：y＝kx+1代入抛物线和椭圆方程并整理得：x2﹣kx﹣1＝0①；（a+2k2）x2+4kx+2﹣2a＝0②，易知方程①的判别式＞0恒成立，方程②的判别式
∵，a＞0，∴＞0恒成立 …（10分）
∵R（），S（）
∴由＝0得﹣k2+a（+1）＝0
∴a＝＝2﹣＞2﹣＝
∴
∵＝e，∴a＝2﹣2e2＞
∴e2＜
∴0＜e＜ …（14分）
30．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（﹣2，0）、B（2，0）、三点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（﹣1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l：y＝k（x﹣1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明：直线AM与直线BN的交点在直线x＝4上．
【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+my2＝1（m＞0，n＞0），将A（﹣2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得解得．∴椭圆E的方程（4分）
（2）|FH|＝2，设△DFH边上的高为
当点D在椭圆的上顶点时，h最大为，所以S△DFH的最大值为．
设△DFH的内切圆的半径为R，因为△DFH的周长为定值6．所以，
所以R的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为（10分）
（3）将直线l：y＝k（x﹣1）代入椭圆E的方程并整理．
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0．
设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根系数的关系，得．
直线AM的方程为：，它与直线x＝4的交点坐标为，
同理可求得直线BN与直线x＝4的交点坐标为．
下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：
∵y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
∴
＝
因此结论成立．
综上可知．直线AM与直线BN的交点在直线x＝4上．（16分）
31．设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量＝（，），＝（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）2b＝2．b＝1，e＝
椭圆的方程为
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y＝kx+

由已知＝0得：
＝
，解得k＝±
（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即x1＝x2，y1＝﹣y2，
由＝0，则
又A（x1，y1）在椭圆上，所以
S＝
所以三角形的面积为定值
（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+b
得到x1+x2＝
代入整理得：
2b2﹣k2＝4
＝
所以三角形的面积为定值
32．直线l：y＝ax+1与双曲线C：3x2﹣y2＝1相交于A，B两点．
（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；
（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x﹣2y＝0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）联立方程ax+1＝y与3x2﹣y2＝1，消去y得：（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2＝0（*）
又直线与双曲线相交于A，B两点，3﹣a2≠0，所以a≠±，∴．
又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1y2＝﹣x1x2．
且y1y2＝（ax1+1）（ax2+1）＝a2x1x2+a（x1+x2）+1＝﹣x1x2⇒x1x2（1+a2）+a（x1+x2）+1＝0，而由方程（*）知：，代入上式得．满足条件．
（2）假设这样的点A，B存在，则l：y＝ax+1斜率a＝﹣2．又AB中点，在上，则，
又y1+y2＝a（x1+x2）+2，
代入上式知这与a＝﹣2矛盾．
故这样的实数a不存在．
33．已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16（m∈N*），直线4x﹣3y﹣16＝0过椭圆的右焦点，且交圆C所得的弦长为，点A（3，1）在椭圆E上．
（Ⅰ）求m的值及椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为直线4x﹣3y﹣16＝0交圆C所得的弦长为，
所以圆心C（4，m）到直线，
即∴m＝4，或m＝﹣4（舍去）
又因为直线4x﹣3y﹣16＝0过椭圆E的右焦点，所以右焦点坐标为F2（4，0）．
则左焦点F1的坐标为（﹣4，0），因为椭圆E过A点，
所以|AF1|+|AF2|＝2a
所以
故椭圆E的方程为：．
（Ⅱ）：
则
设x+3y＝n，则由
消x得18y2﹣6ny+n2﹣18＝0
由于直线x+3y＝n与椭圆E有公共点，
所以Δ＝（6n）2﹣4×18×（n2﹣18）≥0，
所以﹣6≤n≤6，故的取值范围为[﹣12，0]．
34．设F1，F2分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点，
（1）设椭圆C上的点（，）到F1，F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，KPN试探究kPM•KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．
【解答】解：（1）由于点在椭圆上，
2a＝4，
椭圆C的方程为
焦点坐标分别为（﹣1，0），（1，0）
（2）设KF1的中点为B（x，y）则点K（2x+1，2y）
把K的坐标代入椭圆中得
线段KF1的中点B的轨迹方程为
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设M（x0，y0）N（﹣x0，﹣y0），p（x，y）
M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，
得

kPM•KPN＝＝﹣
kPM•KPN的值与点P及直线L无关
35．已知x轴上的两点A，B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PB与y轴的交点M线段PB的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率大于零的直线过D（﹣1，0）与椭圆交于E、F两点，且，求直线EF的方程．
【解答】解：（1）∵线段PB与y轴的交点M线段PB的中点，
∴OM是△PAB的中位线
∵OM⊥AB，∴PA⊥AB
∵点在椭圆上，∴
∴a2＝2，b2＝1，c2＝1
∴椭圆的标准方程为；
（2）设EF：x＝my﹣1（m＞0），代入椭圆方程得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，
设E（x1，y1），F（x2，y2），
由，得y1＝﹣2y2．
由y1+y2＝﹣y2＝，y1y2＝﹣2y22＝
得2（﹣）2＝，
∴m＝，m＝﹣（舍去），
直线EF的方程为：x＝y﹣1，即7x﹣y+7＝0．
36．已知抛物线C：y2＝ax（a＞0），抛物线上一点到抛物线的焦点F的距离是3．
（1）求a的值；
（2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线C于A、B两点．
（i）若直线l的斜率为1，求AB的长；
（ii）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
【解答】解：（1）点到焦点的距离就是到准线的距离，
∴…（2分）
∵在抛物线上得：a•x0＝8…（3分）
∴a2﹣12a+32＝0，a＝4（舍）或a＝8，
∴x0＝1（舍）或x0＝2…（5分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（i）直线l的方程为：y＝x﹣4，…（6分）
联立，整理得：x2﹣12x+16＝0…（7分）
∴|AB|＝＝．…（9分）
（ⅱ）设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心，过M作直线x＝a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G．可得：|EG|2＝|MG|2﹣|ME|2，…（11分）
即|EG|2＝|MA|2﹣|ME|2＝
＝
＝＝…（13分）
当a＝3时，|EG|2＝3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值．…（14分）
因此存在直线m：x＝3满足题意 …（15分）
37．已知中心在原点O，焦点F1、F2在y轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线的焦点为F2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与x轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为，…（1分）
则∵椭圆E经过点C（2，2），，…（2分）
因为抛物线的焦点为F2，所以…（3分）
又a2＝b2+c2得a2＝12，b2＝6…（4分）
所以椭圆E的方程为…（5分）
（Ⅱ）依题意，直线OC的斜率为1，由此设直线l的方程为y＝﹣x+m…（6分）
代入椭圆E方程，得3x2﹣2mx+m2﹣12＝0…（7分）
由Δ＝4m2﹣12（m2﹣12）＞0，得m2＜18…（8分）
记A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∴…（9分）
半径，解得m＝±3，满足Δ＞0…（12分）
当m＝3时，直线l的方程为y＝﹣x+3，圆P的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4
当m＝﹣3时，直线l的方程为y＝﹣x﹣3，圆P的方程为（x+2）2+（y+1）2＝4 …（14分）
38．已知点A（m，4）（m＞0）在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线另一个交点分别为B、C．
（I）求证：直线BC的斜率为定值；
（II）若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．

【解答】（I）证明：∵点A（m，4）（m＞0）在抛物线x2＝4y上，∴m＝4
设B（x1，y1），C（x2，y2），则kAB+kAC＝+＝+
+＝0，
∴x1+x2＝﹣8，
∴＝﹣2
∴直线BC的斜率为定值﹣2；
（II）解：设直线BC的方程为y＝﹣2x+b，P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线BC对称，
设PQ中点M（x0，y0），则＝＝，
∴x0＝1，故M（1，﹣2+b）
∵M在抛物线内部，
∴﹣2+b＞，解得b＞
y＝﹣2x+b代入抛物线可得x2+8x﹣4b＝0，
∴x1+x2＝﹣8，x1x2＝﹣4b
∴|BC|＝＝＞10
∴|BC|的取值范围为（10，+∞）．
39．已知椭圆C：的右焦点为F1（1，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；
（Ⅱ）设过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△PAB的面积为，求直线AB的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：c＝1，，所以a＝2，所以b2＝a2﹣c2＝3．
所以椭圆C的标准方程为，左顶点P的坐标是（﹣2，0）．…（4分）
（Ⅱ）根据题意可设直线AB的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由可得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．
所以Δ＝36m2+36（3m2+4）＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣．…（7分）
所以△PAB的面积S＝＝．…（10分）
因为△PAB的面积为，所以＝．
令t＝，则，解得t1＝（舍），t2＝2．
所以m＝±．
所以直线AB的方程为x+y﹣1＝0或x﹣y﹣1＝0．…（13分）
40．如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆C2：与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．

【解答】（Ⅰ）解：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），
∵A1（﹣a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为①
直线A2B的方程为y＝﹣（x﹣a）②
由①×②可得：③
∵A（x1，y1）在椭圆C0上，
∴
∴
代入③可得：
∴；
（Ⅱ）证明：设A′（x3，y3），
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等
∴4|x1||y1|＝4|x3||y3|
∴＝
∵A，A′均在椭圆上，
∴＝
∴＝
∴
∵t1≠t2，∴x1≠x3．
∴
∵，
∴
∴＝a2+b2为定值．
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