浙教版初中数学七年级上册第五单元《一元一次方程》单元测试卷（困难）（含详细答案解析）
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考试范围：第五单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 已知是以为未知数的一元一次方程，如果，那么的值为( )
A. B. C. D.
- 若是一元一次方程，则等于
A. B. C. 或 D.
- 已知下列方程：；；；；；其中一元一次方程的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 下列说法正确的是( )
A. 单项式的次数是
B. 最小的非负数是
C. 的绝对值、相反数、倒数都等于它本身
D. 如果，那么
- 下列根据等式的性质变形不正确的是( )
A. 由，得到 B. 由，得到
C. 由，得到 D. 由，得到
- 下列说法正确的是( )
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
- 下列结论：若，且，则方程的解是若有唯一的解，则若，则关于的方程的解为；若，且，则一定是方程的解；其中结论正确个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 已知关于的方程的解满足，则的值是 ( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
- 下列变形正确的是( )
A. 变形，得
B. 变形，得
C. 变形，得
D. 变形，得
- 农历新年即将来临，某校书法兴趣班计划组织学生写一批对联．如果每人写副，则比计划多了副；如果每人写副，则比计划少副，设这个兴趣班有个学生，由题意，下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
- 正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，已知正方形轨道的边长为，则乙在第次追上甲时的位置( )
A. 上 B. 上 C. 上 D. 上
- 如图，一个大长方形恰好分成个小正方形，其中最小的正方形面积是平方厘米，则这个大长方形的面积为( )
A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 若方程是关于的一元一次方程，则方程的解为
- 【发展性作业】对应目标一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为若是“相伴数对”，则________．
- 规定：用表示大于的最小整数，例如等；用表示不大于的最大整数，例如，如果整数满足关系式：，则 ．
- 实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器容器足够高，底面半径之比为，用两根相同的管子在容器的高度处连通即管子底端离容器底，现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水分钟，乙的水位上升，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
已知关于的方程是一元一次方程．试求：
的值；的值． - 本小题分
阅读下列材料：
关于的方程
的解是
的解是
的解是
以上材料，解答下列问题：
观察上述方程以及解的特征，
请你直接写出关于的方程的解为_________________
比较关于的方程与上面各式的关系，猜想它的解是_____________________________；
请验证第问猜想的结论
利用第问的结论，求解关于的方程的解．
- 本小题分
对应目标观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“一中有理数对”，记为，如：数对，都是“一中有理数对”．
数对，中是“一中有理数对”的是_________．
若是“一中有理数对”，求的值；
若是“一中有理数对”，则是否为“一中有理数对”？请说明理由．
- 本小题分
概念学习：若，则称与是关于的平衡数
初步探究：与 是关于的平衡数， 与是关于的平衡数
灵活运用：若，，试判断，是不是关于的平衡数并说明理由．
- 本小题分
定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”例如：方程和为“美好方程”
若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值
若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值
若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解．
- 本小题分
设、是任意两个有理数，规定与之间的一种运算“”。若对任意有理数、，运算“”满足，则称此运算具有交换律，。
试求的值；
试判断该运算“”是否具有交换律，说明你的理由；
若，求的值。 - 本小题分
已知：，当时，．
求的值；
当时，求的值．
- 本小题分
“水是生命之源”，某自来水公司为鼓励居民节约用水，按以下标准收取水费：
用水量月 | 单价元 |
不超过 | |
超过的部分 | |
另：每立方米用水加收元的城市污水处理费 | |
如果月份某用户用水量为，那么该用户月份应该缴纳水费______元
某用户月份共缴纳水费元，那么该用户月份用水多少？
若该用户水表月份出了故障，只有的用水量记入水表中，这样该用户在月份只缴纳了元水费，问该用户月份实际应该缴纳水费多少元？
- 本小题分
若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为如图，已知数轴上有三点、、，，点对应的数是．
若，则点对应的数为______；
如图，在的条件下，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为单位长度秒、单位长度秒、单位长度秒，点为线段的中点，点为线段的中点，多少秒时恰好满足不考虑点与点相遇之后的情形；
如图，在的条件下，若点、对应的数分别为、，动点、分别从、两点同时出发向左运动，点、的速度分别为单位长度秒、单位长度秒，点为线段的中点，点在从点运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：一元一次方程则系数为，且系数
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
原式．
故选：．
根据一元一次方程的定义，则系数为，且系数，得出；由，得，，
．
本题主要考查了如何去绝对值以及一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是根据一元一次方程的定义求的值．去绝对值时注意、与的关系．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的知识点有一元一次方程的定义、一元一次方程的解法解题关键是根据一元一次方程的定义得出方程即“且”先根据一元一次方程的定义得出方程即“且”，然后解此方程不等式求出值，再把值代入原方程得到关于的一元一次方程，然后解关于的一元一次方程求出值即可得出正确选项．
【解答】
解：依题意得：
且，
或且，
原方程为，
即，
．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是，一次项系数不是只含有一个未知数，并且未知数的指数是的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是是常数且．
【解答】
解：是分式方程；
符合一元一次方程的定义；
经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是，系数不为，则这个方程是一元一次方程；
未知数的最高项指数是，故不是一元一次方程；
符合一元一次方程的定义；
含有两个未知数，故不是一元一次方程；
因此是一元一次方程，所以一共有三个一元一次方程．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了单项式的定义、的性质和倒数的定义及等式的性质等知识，正确把握相关定义是解题关键．直接利用单项式的定义、的性质和倒数的定义及等式的性质分别分析得出答案．
【解答】
解：、单项式的次数是，故此选项错误；
B、最小的非负数是，正确；
C、的绝对值、相反数都等于它本身，没有倒数，故此选项错误；
D、如果，那么，故此选项错误；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、由，得到，正确；
B、由，得到，正确；
C、当时，由，，错误；
D、由，得到，正确；
故选：．
根据等式的性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立，可得答案．
本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了等式的基本性质有关知识，利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【解答】
解：，所以不成立；
利用等式性质可知，两边都乘以，得到，所以成立；
C.不等于，所以不成立；
D.不成立，因为．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键，根据方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，即可判断．
【解答】
解：当时，代入方程即可得到，成立，故正确；
，去括号得：，即，方程有唯一的解，则，故正确；
方程，移项得：，则，，，则，故错误；
把代入方程，得到，则一定是方程的解，故正确．
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元一次方程的解的相关知识．
先解出方程的解，然后将其代入方程，将未知数转化成已知数，继而求出．
【解答】
解：，
或，
把或分别代入中，
或，
故选A．
9.【答案】
【解析】解：、变形得：，故选项错误；
B、变形得：，故选项正确；
C、变形得：，故选项错误；
D、变形得，故选项错误．
故选B．
各项利用去分母，去括号，移项合并，将系数化为的方法计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为，求出解．
10.【答案】
【解析】解：设这个兴趣班有个学生，
由题意可列方程：，
故选：．
由“如果每人写副，则比计划多了副”可知计划总数为；又由“如果每人写副，则比计划少副”可知图书总数为，根据总本数相等即可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据该班人数表示出图书数量进而得出方程是解题关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数式规律问题，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的变化规律．根据题意可以得到前几次相遇的地点，从而可以发现其中的规律，进而求得第次相遇的地点，本题得以解决．
【解答】
解：设乙走秒第一次追上甲．
根据题意，得，
解得．
乙走秒第一次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
设乙再走秒第二次追上甲．
根据题意，得，解得．
乙再走秒第二次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
同理，乙再走秒第三次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
乙再走秒第四次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
乙在第次追上甲时的位置又回到上；
，
每四次一个循环，
，
乙在第次追上甲时的位置在上，
故选B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元一次方程的应用解决此题关键是理解图，找出正方形边长之间的关系，求出长方形的长和宽，进一步用长乘宽求得面积由中间小正方形面积为平方厘米，可求出小正方形的边长为厘米，设这个正方形中最大的一个边长为厘米，其余几个边长分别是、、、单位厘米，根据长方形中几个正方形的排列情况，列方程求出最大正方形的边长，从而求得长方形长和宽，进而求出长方形的面积．
【解答】
解：因为小正方形面积为平方厘米，所以小正方形的边长为厘米，
设这个正方形中最大的一个边长为厘米，
因为图中最小正方形边长是厘米，
所以其余的正方形边长分别为，，，，
则，
解这个方程得：．
所以长方形的长为，宽为，
长方形的面积为平方厘米．
故选B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一元一次方程的定义和解方程的能力，根据一元一次方程的定义得出的值是解题的关键．根据一元一次方程的定义知且，求得的值，代入方程求解可得．
【解答】
解：方程是关于的一元一次方程，
且，
解得：，
则方程为，
解得：，
故答案为．
14.【答案】
【解析】此题考查了等式的性质，弄清题中的新定义，能够正确化简等式并进行变形是解答此题的关键．
利用新定义“相伴数对”列出算式，化简得到，再变形即可得到的值．
根据题意若是“相伴数对”，那么，
整理得：，
所以．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是结合新定义考查解一元一次方程的知识，比较新颖，注意仔细审题理解新定义的含义是解题的关键根据题意结合一元一次方程的解法可将变形为，再结合新定义解出即可．
【解答】
根据题意得：；．
原方程可化为：
．
故答案为．
16.【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，需要分类讨论，难度较大．
由甲、乙、丙三个圆柱形容器容器足够高，底面半径之比为：：，注水分钟，乙的水位上升，得到注水分钟，丙的水位上升设开始注入分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是，甲与乙的水位高度之差是有三种情况：当甲的高度高于乙的高度时当乙的高度高于甲的高度时当丙水位达到且乙水位达到时，乙容器向甲容器溢水，乙的高度高于甲的高度时，分别列方程求解即可．
【解答】
解：设开始注入分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是．
由题意分为三种情况：
甲的高度高于乙的高度，
则，解得
乙的高度高于甲的高度，
注水分钟，乙的水位上升，丙的水位上升，分钟，，
所以丙水位达到，乙水位低于时，丙容器已向乙容器溢水，
当乙的高度高于甲的高度，
则，解得
丙水位达到且乙水位达到时，乙容器向甲容器溢水，乙的高度高于甲的高度，
则分钟，，解得．
综上可知或或．
故答案为或或．
17.【答案】解：根据题意可得：且，
解得：且，
，
故的值为；
，
当时，原式．
【解析】本题考查了一元一次方程的定义和整式的混合运算及化简求值．
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是，等号两面都是整式，列出关于的含绝对值符号的一元一次方程并求解，即可得到的值；
首先利用乘法分配律，同类项的系数相加对整式进行化简，再将中所得的值带入求值即可．
18.【答案】解：
当时，，所以方程仍然成立
设，则原方程为，
移项得：，
所以
即
所以 ．
【解析】
【分析】
本题考查了规律型：数字的变化类、方程的解以及常用解题方法换元法．
根据规律，直接写出答案即可；
根据规律，直接写出答案即可；
将代入方程，验证即可；
设，再根据规律计算即可．
【解答】
解：关于的方程
的解是
的解是
的解是
根据以上规律得：
关于的方程的解为，
故答案为；
根据以上规律得：
关于的方程的解是，
故答案为；
见答案；
见答案．
19.【答案】；
是“一中有理数对”，
解得；
不是，理由如下：
是“一中有理数对”，
，
不是“一中有理数对”．
【解析】根据：使等式成立的一对有理数，为“一中有理数对”，判断出数对，中是“一中有理数对”的是哪个即可；
根据是“一中有理数对”，得到，求解即可；
根据是“一中有理数对”，得到，进行判断即可；
，，，
不是“一中有理数对”
，
是“一中有理数对”，
故答案为：
见答案
不是，理由详见答案．
20.【答案】解：初步探究：
，，，两边都减去，得，
与是关于的平衡数．
，，，两边都加上，得，
与是关于的平衡数．
灵活运用：
．
与是关于的平衡数．
【解析】略
21.【答案】解：，
解得：，
则，
将代入方程得；
由意义可得，另一解为或，
则或，
或
，
解得：，
关于的一元一次方程和是“美好方程”，
的解为：，
关于的一元一次方程可化为：
．
【解析】本题考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是掌握“美好方程”的定义．
根据新定义运算法则解答
由题意可得另一个解为或，根据“美好方程”的定义和已知条件得到：或，解方程即可
求得方程的解，再根据新定义求出的解，把关于的方程整理，再解方程．
22.【答案】解：
，
答：的值为。
该运算具有交换律。
理由：分三种情况，
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；
所以该运算“”具有交换律。
当时，，
即，
解得，；
当时，，
即，
解得，舍去。
答：的值为。
【解析】根据新定义代入算式即可求解；
根据新定义，分情况讨论说明是否具有交换律即可；
根据新定义分情况求的值即可。
本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是分情况讨论解决问题。
23.【答案】解：根据题意得：，
解得：；
，
．
当时，
．
【解析】此题主要考查的是一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法，是解答此题的关键．
根据，，建立方程，并解此方程，即可；
根据中的值，将代入进行计算即可求得结论．
24.【答案】解：；
因为元元，
所以该用户月份用水超过，
设该用户月份用水，
由题意，得，
即，
解得：．
答：该用户月份用水；
设该用户月份实际用水
因为，所以该用户上交水费的单价为元．
由题意，得．
解得：．
因为，
所以该用户月份实际应该缴纳水费为：元．
答：该用户月份实际应该缴纳水费元．
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程的运用，解答时由单价数量总价的关系建立方程是关键．
该用户月份用水量没有超过，直接用单价用水量即可；
分析可知该用户月份用水超过，设该用户月份用水，由题意列出方程，求出的值即可；
首先设该用户月份实际用水，然后求出的值，根据表格水价求出该用户月份实际应该缴纳水费即可．
【解答】
解：根据表格数据可知：
该用户月份应该缴纳水费元；
故答案为；
因为元元，
所以该用户月份用水超过，
设该用户月份用水，
由题意，得，
即，
解得：．
答：该用户月份用水；
设该用户月份实际用水
因为，所以该用户上交水费的单价为元．
由题意，得．
解得：．
因为，
所以该用户月份实际应该缴纳水费为：元．
答：该用户月份实际应该缴纳水费元．
25.【答案】解：；
设秒时，在右边时，恰好满足，
，
，
，
，
解得：；
秒时恰好满足；
的值不发生变化．理由如下：
设经过的时间为，
则，，
于是点为，
一半则是，
所以点为：，
又，
所以为定值．
【解析】
【分析】
此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．
根据，，得出，利用点对应的数是，即可得出点对应的数；
假设秒在右边时，恰好满足，得出等式方程求出即可；
假设经过的时间为，得出，，进而得出，得出原题得证．
【解答】
解：，，
，点对应，
点对应的数为：；
见答案．
