2023届高三数学一轮复习大题专练05导数零点个数问题1

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一轮大题专练5—导数（零点个数问题1）1．设函数，．（1）证明：当，时，；（2）判断函数在上的零点个数．解：（1）证明：令，，在，上单调递增注意到，存在唯一的使且当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；注意到，，，．（2），，当时，，单调递减．，在上有一个零点当时，由（1）知，，无零点当时，令，且当时，，单调递增；当时，，单调递减．，当时，也无零点综上：在上有唯一的零点．2．已知函数在区间，上的最小值为，最大值为1．（1）求实数，的值；（2）若函数有且仅有三个零点，求实数的取值范围．解：（1）函数，则，①当时，令，可得或，此时函数的增区间为，，的减区间为，由，，，（2），因为函数在区间，上的最小值为，最大值为1，则有，解得，；②当时，令，可得，此时函数的减区间为，，的增区间为，由，，，（2），因为函数在区间，上的最小值为，最大值为1，则有，解得，．综上所述，，或，；（2）①当时，，，若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为；当，时，，，若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为．3．已知函数．（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；（2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围．解：（1）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，由，，可得，由于，则在上恒成立，令，，故在上单调递增，所以只需即可，，所以，所以的取值范围是，．（2）的定义域为，，令，，当时，单调递增，，，，，故存在，使得，即，即①，两边取对数得②，而在上单调递减，在，上单调递增，故，故，将①②代入上式得，化简得，因为，当且仅当，即时取等号，所以，故，即的取值范围是．  4．设，为实数，且，函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．（注是自然对数的底数）解：（Ⅰ），①当时，由于，则，故，此时在上单调递增；②当时，令，解得，令，解得，此时在单调递减，在单调递增；综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，对任意均成立，令，则，即，即，即，对任意均成立，记，则，令（b），得，①当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，此时（b），不合题意；②当，即时，易知（b）在，单调递减，此时，故只需，即，则，即；综上，实数的取值范围为，；（Ⅲ）证明：当时，，，令，解得，易知，有两个零点，不妨设为，，且，由，可得，要证，即证，即证，而，则，要证，即证，即证，而，，即得证．5．已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的零点个数，并说明理由．解：（Ⅰ）当时，，，则切线的斜率（1），所以切线方程为，即，所以曲线在点，（1）处的切线方程为．（Ⅱ）的定义域为，，令，解得，，①当时，与在区间上的情况如下：100极大值极小值在上递增，在上递减，在上递增．此时，，所以在上只有一个零点，②当时，，由，得，（舍，所以在上有一个零点；③当时，与在区间上的情况如下：10极小值此时，若时，，所以在上无零点，若时，，所以在上有一个零点，若时，，，，所以有两个零点．综上所述，当或时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点；，当时，在上无零点．6．已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）若函数无零点，求实数的取值范围．解：（1）当时，，所以，令，得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以为函数的极小值点，极小值为；无极大值．（2）由，得．①当时，，此时函数没有零点，符合题意；②当时，，所以函数单调递减．又，且，所以函数有零点，不符合题意；③当时，令，则．当，时，，所以函数单调递减；当，时，，所以函数单调递增．所以，若函数没有零点，则需，即，得．综上所述，若函数无零点，则实数的取值范围为，．