初中数学华师大版九年级上册第21章 二次根式21.1 二次根式达标测试

第21章 二次根式单元测试 （B卷·提升能力）

（时间：120分钟，满分：120分）

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。）

1．（2021·安庆市石化第一中学八年级期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

2．（2021·湖北十堰市·八年级期末）如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则化简得（　　）

A．2 B．2 C．2＋ D．3

【答案】C

3．（2021·山东八年级期末）若y＝﹣3，则（x+y）2021等于（　　）

A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1

【答案】D

4．（2021·西安市铁一中学九年级其他模拟）秦九是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积，其中，，为三角形的三边长．若一个三角形的三边分别为，用公式计算出它的面积为（    ）

A． B． C． D．

解：一个三角形的三边分别为，

∴它的面积是：

，

∴，

∴，

∴；

故选：B．

5．（2021·河北八年级期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

6．（2021·河北八年级期中）我们可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故x＞0，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（    ）

A． B．﹣12 C． D．

解：设，且，

，

，

，

，

故选：A．

7．（2021·湖北八年级期中）观察下列各式规律：①；②；③；…；若， 则m＋n的值为（    ）

A．108 B．109 C．110 D．111

解：∵；；；

．

当时，，即．

∴，

故：

故选：B．

8．（2020·广东新安中学（集团）八年级期中）给出下列结论：①在3和4之间；②中的取值范围是；③的平方根是3；④；⑤．其中正确的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解：①，

，

故①错误；

②因为二次根式中的取值范围是，故②正确；

③，9的平方根是，故③错误；

④，故④错误；

⑤∵，，

∴，即，故⑤错误；

综上所述：正确的有②，共1个，

故选：．

9．（2018·全国八年级课时练习）已知，则的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解】∵，

，

∴.

故选C.

10．（2021·全国九年级专题练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）．

A． B． C． D．

【解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），

∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，

∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：

故选：C．

二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分。）

11．（2021·湖南长沙市·雨花新华都学校八年级月考）若，则_________．

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴

∴，

∴，

故答案为：2021.

12．（广西壮族自治区河池市南丹县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）计算：_______．

解：

故答案为：

13．（山东省济宁市邹城市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）观察下列运算：

由，得；

由，得；

由，得；

…

则_________．

解：

．

故答案为：．

14．（2021·上海市文来中学七年级期中）如果，那么________．

解：∵，

∴，

∴，，

，

=，

=，

=，

=，

=-1．

15．（2021·重庆八年级期中）观察下列各式：

①，

②，

③，…，

请利用你所发现的规律计算：

______．

解：

故答案为：．

16．（2020·湖北武汉·华师一附中初中部九年级期中）若7＋和5﹣的小数部分分别为m，n，则＝________ ．

解：∵，

∴，

∴ ， ，

∴7＋的整数部分为10， 5﹣的整数部分为1，

∴7＋的小数部分为 ， 5﹣的小数部分为 ，

即，，

∴．

故答案为：．

17．（2021·四川八年级期末）已知，则的值为________ ．

解：∵ 

∴，；

∴．

故答案为：-14

18．（2021·湖北咸宁·九年级其他模拟）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．

解：，

（为正整数），

，

，

，

，

则，

故答案为：10．

19．（2021·广西八年级期中）已知，，当分别取1，2，3，…，2021时，所对应的值的总和是______．

解：由二次函数的性质，则

，

当时，；

当时，；

∴对应的值的总和是：

=

=；

故答案为：2027．

20．（2021·北京九年级专题练习）已知，则的最小值为__．

解：，

，

可理解为在数轴上，数的对应的点到和1两点的距离之和；可理解为在数轴上，数的对应的点到和5两点的距离之和，

当，的最小值为3；

当时，的最小值为6，

的范围为，的范围为，

当，时，的值最小，最小值为．

故答案为：．

三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分。）

21．（2021·内蒙古八年级期末）计算：．

解：原式

.

22．（2021·湖南长沙市·雨花新华都学校八年级月考）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．

；（S1是△OA1A2的面积）

；（S2是△OA2A3的面积）

；（S3是△OA3A4的面积）……

（1）请用含有n（n为正整数）的等式         ；

（2）推算出         ；

（3）求出的值．

解：（1）；（S1是△OA1A2的面积）

；（S2是△OA2A3的面积）

；（S3是△OA3A4的面积）……

∴可得；（Sn是△OAnAn+1的面积）,

故答案为：；

（2）由（1）得，

∴，

∴；

（3）∵，

∴，，，，

∴

，

.

23．（2021·河北八年级期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：

（1）的有理化因式是______；

（2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果）

（3）______（填或）

（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：．

解：（1）的有理化因式是，

故答案为：；

（2）∵，

故答案为：；

（3）∵，，

而，

∴>，

∴<，

故答案为：<

（4）解：原式

24．（2021·上海市文来中学七年级期中）x，y，z适合关系式：，求m-4的平方根．

解：∵x+y-2004≥0，2004-x-y≥2004，

∴x+y=2004，

∴，

∴，

①-②，得

x+2y=3，

解，得，

把代入②，得

8010-6003-m=0，

∴m=2007，

∴m-4=2003，

∴m-4的平方根是．

25．（2021·湖北八年级期末）阅读材料：基本不等式当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，有最小值？最小值是多少？

解：∵x＞0，，∴ ≥2，∴，当且仅当时，即x=1时，有有最小值为2．

请根据阅读材料解答下列问题：

（1）填空：当>0时，设，则当且仅当=____时，y有最____值为_______；

（2）若＞0，函数，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值；

（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的面积等于8，求△ABC周长的最小值．

【解】

（1）∵x>0

∴

∴y=≥4

当且仅当即x=时，y有最小值4． 

故答案为：2，小，4 

（2）∵x＞0

∴

∴y=≥2

当且仅当即x=时，y有最小值2． 

（3）设两直角边分别为a，b，斜边为c

由题意得：，且由勾股定理得：

∴ab=16

∵a＞0，b＞0

∴=ab

∴，

∵

∴

∴≥8+4

当且仅当a=b时△ABC的周长最小为8+4．