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    浙江省宁波市咸祥中学2022-2023学年高二数学上学期期中检测试题(Word版附解析)

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    这是一份浙江省宁波市咸祥中学2022-2023学年高二数学上学期期中检测试题(Word版附解析),共18页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    宁波市咸祥中学2022学年第一学期高二数学学科期中考试姓名________  班级________  学号________一、单项选择题:本大题共8题,每题5分,共40.1. 已知直线的斜率为2,且过点,则直线的一般方程是(    A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线的点斜式方程,再化为一般方程可得答案.【详解】因为直线的斜率为2,且过点由直线的点斜式方程可得则直线的一般方程是.故选:A.2. 在空间直角坐标系中,,则三点所在平面的其中一个法向量的坐标是(    A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据法向量的求解方法求解即可.【详解】解:由题知设平面的一个法向量为所以,,即,令,则所以,.故选:B3. 直线轴,轴上的截距之和是(    A. 7 B.  C.  D. 1【答案】D【解析】【分析】把直线化为截距式,得到在两坐标轴的截距即可求解【详解】直线化为截距式得则直线轴,轴上的截距分别为:所以直线轴,轴上的截距之和是故选:D4. 若方程表示圆,则实数的取值范围是(    A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件,列出不等式,解之即可.【详解】因为方程表示圆,则有,解得:故选:B.5. 《九章算术》中的商功篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵中,分别是的中点,的中点,若,则    A. 1 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】连接,由,即可求出答案.【详解】连接如下图:由于的中点,.根据题意知..故选:C.6. 已知圆,则直线被圆截得的弦长为(    A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形计算可得答案.【详解】的圆心,半径为圆心到直线的距离为则直线被圆截得的弦长为.故选:A.7. 已知,若共面,则实数的值等于(    A.  B.  C.  D. 0【答案】D【解析】【分析】根据向量共面的性质,得到,列方程求解即可.【详解】共面,可得,则,解得故选:D8. 已知圆,则动直线所截得弦长的取值范围是(    A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求得动直线过定点,再根据时,弦长最短和动直线过圆心时,弦长最长求解.【详解】解:由,解得则动直线过定点时,弦长最短,此时所以最短弦长当动直线过圆心时,弦长最长,即为直径所以所截得弦长的取值范围是故选:D二、多项选择题:本大题共4题,每题5分,共20.9. 关于椭圆,下列叙述正确的是(    A. 焦点在轴上 B. 长轴长为4 C. 离心率为 D. 过点【答案】BC【解析】【分析】根据椭圆的标准方程,可判断A项;求出abc的值,可判断BC项;代入判断D.【详解】由已知,椭圆的焦点在轴上,a=2c=1,则长轴长为2a=4,离心率为.将点代入椭圆方程左边得,不满足,即点不在椭圆上.故选:BC.10. 已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,则下列命题正确的是(    A. ,则 B. ,则C ,则 D. ,则【答案】BD【解析】【分析】根据直线与直线、直线与平面,平面与平面位置关系,逐项进行检验即可求解.【详解】对于选项A,因为,所以直线可以相交或异面,故选项A错误;对于选项B,因为,所以,故选项B正确;对于选项C,因为,所以相交,故选项C错误;对于选项D,因为,所以,故选项D正确,故选:BD.11. 已知圆,圆,下列描述正确的是(    A. ,两圆内含 B. 两圆相切C. 两圆相交 D. 两圆公共弦所在的直线过原点【答案】ABCD【解析】【分析】利用两圆的位置关系求解判断.【详解】解:已知圆,圆若两圆内含,则,即(舍去),解得,故A正确;若两圆相切,则,解得,故B正确;若两圆相交,则,解得,故C正确;时,,两圆方程相减得,所以两圆公共弦所在的直线过原点,故D正确;故选:ABCD12. 如图,已知正方体的棱长为2,点在平面内,若,则下述结论正确的是(    A. 到直线的最大距离为 B. 的轨迹是一个圆C. 的最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】CD【解析】【分析】选项A:由,得,分析得的轨迹为圆,再求最值即可;选项B平面,而点上,即的轨迹为线段选项C:由E的轨迹为圆,的轨迹为线段,可分析得选项D:建立空间直角坐标系,用向量法求最值.【详解】对于A:,即,所以,即点E在面内,以为圆心、半径为1 的圆上,所以,当位于中点时,到直线的距离最大,为,故A错误;对于B: 正方体中,,又,且,所以平面,所以点F上,即的轨迹为线段,故B错误;对于C:在平面内,到直线的距离为当点落在上时,;故C正确;对于D: 建立如图示的坐标系,则,B选项的证明过程可知:的轨迹为线段所以设,则,则设平面的法向量,则有不妨令,则与平面所成角为则:时,有最大值,故D正确;故选:CD三、填空题:本大题共4题,每题5分,共20.13. 已知直线,则两直线的距离是______.【答案】【解析】【分析】由平行线间距离公式进行计算.【详解】由平行线间距离公式得:.故答案为:.14. 已知,且,则等于______.【答案】####4.5【解析】【分析】先利用空间向量线性运算法则计算出,再由向量平行得到方程组,求出的值,求出.【详解】因为所以存在非零实数,使得,解得:.故答案为:.15. 到两定点的距离之和为6,则点的轨迹方程是______.【答案】【解析】【分析】由椭圆的定义求解即可【详解】因为由椭圆的定义可知,动点点的轨迹是以为焦点,长轴长为6的椭圆,所以所以点的轨迹方程是故答案为:16. 若直线始终平分圆的周长,则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知条件,直线过圆心,得到ab的关系式,代入式子可得到二次式,求二次函数的最小值即可.【详解】,圆心为(-2-1),半径为2由已知可得,直线过圆心,即有,则代入故答案为:20.四、解答题:本大题共6题,第1710分,1822题每题12分,共70.17. 已知点,直线.1直线过点,求直线的一般方式;2求过中点且与直线垂直的直线方程.【答案】1    2【解析】【分析】1)先求得斜率,再利用点斜式求解;2)先求得AB的中点坐标,再根据垂直得到斜率求解.【小问1详解】解:因为点所以所以直线方程为:化为一般式方程为:【小问2详解】因为点由中点公式得AB的中点坐标为又所求直线斜率为所以直线方程为:.18. 在正方体中,的中点.1求证:平面2求点到平面的距离.【答案】1证明见解析    2【解析】【分析】1)根据已知条件及三角形的中位线定理,结合线面平行的判定定理即可求解;2)建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出平面法向量,结合点到面的距离公式即可求解.【小问1详解】连接,交,连接在正方体中,平面为正方形,所以的中点,又因为的中点,所以的中位线,所以平面平面所以平面【小问2详解】坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示设不妨设正方体棱长为2,则,所以,设平面的法向量为,则,,令,则所以平面的法向量所以点到平面的距离为.19. 已知椭圆的焦点在轴上,长轴长为4,离心率.1求椭圆的标准方程;2直线与椭圆有两个交点,求实数的取值范围.【答案】1    2.【解析】【分析】1)利用椭圆的离心率公式及短轴长,结合椭圆中的关系即可求解;2)利用直线与椭圆的位置关系及一元二次不等式的解法即可求解.【小问1详解】由题意可知,,解得故椭圆标准方程为.【小问2详解】,消去,得因为直线与椭圆有两个交点,所以,即,解得所以实数的取值范围为.20. 如图:在多面体中,四边形是正方形,平面,点为棱的中点.1求证:平面平面2,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】1证明见解析    2【解析】【分析】1)由三角形中位线的平行性证得MN平面EFC,由平行四边形的平行性证得BD平面EFC,从而证出平面BMD 平面EFC.2)以D为原点建系后,利用线面角公式计算即可.【小问1详解】连接,交N,则N的中点.MAE的中点, MN平面EFCEC平面EFCMN平面EFC四边形BDEF为平行四边形,BD平面EFCEF平面EFCBD平面EFC MNBD平面BDM平面BMD 平面EFC【小问2详解】BF平面ABCDDE平面ABCD四边形ABCD是正方形DADCDE两两垂直D为原点,分别以DADCDEx轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,AB=2,则DE=4设平面BDM的一个法向量 x=2,得y=2z=1AE与平面BDM所成的角为 直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.21. 已知平面是正三角形,.1求证:平面平面2求二面角的余弦值.【答案】1证明见解析;    2.【解析】【分析】1)取中点为,通过证明,即可由线面垂直证明面面垂直;2)根据(1)中所证,先找到二面角的平面角,再解三角形即可.【小问1详解】中点分别为,连接,如下所示:因为,故;又为等边三角形,故,故又在中,分别为的中点,故//因为,故//,又//,则四边形为平行四边形,则//,又,故面.【小问2详解】连接,过,连接,如下所示:中,因为中点,故又由(1)可得:平面,又面,故即为所求二面角的平面角;,易知故在中,由余弦定理可得,则则在中,,解得又在中,,故二面角的余弦值为.22. 平面直角坐标系中,圆M经过点1求圆M的方程;2,过点D作直线,交圆MPQ两点,PQ不在y轴上,过点D作与直线垂直的直线,交圆MEF两点,记四边形EPFQ的面积为S,求S的最大值.【答案】1    27【解析】【分析】1)设圆M的方程为,利用待定系数法求解;2)设直线的方程为,分k0k0两种情况讨论,利用圆的弦长公式分别求出,再根据,结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】设圆M的方程为,解得所以圆M的标准方程为【小问2详解】设直线的方程为,即则圆心到直线的距离所以i)若,则直线斜率不存在,则,则ii)若,则直线得方程为,即则圆心到直线的距离所以当且仅当,即时,等号成立,综上所述,因为,所以S的最大值为7

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