2023届高三数学一轮复习大题专练14导数任意存在性问题2

一轮大题专练14—导数（任意、存在性问题2）

1．已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）当，时，求证：．

解：（1）的定义域为，，

①当时，，即在上单调递减；

②当时，，

由，解得，由，解得，

即在上单调递减，在，上单调递增．

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在，上单调递增．

（2）证明：，即，

令，，则，

令，则，

令，则，

所以即在上单调递增，

又，

①当时，，则恒成立，即在上单调递增，

则有；

②当时，，

，则，

即存在使得，即，

且，

即，

综上所述，恒成立，即在上单调递增，

所以，即．

2．设，已知函数，函数．

（Ⅰ）若，求函数的最小值；

（Ⅱ）若对任意实数和正数，均有，求的取值范围．

（注为自然对数的底数）

解：（Ⅰ）当时，为增函数，且，

所以在递减，在递增，

所以．

（Ⅱ）因为，

由于函数在上单增，且，（1），

所以存在唯一的使得．且．

再令，，可知在单增，

而由可知，，，所以．

于是，所以．

又为增函数，

当时，，当时，；

又当时，，当时，（3），

所以对任意，存在唯一实数，使得，即，且．

由题意，即使得，

也即，即，

又由于单增且，

所以的值范围为，，代入，求得的取值范围为，．

3．已知函数在处取得极值，．

（1）求的值与的单调区间；

（2）设，已知函数，若对于任意、，，都有，求实数的取值范围．

解：（1）由题意得的定义域为，，

函数在处取得极值，

（2），解得，

则由得或，

、、的关系如下表：

函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；

（2）由（1）得函数，

当时，对任意、，，都有，

即当，，时，，

在，上单调递减，，，，

在，上单调递减，

则，，

则，

即，解得或，结合，得，

故实数的取值范围为．

4．已知函数，，

（1）设函数，求的单调区间和极值；

（2）对任意的，存在，使得，求的最小值

解：（1）由已知

所以（1分）

当时，恒成立，所以在定义域单调递增，没有极值．（2分）

当时，令，得，列表得

所以，在区间单调递减，在单调递增，时取到极小值（a），没有极大值（5分）

综上，当时，在定义域单调递增，没有极值．

当时，在区间单调递减，在单调递增，（a），没有极大值（6分）

（2）由已知，设

即，

解得，，所以，

令，（8分）

则

令，则恒成立，

所以在单调递增，且（1）

当时，，，所以单调递减

当时，，，所以单调递增，

即时取到极小值，也是最小值，所以（1）

所以的最小值为（12分）

5．已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的，，．不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（1），定义域是，

，

令，△，

①即时，恒成立，

即恒成立，在单调递增，

②即或时，有2个不相等的实数根，

此时，，

时，，，

故时，，即，

，时，，即，

，时，，即，

故在递增，在，递减，在，递增；

时，，，时，递增，

综上：时，在单调递增，

时，在递增，在，递减，在，递增．

（2），，当时，在，上恒成立，

在，上单调递增，（1），

故问题等价于：对于任意的，不等式恒成立，

即恒成立，记（a），，则（a），

令（a），则（a），

所以（a）在上递减，所以（a）（1），

故（a），所以（a）在上单调递减，

所以（2），

即实数的取值范围为，．