湖北省武汉市东湖高新区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

九年级数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（    ）

A．     B．     C．     D．

2．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（    ）

A．3，4     B．3，0     C．3，     D．3，

3．如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（    ）

A．     B．     C．     D．

4．用配方法解方程时，配方后得到的方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

5．将抛物线向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是（    ）

A．     B．     C．     D．

6．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（    ）

A．5     B．3     C．     D．

7．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（    ）

A．     B．     C．     D．

8．己知点都在抛物线上，点A在点B左侧，，则下列选项正确的是（    ）

A．     B．     C．     D．

9．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（    ）

A．8     B．10     C．7     D．9

10．如图，在中，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，当点D，E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（    ）

A．     B．     C．     D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________．

12．如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，交于点F，则___________．

13．若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为___________．

14．如图，是的直径，，则的半径为___________．

15．己知m为方程的根，那么的值为___________．

16．抛物线（a，b，c为常数）开口向上，且过点，下列结论：①；②；③若点都在抛物线上，当时；④若方程没有实数根，则其中正确结论的是___________．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（本小题满分8分）解方程：．

18．（本小题满分8分）如图，在中，，若点E是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点E的对应点为点D，连接，求证：．

19．（本小题满分8分）如图，在长为，宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽应为多少？

20．（本小题满分8分）如图，内接于是的直径，与交于点E，

（1）如图①，若与互余，求证：；

（2）如图②，若，试求直径的长．

21．（本小题满分8分）已知正方形，点F是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹），

（1）在图①中，画出正方形的中心O；将线段绕正方形中心旋转；

（2）在图②中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转；

（3）在图③中，点F为正方形边上任意一点，作F关于的对称点H．

22．（本小题满分10分）

武汉市东湖高新区某企业投入50万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量），经测算，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式，第一年除50万元外其他成本为9元/件．

（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；

（2）企业为实现该产品第一年利润为10万元的目标，且让更多消费者获得实惠，那么该产品第一年的售价定为多少元件？

（3）第二年该企业为扩大生产，将第一年利润全部作为技改资金再次投入（只计入第一年成本）后，其他成本下降了3元/件，若第二年售价不高于第一年，销售量不超过15万件，则第二年利润最少是多少万元？

23．（本小题满分10分）

在中，，将绕点A旋转，得到．

（1）如图①，当时，四边形是什么四边形？并说明理由；

（2）将绕点A由图①的位置开始顺时针旋转，的延长线交直线于点F．

①旋转至如图②，用等式表示与的数量关系，并证明你的结论；

②旋转至如图③，在①的结论下，的延长线交于点H，E为的中点，且，直接写出的长___________．

24．（本小题满分12分）

如图①，抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为，对称轴为．

（1）求此抛物线解析式；

（2）在第四象限的抛物线上找一点F，使，求点F的坐标；

（3）如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标．

2022-2023学年度武汉市东湖高新区九年级上学期期中考试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．  12．  13．  14．  15．  16．①③④

设置0、1、2、3

三、解答题（共8小题，共72分）

17．解：∵

∴

∴

∴

18．证明：∵是由旋转得到

∴

又∵

∴

∴

19．解：设道路的宽为，列出方程得：

整理得：

解方程得：（舍）

答：道路的宽应为．

20．（1）证明：∵是的直径

∴

又∵与互余

∴

∴

∴

∴

（2）解：过点O作于点F，连接

∵，

∴

又∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

综上所述，直径的长为

21．第一个图画对O得2分，画出得2分，第二图2分，第三图2分

22．解：（1）根据题意得：；

（2）∵该产品第一年利润为10万元，

∴，

解得：

∵让更多消费者获得实惠，从而达到推广产品的目的

∴不合题意舍去

答：该产品第一年的售价是14元．

（3）∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过15万件，

∴

解得

设第二年利润是万元，

，

∵抛物线开口向下，对称轴为直线，又，

∴时，有最小值，最小值为（万元），

答：第二年的利润至少为65万元．

23．解：（1）四边形是菱形

理由是：∵是由绕点A旋转所得

∴

在和中

∴

∴

又∵

∴

∴四边形是菱形

（2）①

理由是：∵是由绕点A旋转所得

∴

又∵

∴

∴

∵在中，

∴

又∵

∴

②

提示：过A作

由E为中点，且，证明为直角三角形，

设

由

求出

由，所以

由，∴，

∴

24．解：（1）抛物线经过点，对称轴

∴

∴，

∴此抛物线的解析式为

（2）过A点作，交抛物线于点F，连接

∵

∴

∵抛物线解析式为

∴

∴设直线解析式为

解之得，

又∵，设直线解析式为

∴

解之得，

∴直线解析式为

联立与，得

，点F在第四象限，

∴，

把代入到，得

即：F坐标为

（3）设点P坐标为

∵抛物线解析式为

∴顶点E坐标为

∵点E与点H关于点P对称，点B与点Q关于点P对称

∴

∴

①当时，则，得

解方程得

∴P坐标为

②当时，则，得

解方程得

∴P坐标为

③当时，则，得不存在，舍去

综上所述：点P坐标为或．