天津市八校联考2022-2023学年高三上学期期中数学试题（解析版）

2022—2023学年度第一学期期中八校联考试卷

高三数学

一．选择题（每题5分，共45分）

1. 已知全集，集合，，则

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】，则
故选：A

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2. 设，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间关系.

详解：绝对值不等式，

由.

据此可知是的充分而不必要条件.

本题选择A选项.

点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3. 命题“”的否定是 

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.

考点：全称命题与存在性命题.

4. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】判断函数为奇函数，由图像可排除C，D；然后利用特殊值，取，可排除B.

【详解】定义域为，定义域关于原点对称，

，

是奇函数，排除C，D；

当时，，排除B；

故选：A.

【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.

5. 已知等比数列满足，，则的值为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据，利用等比数列的性质求得，再利用通项公式求解.

【详解】在等比数列中，，，

所以，

所以，

所以，

故选：C

6. 设，则大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数单调性及中间值比大小.

【详解】因为，，在定义域上单调递减，

故，，，

所以.

故选：A

7 己知函数，则（    ）

A. 在上单调递增 B. 在上单调递减

C. 在上单调递增 D. 在上单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】由二倍角公式化简函数一个角的一个三角函数形式，然后由余弦定理的单调性判断各选项．

【详解】，

时，，时函数取得最大值，A错；

时，，时函数取得最大值，B错；

时，，在此区间上递减，C错；

时，，在此区间上递减，D正确．

故选：D．

8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（        ）

A. 直线是图象的一条对称轴

B. 图象的对称中心为，

C. 在区间上单调递增

D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

【答案】C

【解析】

【分析】由已知图象求得函数解析式，将代入解析式，由其结果判断A;求出函数的对称中心可判断B; 当时，，结合正弦函数的单调性判断C;根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式，判断D.

【详解】由函数图象可知，,最小正周期为 ，

所以 ，

将点代入函数解析式中，得：，结合，

所以，故，

对于A，当时，，故直线不是图象的一条对称轴，A错误;

对于B，令，则，

即图象的对称中心为，，故B错误；

对于C，当时，，由于正弦函数在上递增，

故在区间上单调递增，故C正确；

对于D，将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是奇函数，故D错误；

故选：C

9. 已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数，得到函数的单调性，根据单调性解不等式即可.

【详解】令，则，所以在单调递减，

不等式可以转化为，即，所以.

故选：D.

二、填空题（每题5分，共30分）

10. _______

【答案】

【解析】

【分析】根据对数的运算性质即可求得答案.

【详解】,

故答案为：.

11. 已知函数，则的单调递增区间为______．

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．

【详解】解：的定义域是，

，

令，解得：，

故在递增，

故答案为．

【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．

12. 若 ， 则 的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件两次运用基本不等式即可求解.

详解】，

，

当且仅当时，等号成立，

所以当时，的最小值为.

故答案为：.

13. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为________．

【答案】4

【解析】

【分析】

函数的图象恒过定点，而定点在直线上，代入可得，利用乘“1”法即可得到最值．

【详解】函数的图象恒过定点

因为点在直线上，所以

则

当且仅当时取等号．

故答案为：4．

【点睛】本题关键点在于找到“1”，隐藏的“1”在定点当中，提醒我们在备考中，要灵活的使用.
 

14. 已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.

【答案】.

【解析】

【分析】求导后得到在上恒成立，参变分离后得到在上恒成立，利用导函数求出，从而求出实数的取值范围.

【详解】，，

故只需在上恒成立，

则在上恒成立，

其中在上恒成立，

故，所以，

故答案为：.

15. 已知函数若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】画出 的图像,再分析与的交点个数即可.

【详解】画出函数的图像,如图所示：

先求与相切时的情况,由图可得此时,

设切点为,则,解得, .

此时.斜率.又当时与平行也为临界条件.

故.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出图像,再分析临界条件分析.属于中档题.

三解答题（共75分）

16. 已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且．

（1）求；

（2）若，，求；

（3）若，求的值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理可求解答案；

（2）由余弦定理可求解答案；

（3）由正弦的两角差公式再结合二倍角公式可求得答案.

【小问1详解】

由于，所以，

由得，

所以，且三角形锐角三角形，

所以.

【小问2详解】

在中，由余弦定理有，

解得或（舍），

故.

【小问3详解】

由，可得，，

.

所以

.

17. 已知数列的前项和为, ，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）由条件得到，结合已知两式相减得到，再验证，得到数列是等比数列，从而得到数列的通项公式；

（2）由（1）可知，利用分组转化为等差数列和等比数列求和.

【详解】（1）……………. ①

………………..      ②    

①- ②得 ，即

又, 

是以2为首项，2为公比的等比数列

（2）由（Ⅰ）得

【点睛】本题考查已知求，以及分组转化法求和，重点考查基本方法，计算能力，属于基础题型，本题容易忽略验证，一般求和的方法包含1.公式法求和；2.裂项相消法求和；3.分组转化法求和；4.错位相减法求和，这些常用方法需熟练掌握.

18. 已知函数

（1）求的值；

（2）求的最小正周期和单调递增区间；

（3）求在上的最值．

【答案】（1）   

（2）最小正周期为，单调递增区间为；   

（3）．

【解析】

【分析】（1）直接计算即可；

（2）根据三角恒等变换得，再根据三角函数的性质求解即可；

（3）结合（2）知的单调递减区间为，进而得在上的单调区间，再根据单调性求解即可.

【小问1详解】

解：因为，

所以

【小问2详解】

解：

，

所以的最小正周期为，

令，

解得，.即，

所以，的单调递增区间为；

【小问3详解】

解：由（2）知，的单调递增区间为，最小正周期为，

所以的单调递减区间为，

又，

所以，在上单调递增，在上单调递减，

因为，

所以，．

19. 已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，设数列的前项和为，求.

【答案】（1），，   

（2）

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，然后由已知条件列方程组可求出和，从而可求出数列和的通项公式；

（2）由（1）可知当为奇数时，，当为偶数时，，然后分奇偶项求解即可.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

因为，，，，

所以，解得，

所以，

【小问2详解】

由（1）得，

当为奇数时，，

当偶数时，，

所以

令，

则

，

，

所以，

所以

，

所以，

所以.

20. 已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）当时，求函数在区间的最小值.

【答案】（1）   

（2）答案见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.

（2）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（3）结合（2）中的单调区间，对进行分类讨论，从而求得函数在区间的最小值.

【小问1详解】

当时，，∴，

，∴，

故切线方程为：.

【小问2详解】

，

∴，，

∴①当时，，∴仅有单调递增区间，其为：，

②当时，，∴当时，；当时，，

∴的单调递增区间为： ，单调递减区间为：.

③当时，，∴当时；当时.

∴的单调递增区间为：，单调递减区间为：.

综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：.

当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：.

当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：.

【小问3详解】

当时，由（2）中③知在上单调单调递减，在上单调递增，

∴①当，即时，在上单调递增，，

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

∴，

③当，即时，在上单调递减，∴.

∴.

【点睛】利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.