2022-2023学年北京工业大学附中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京工业大学附中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京工业大学附中九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本题共8小题，共16分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 二次函数的图象的顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D. 用配方法解方程，下列变形正确的是(    )A.  B.
C.  D. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的解析式是(    )A.  B.
C.  D. 在平面直角坐标系中，抛物线的示意图如图所示，下列说法中正确的是(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则下列结论不一定成立的是(    )A.
B.
C. 平分
D. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为(    )A.
B.
C.
D. 或如图，线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点以点为圆心，线段的长为半径作圆．设点的运动时间为，点，之间的距离为，的面积为则与，与满足的函数关系分别是(    )A. 正比例函数关系、一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系
C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系二、填空题（本题共8小题，共16分）写出一个二次函数，使其满足：图象开口向下；当时，随着的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是          ．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为          ．已知菱形的两条对角线的长分别是的两个根，则菱形的面积是______．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的两根为          ．
 若关于的一元二次方程有一个根是，则实数______．点，是二次函数图象上的两个点，则______填“”，“”或“”．某服装店销售一批服装，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果一件衣服每降价元，商店平均每天可多售出件，则每件衣服降价______元时，服装店每天盈利最多．某工厂有甲、乙、丙、丁、戊五台车床．若同时启动其中两台车床，加工个型零件所需时间如表：车床编号甲、乙乙、丙丙、丁丁、戊甲、戊所需时间则加工型零件最快的一台车床的编号是          ．三、解答题（本题共11小题，共81分）解方程：．已知是方程的一个根，求代数式的值．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若为正整数，求方程的根．可以用如下方法估计方程的解：
当时，，
当时，，
所以方程有一个根在和之间．
仿照上面的方法，找到方程的另一个根在哪两个连续整数之间；
若方程有一个根在和之间，求的取值范围．小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组与的对应值．求该二次函数的表达式；
当时，的取值范围是______．如图，正方形的边长是，是边上的一点，，以为旋转中心，把逆时针旋转，的对应点为，连接．
根据题意，画出旋转后的图形；
四边形的面积是______；
线段的长是______．
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为．
画出旋转后的图形；
点的坐标是______；点的坐标是______；
的形状是______．
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据：米米根据上述信息，解决以下问题：
在下面网格图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______；
现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由结果保留一位小数．
 在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．
若，，求该抛物线的对称轴并比较，，的大小；
已知抛物线的对称轴为，若，求的取值范围．
 如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．
用等式表示与的数量关系，并证明；
当时，
直接写出的度数为______；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
定义：对于平面直角坐标系中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于，称这两个图形互为“近邻图形”．
已知点，点．
如图，在点，，中，与线段互为“近邻图形”的是______．
如图，将线段向下平移个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围；
如图，在正方形中，已知点，点，若点与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分可以完全重合，以及中心对称图形的定义：一个图形，绕一点，旋转，与自身完全重合；逐一进行判断即可．
本题考查识别轴对称和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定会是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：．
故选：．
根据二次函数的顶点坐标是，即可得解．
本题考查了二次函数的性质解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的、所表示的意义．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半的平方可得．
【解答】
解：，
，即，
故选：．  4.【答案】 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
平移后抛物线的解析式为．
故选：．
先根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，则抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式，其中对称轴为直线，顶点坐标为，若把抛物线先右平移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线的解析式为；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．
 5.【答案】 【解析】解：、抛物线开口向下，
，
选项A正确；
B、抛物线对称轴在轴右侧，
，即，
选项B错误；
C、抛物线与轴交点在轴下方，
，
选项C错误；
D、抛物线与轴无交点，
，
选项D错误．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置可确定，，的符号，根据抛物线与轴交点个数可得的符号．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
 6.【答案】 【解析】解：、将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，
由旋转的性质可知，，
故选项结论正确，不符合题意；
B、，
，
 故本选项结论错正确，不符合题意；
C、由旋转的性质可知，，
，
，
，本选项结论正确，符合题意；
D、只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，符合题意；
故选：．
根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．
本题主要考查的是旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：一次函数与二次函数的图象相交于，两点，
根据图象可得关于的不等式的解集是：．
故选：．
根据图象关于的不等式的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围．
本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是关键．
 8.【答案】 【解析】解：由题意得：，属于一次函数关系，
，属于二次函数关系，
故选：．
根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
 9.【答案】答案不唯一 【解析】解：设二次函数解析式为，
图象开口向下，
；
当时，随着的增大而减小，
结合函数图象开口方向，可知其对称轴在轴左侧或与轴重合，
，得；
只要满足以上两个条件即可，
如，，时，二次函数的解析式是．
故答案为：答案不唯一．
首先由得到；由得到；只要举出满足以上两个条件的、、的值即可得出所填答案．
本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．
 10.【答案】 【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为，
故答案为：．
利用关于原点对称的点的坐标特点可得答案．
此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标、纵坐标都互为相反数．
 11.【答案】 【解析】解：设菱形的两条对角线长度为、，
，
由根与系数的关系可知：，
，
故答案为：．
根据菱形的面积公式以及跟与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用菱形的性质以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
 12.【答案】， 【解析】解：根据图象可得：抛物线的图象与轴的一个交点是，抛物线的对称轴是直线，
设抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，
，
解得：，
则抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，
关于的一元二次方程的两根为：，．
故答案为：，．
根据抛物线的对称性即可求解．
本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：把代入方程，得，
解得，，
根据一元二次方程的定义得：即，
所以．
故答案为：．
先把代入方程得到，然后解关于的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 14.【答案】 【解析】解：把、代入二次函数得，
；，
所以．
故答案为．
由于知道二次函数的解析式，且知道、两点的横坐标，故可将两点横坐标分别代入二次函数解析式求出、的值，再比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要明确：二次函数图象上点的坐标符合函数解析式．
 15.【答案】 【解析】解：设每件衬衫应降价元，设商场获得的总利润为元，由题意得：


，
，
当时，有最大值，最大值为，
每件衬衫应降价元，服装店每天盈利最多，
故答案为：．
设每件衬衫应降价元，设商场获得的总利润为元，由题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
此题是二次函数的应用，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出函数解析式是解决问题的关键．
 16.【答案】丙 【解析】【解答】
解：设甲台车床每小时加工零件个，乙台车床每小时加工零件个，丙台车床每小时加工零件个，丁台车床每小时加工零件个，戊台车床每小时加工零件个，依题意有：
，
，
，
，
，
则，
由，得，
由，得，
由，得，
由，得，
由，得，
，，
丙台车床每小时加工零件的个数最多，
加工型零件最快的一台车床的编号是丙．
故答案为：丙．
【分析】
可设甲台车床每小时加工零件个，乙台车床每小时加工零件个，丙台车床每小时加工零件个，丁台车床每小时加工零件个，戊台车床每小时加工零件个，依此可得，，，，，进一步得到，可得，，依此即可求解．
本题考查了逻辑推理问题，关键是设出未知数，根据题意得到关系式是解题关键．  17.【答案】解：，
或，
所以，． 【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 18.【答案】解：

，
是方程的一个根，
，
，
当时，原式． 【解析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 19.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
 ，
解得：，
的取值范围为；
，且为正整数，
．
此时，方程为，
解得：，，
方程的根为，． 【解析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：熟记“当时，方程有两个不相等的实数根”；熟练掌握一元二次的解法公式法．
根据方程根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
由可求得的正整数值，代入原方程，解之即可求出方程的根．
 20.【答案】解：当时，，
当时，，
方程的另一个根在和之间；

方程有一个根在和之间，
或，
解得：． 【解析】分别计算出和时的值即可得出答案；
根据方程有一个根在和之间知或，解之可得．
本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法．
 21.【答案】或 【解析】解：设该二次函数的表达式为，
把点，，代入，得：，
解得：，
所以该二次函数的表达式为；
令，则，
解得：，，
所以该函数图象与轴交于点，，
该函数图象开口向上，
所以当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
利用待定系数法解答，即可求解；
求出该函数图象与轴的交点坐标，即可求解．
本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
 22.【答案】  【解析】解：根据题意，补全图形如下图：

四边形是正方形，
，，
把逆时针旋转，的对应点为，
≌，
，，
，
点，，三点共线，
四边形的面积等于，
正方形的边长是，
四边形的面积等于；
故答案为：
把逆时针旋转，的对应点为，
，，
，，，
，
．
故答案为：．
根据题意，补全图形即可；
根据旋转的性质可得≌，从而得到≌，进而得到四边形的面积等于，即可求解；
根据旋转的性质可得，，再由勾股定理，即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，图形的旋转，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，图形的旋转的性质是解题的关键．
 23.【答案】    等腰直角三角形 【解析】解：作出点、旋转后的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：

根据图可知，点的坐标是；点的坐标是．
故答案为：；．
连接，根据旋转可知，，，
为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
先作出点、旋转后的对应点，，顺次连接即可；
根据旋转后的图形得出点和点的坐标即可；
连接，根据旋转性质即可得出的形状即可．
本题主要考查了旋转作图，三角形形状的判定，解题的关键是作出旋转后对应点的坐标．
 24.【答案】解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：

根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高，
即，
故答案为：．
根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，得，
抛物线的解析式为：，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上调节米，
米，
公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到米才能符合要求． 【解析】建立坐标系，描点，用平滑的曲线连接即可；
观察图象即可得出结论；
根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
本题属于二次函数的应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
 25.【答案】解：，，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
；
把代入得，
抛物线经过原点，
时，抛物线开口向上，

，
，
当时，，
，
，
当时，，
满足题意．
时，抛物线开口向下，
，
，
时，随增大而减小，
，不符合题意．
综上所述，． 【解析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
将，代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论与两种情况．
 26.【答案】解：，
证明：如图，是等边三角形，
，，

将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
；

；
，理由如下：
延长到，使，连接，，如上图：
为的中点，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
又，
，即，
，
又，，
，
，
，，
为正三角形，
，
． 【解析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．
利用证明，即可得出答案；
由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题；
解：当时，
则，
，
，

，
故答案为：；
延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得，再证明为正三角形即可得到答案．
 27.【答案】， 【解析】解：如图中，

观察图形可知，与线段互为“近邻图形”的是，．
故答案为：，；

如图中，

当直线在点的上方时，过点作直线，
过点作，交的延长线于点．
不妨假设，则，
，
，
，
当直线在点的下方时，过点作直线，
不妨假设，同法可得，
，
，
观察图象可知，满足条件的的取值范围为；

如图中，

，
点在直线上运动，
当正方形在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为时，
设直线交直线于点，
，
，
，
，
，
当正方形在直线的右侧时，且正方形与直线的距离为时，
同法可得，
，
观察图象可知，满足条件的的值为．
根据两个图形之间的距离的定义，画出图形即可判断；
当直线在点的上方时，过点作直线，过点作，交的延长线于点不妨假设，则，推出，可得，解得，当直线在点的下方时，过点作直线，不妨假设，同法可得，求出的值，可得结论；
由，推出点在直线上运动，当正方形在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为时，设直线交直线于点，推出，推出，推出，可得，推出，当正方形在直线的右侧时，且正方形与直线的距离为时，求出点的坐标，可得的值，即可判断．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的性质，两个图形之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．