2022-2023学年黑龙江省鹤岗市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省鹤岗市九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列二次函数图象的顶点坐标是的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若方程有两个不相等的实数根，则的值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 将抛物线通过一次平移可得到抛物线，对这一平移过程描述正确的(    )

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度

5. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到的，点的对应点在延长线上，连接若，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 关于二次函数，下列说法不正确的是(    )

A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴在轴左侧
C. 当时，随的增大而减小 D. 函数的最小值为

7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手每两人只握一次，大家共握了次手．设参加这次聚会的同学共有人，根据题意，可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，在正方形中，为对角线上一点且，连接，，延长交于点，交的延长线于点将线段绕点顺时针旋转，交于点，且，连接下列结论：为的中点；；；为等腰直角三角形；其中结论正确的序号(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 如果点关于原点的对称点为，则______．
12. 若关于的方程的一个根为，则的值为           ．
13. 若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为______．
14. 如图，在中，，，，可以由绕点顺时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，连接，且、、在同一条直线上，则的长为______ ．

15. 飞机着陆后滑行的距离单位：与滑行时间单位：之间的函数关系式为：，则飞机着陆后滑行______才能停下来．
16. 已知，是一元二次方程的两根，则 ______ ．
17. 函数的图象的对称轴是______．
18. 如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最小值为______．

19. 三角形两边的长分别是和，第边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是______．
20. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰三角形，，边在轴上，且将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且，再将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且依此规律，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    解下列一元二次方程：
    ；
    ．
22. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
    画出关于原点对称的，并写出点的坐标；
    画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标．

23. 本小题分
    已知关于的方程有两个不相等的实数根．
    求的取值范围；
    当取满足条件的最小整数值时，求方程的解．
24. 本小题分
    如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，连接，．
    求抛物线的解析式；
    平行于轴的直线与抛物线分别交于点，，求线段的长．

25. 本小题分
    年是中国共产党建党周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地据了解，今年月份该基地接待参观人数万人，月份接待参观人数增加到万人．
    求这两个月参观人数的月平均增长率；
    按照这个增长率，预计月份的参观人数是多少？
26. 本小题分
    已知在中，，，为直线上的一动点点不与点，重合，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
    如图，当点在边上时，求证：；
    当点在直线上时，如图、图所示，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
     
27. 本小题分
    暑假期间，某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．销售利润销售总额进货成本
    若该纪念品的销售单价为元时，则当天销售量为______件．
    当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是元．
    该纪念品的当天销售利润有可能达到元吗？若能请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
28. 本小题分
    直角三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，的长是方程的两个根将绕原点顺时针旋转得到，点，的对应点为，，连接点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点运动的时间为秒，过点作轴于点，以为斜边向左作等腰直角三角形，连接．
    求点，的坐标；
    设的面积为，求与的关系式；
    在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、二次函数的顶点坐标是，不符合题意；
B、二次函数的顶点坐标是，符合题意；
C、二次函数的顶点坐标是，不符合题意；
D、二次函数的顶点坐标是，不符合题意；
故选：．
根据二次函数顶点式解析式可直接对选项进行判断．
本题考查了抛物线的顶点式与顶点坐标的关系，需要熟练掌握顶点式与顶点坐标的关系．
 

3.【答案】 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：或，
只有不符合，
故选：．
根据方程有两个不相等的实数根得出，求出不等式的解集即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
点向左平移个单位可得到，
将抛物线向左平移个单位得到抛物线．
故选：．
先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转后得到的，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可知是等腰直角三角形，再利用三角形外角的性质可得．
本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、当时，，即图象与轴的交点坐标为，说法正确，不符合题意；
B、由二次函数知，对称轴是直线，即图象的对称轴在轴左侧，说法正确，不符合题意；
C、由二次函数知，抛物线开口方向向上，对称轴是直线，所以当时，随的增大而减小，说法不正确，符合题意；
D、由二次函数知，其函数图象顶点坐标为，开口向上，所以函数的最小值为，说法正确，不符合题意；
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
当，时，一次函数经过第一、三、四象限；当，时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：．
利用判别式的意义得到，则，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
故选：．
利用握手的总次数参会人数参会人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由二次函数可知，对称轴为，开口向上，
二次函数的图象上有三点，，，
关于对称轴的对称点为，
，
．
故选：．
由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向上，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点，故结论正确；
，，
，
、、、四点共圆，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，故结论正确；
由知：，
，
为等腰直角三角形，故结论正确；
在和中，
，
≌，
，
，，
，故结论正确；
故选：．
由正方形性质、等腰三角形性质和三角形内角和定理可得：，进而可得，，即可推出，可判断结论；
由，可得、、、四点共圆，进而可得，即可判断结论；
利用三角形内角和定理可得，再运用等角对等边即可判断结论；
由，得出，即可判断结论；
先证明≌，得出，再结合，即可判断结论．
本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆的性质等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于原点的对称点为，
，，
，
故答案为：．
利用关于原点对称的点的坐标特点可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．
把代入方程得出，求出方程的解即可．
【解答】
解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴只有一个交点，
且，
解得，
故答案为：．
根据题意可以得到关于的方程，从而可以求得的值，注意二次项系数不为零．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系如下：
决定抛物线与轴的交点个数．
时，抛物线与轴有个交点；
时，抛物线与轴有个交点；
时，抛物线与轴没有交点．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，故AB，
由绕点顺时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，连接，且、、在同一条直线上，
，，
，
，
，
，
故答案为．
利用直角三角形的性质得出，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质等知识，得出是解题关键，此题难度不大．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
当时，取得最大值，此时，，
即飞机着陆后滑行飞机才能停下来．
故答案为：．
根据题意可以将化为顶点式，飞机滑行的最远距离也就是取得的最大值，本题得以解决．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

16.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，．
则．
故答案是：．
直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
 

17.【答案】 

【解析】解：由得到：，即，
所以函数的图象的对称轴是直线．
故答案为：．
根据顶点式的特点可直接写出对称轴．
本题考查了二次函数的解析式与对称轴的关系，利用二次函数的性质解答．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
在中，，，
，，
，，
，
，
，即，
的最小值为．
如图，连接想办法求出，，根据即可解决问题．
本题考查解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】或 

【解析】解：，
，
解得：，，
当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高，
，，
；
当时，如图，，，，
，
是直角三角形，，
．
该三角形的面积是：或．
故答案为：或．
由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于．
在等腰三角形中，，
，．
在中，，
，
，
，
，
，

．
，
点所在位置与所在位置相同，即在轴正半轴上，
点的坐标为
故答案为：
先根据等腰三角形的性质求出，再依次求出，，，从而得出，再根据旋转角为得出点所在的位置是以每次为一个周期依次循环，由，可知点与所在位置相同，即在轴正半轴上，进而得出结论．
此题考查了坐标与图形变化旋转，等腰三角形的性质，解直角三角形，点的坐标变化规律，得出长度及点位置变化规律是解题关键．
 

21.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

22.【答案】解：如图所示，即为所求，．

如图所示，即为所求，．
 

【解析】分别作出三角形三顶点原点对称的对应点，再顺次连接可得；
分别作出三角形三顶点原点顺时针方向旋转得到的对应点，再顺次连接可得．
本题主要考查作图旋转变换，熟练掌握旋转变换的定义和性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：根据题意得，
解得；
，
的最小整数值为，
此时方程为，
则，
解得：，． 

【解析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
求得的最小整数值，代入得到，然后利用因式分解法求解即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根；也考查了因式分解法解一元二次方程．
 

24.【答案】解：，解得：，
则抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得，，
解得：，
故抛物线的表达式为：；

平行于轴的直线与抛物线分别交于点、，
，
解得或，
，，
． 

【解析】，解得：，则抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，即可求解；
由直线与抛物线解析式可求出和的坐标，则可得出答案．
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为．
万人．
答：预计月份的参观人数为万人． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据月份该基地接待参观人数月份该基地接待参观人数增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
利用月份该基地接待参观人数月份该基地接待参观人数增长率，即可求出结论．
 

26.【答案】证明：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
如图，同理可知≌，
，
；
如图所示，同理可知≌，
，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
同由全等三角形的性质可得出，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

27.【答案】 

【解析】解：件．
故答案为：．
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
依题意，得：，
整理，得：，
整理，得：不合题意，舍去，．
答：当该纪念品的销售单价为元时，该产品的当天销售利润是元．
不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
依题意，得：，
整理，得：．
，
该方程无解，即该纪念品的当天销售利润不能达到元．
根据当天销售量增加的销售单价，即可求出结论；
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，根据当天的销售利润每件的利润当天销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，根据当天的销售利润每件的利润当天销售量，即可得出关于的一元二次方程，由该方程根的判别式，可得出该方程无解，进而可得出该纪念品的当天销售利润不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

28.【答案】解：方程的两个根分别为，，
又，的长是方程的两个根，
，，
，，
由旋转变换的性质可知，
；

如图中，当时，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

如图中，当时，．

综上所述，．

如图中，当为正方形的对角线时，是的中点，，
是等腰直角三角形，
，
，关于对称，
．

如图中，当为正方形的边时，点与重合时，
是等腰直角三角形，

把点向右平移个单位，向上平移个单位得到．

综上所述，满足条件的点的坐标为或． 

【解析】解方程可得，的长，再利用旋转变换的性质求解即可；
分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，分别利用三角形的面积公式求解即可．
分两种情形：如图中，当为正方形的对角线时，如图中，当为正方形的边时，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．