2021-2022学年安徽省宿州市砀山县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省宿州市砀山县九年级（上）期末数学试卷

副

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如果是关于的二次函数，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 全体实数

2. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若点关于轴的对称点恰好在反比例函数的图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得抛物线的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，点，，在正方形网格的格点上，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是(    )

A. 掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率
B. 一个袋子中有个白球和个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率
C. 抛一枚硬币，出现正面的概率
D. 任意写一个整数，它能被整除的概率

7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B.
C. 且 D.

8. 如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离是这时，离开水面处，涵洞的宽为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，是的中线，是中点，的延长线与交于点，则：等于(    )
     

A. ： B. ： C. ： D. ：

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 请你写出一个抛物线使它满足以下条件：开口向下，顶点坐标为，则这个抛物线的表达式是______．
12. 如图，过轴上任意一点，作轴的平分线，分别于反比例函数和的图象交于点和点，若为轴上任意一点，连接，，则的面积为______ ．

13. 如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为______．

14. 已知关于的函数，点为抛物线顶点．
    当点最高时，______．
    在的条件下，当时，函数有最小值，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    计算：．
16. 本小题分
    已知抛物线经过点和．
    求，的值；
    求该抛物线的顶点坐标．
17. 本小题分
    如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点网格线的交点上，点是格点．
    以点为位似中心，画出的位似图形，使与在点的同侧，与的位似比为：；
    将中的绕点逆时针旋转得到，画出．

18. 本小题分
    新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：级为优秀，级为良好，级为及格，级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
    本次抽样测试的学生人数是______名；
    补全条形统计图；
    某班有名优秀的同学分别记为、、、，其中为小明，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
     
19. 本小题分
    如图，在高度为米的小山上竖直建有一座铁塔，小明为测得铁塔的高度，先在山脚处测得铁塔底部的仰角为，后沿坡度：的山坡向上行走米到达点处，在点处测得铁塔顶部的仰角为，求铁塔的高度．

20. 本小题分
    如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，，且．
    求证：平行四边形是菱形；
    若，，求四边形的面积．

21. 本小题分
    端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
    小王：该水果的进价是每千克元；
    小李：当销售价为每千克元时，每天可售出千克；若每千克降低元，每天的销售量将增加千克．
    根据他们的对话，解决下面所给问题：
    超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
    设该水果超市一天可获利润元．求当该水果每件售价为多少元时，该水果超市一天所获利润最大？并求最大利润值．
22. 本小题分
    如图，四边形中，，点在边上，连接，，且．
    求证：∽；
    若，，，求的值．

23. 本小题分
    如图，已知抛物线经过、、三点．
    求抛物线的解析式；
    在抛物线的对称轴上找一点，使点到点和点的距离之和最小，求出此时点的坐标；
    设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是关于的二次函数，
，
解得：．
故选：．
直接利用二次函数的定义得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
利用比例的性质进行计算即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴的对称，
点，
又点在反比例函数的图象上，
，
故选：．
根据对称性求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数可求出的值．
本题考查轴对称的坐标变化，反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线可化为，先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，
所得的抛物线的解析式，即．
故选：．
根据图象的平移规律，可得答案．
本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，点在格点上，如右图所示：
设每个小正方形的边长为，
则，
，
，
，
是直角三角形，
，
故选：．
根据题意，做出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到的形状，从而可以求得的值．
本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是判断出的形状．
 

6.【答案】 

【解析】解：、掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率为，故此选项不符合题意；
B、一个袋子中有个白球和个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率，故此选项符合题意；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
D、任意写出一个整数，能被整除的概率为，故此选项不符合题意．
故选：．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
且，
解得：且，
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．
根据图象，先设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点的坐标，代入即可求出抛物线的解析式，然后再将点的纵坐标代入，即可得到点和点的横坐标，从而可以求得的长．
【解答】
解：设该涵洞的截面边缘对应的抛物线解析式为，
当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离是．
点的坐标为，
，
解得，
抛物线解析式为，
由题意可知点的纵坐标为：，
当时，
，
解得或，
点的坐标为，点的坐标为，
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：由抛物线图形，可得，，，
根据，可以判定一次函数的图象经过第一、三、四象限，可排除选项A、
根据可以判定反比例函数的图象经过第二、四象限，可排除选项B、．
故选：．
根据抛物线图形，可得，，，再由时，，即可判断出答案．
本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图形，注意隐含条件的挖掘“”．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，得到答案．
【解答】

解：作交于，
，是的中线，
，
，是中点，
，
，
：：，
故选C．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：顶点坐标为，
可设抛物线解析式为，
图象开口向下，
，
可取，
抛物线解析式为，
故答案为：．
由开口向下可知二次项系数小于，根据顶点坐标公式可设其为顶点式，可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，
直线轴，
，两点的纵坐标都为，而点在反比例函数的图象上，
当，，即点坐标为，
又点在反比例函数的图象上，
当，，即点坐标为，
，
．
故答案为：．
先设，由直线轴，则，两点的纵坐标都为，而，分别在反比例函数和的图象上，可得到点坐标为，点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
四边形是正方形，
，．
又，
≌．
．

所以最小值等于最小值．
作点关于的对称点点，如图，
连接，则、、三点共线，
连接，与的交点即为所求的点．
根据对称性可知，
所以．

在中，，
最小值为．
故答案为：，
连接，利用≌转化线段得到，则通过作点关于对称点，连接交于点，利用勾股定理求出长即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
 

14.【答案】  或 

【解析】解：
，
顶点的坐标为，
，
当时，求得最大值为，
当点最高时，，
故答案为：；
当时，，
这时当时，函数有最小值为，
当，函数有最小值，
的取值范围一定在对称轴的左边，
当时，，函数有最小值为，
，
解得：，，
，
，
当时，，函数有最小值为，
，
解得：，，
，即，
，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
将抛物线一般式化为顶点式得到顶点的坐标为，把纵坐标化为的形式，即可得到结果；
把中求得的代入得，这时当时，函数有最小值为，当时，函数有最小值为，所以的取值范围一定在对称轴的左边或右边，再分两种情况讨论即可求得的值．
本题主要考查了二次函数的性质和最值的求法，求最值除了考虑开口方向还要考虑自变量的取值范围和对称轴的关系，这是解决本题的关键．
 

15.【答案】解：．



． 

【解析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

16.【答案】解：将，代入得，
解得．
由得，
抛物线的顶点坐标为． 

【解析】通过待定系数法求解．
将二次函数解析式化为顶点式求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

17.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．
 

【解析】利用位似变换的性质，分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，，即可．
本题考查作图位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：；

级人数为：名，
补全统计图如下：


画树状图得：

共有种等可能的结果，选中小明的有种情况，
选中小明的概率为． 

【解析】解：本次抽样测试的学生人数是：名；
故答案为：；
见答案；
见答案．

根据级的人数和所占的百分比求出抽样调查的总人数；
先求出等级的人数，再补全统计图即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：延长交地面于，过作于，作于，如图所示：
则四边形是矩形，
，，
在中，，
米，
在中，：：，
，
，
，
解得：米，
米，
米，米，
在中，，
米，
米，
答：铁塔的高度为米． 

【解析】延长交地面于，过作于，作于，由锐角三角函数定义得米，再由坡度的定义和勾股定理求出米，米，则米，米，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
平行四边形是菱形．
解：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，，
，，，
，，
，
，
． 

【解析】利用全等三角形的性质证明即可解决问题；
连接交于，利用勾股定理求出对角线的长，即可解决问题．
本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意得，
，
整理得：，
或．
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为：元，
答：水果的销售价为每千克元时，超市每天可获得销售利润元；
设降低元，由题得，
，
当时，得最大值．
售价为元，
答：水果的销售价为每千克元时，超市一天获利最大为元． 

【解析】设降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案；
设降低元，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
即，
或，
当时，，
当时，，
故或． 

【解析】由，得，再由，得，进而得，结合，便可得结论；
根据∽，得出比例线段，进而求得结果．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是正确应用相似三角形的性质与判定解题．
 

23.【答案】解：把、分别代入中，
得 ，
，
抛物线的解析式为：；
抛物线的对称轴是直线，
如图，作点关于直线的对称点，连接交对称轴于点，此时点到点和点的距离之和最小，

设直线表达式为，代入点，，
解得，
直线的解析式为：．
当时，．
；
，，，． 

【解析】解：见答案；
见答案；
设点坐标为，
、，
，，，
当时，，
即，
解得，，
，；
当时，，
即，
解得，
 ；
当时，，
即，
解得，
，
综上所述，，，，时，为直角三角形．
将点，代入抛物线，用待定系数法求解；
根据将军饮马模型，将点关于抛物线对称轴对称，求直线与对称轴的交点坐标；
设点坐标为，结合两点间距离坐标公式，利用勾股定理求解．
本题是二次函数综合类题目，主要考查了待定系数法、将军饮马模型和直角坐标系内两点间距离公式，解题关键是能够根据建立相应的数学模型进行求解．