专题02 勾股定理 重难点题型-【高频考点】最新八年级数学下册高频考点专题突破（人教版）

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专题02 勾股定理 重难点题型
题型1.勾股定理中的面积问题再探究
解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题.
1．（2021·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：

经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．
【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，
图（3）比图（2）多出8个正方形， ；
图（4）比图（3）多出16个正方形， ；
图（5）比图（4）多出32个正方形， ；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．（2021.都江堰起航教育专题）如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，分别用含b和含a的式子表示出最大正方形的边长、正方形D左侧的正方形的边长及最大正方形下方直角三角形的最长边；再分别表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2与a2的数量关系；最后观察并计算可得出答案．
【详解】解：设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，
∵其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，
∴最大正方形的边长为kb，正方形D左侧的正方形的边长为ka，
∴最大正方形下方直角三角形的最长边为k2a，∴S1=（kb）2-b2=（k2-1）b2，S2=b2，S4=a2，
在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得：（ka）2+（kb）2=（k2a）2，
∴a2+b2=k2a2，∴b2=（k2-1）a2，∴S1=（k2-1）2a2，
∴S1•S4=（k2-1）2a2•a2=[（k2-1）a2]2=S22，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形和正方形中的运用，数形结合并正确找到相关线段的数量关系是解题的关键．
3．（2021·北京海淀教师进修学校附属实验学校初二期中）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（　　）

A．+= B． C． D．
【答案】A
分析：设直角三角形各边长为2a、2b、2c，如图所示：

【解析】
∵三角形是直角三角形，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，化简得：a2+b2=c2，
S1=πa2，S2=πb2，S3=πc2；S1+S2=π（a2+b2）=πc2=S3．故选A．
考点：勾股定理．
4．（2020·浙江省初三学业考试）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图， 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且 ，则 的长为（ ）

图1 图2
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设AC＝a，AB＝b，BC＝c根据勾股定理得到c2＝a2＋b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可求解．
【解析】如图2：

设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a＋b＝8，c2＝a2＋b2，HG＝c−b，DG＝c−a，
则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c−b）（c−a）＝2，
∵（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝64，∴ab＝32− ，∴S＝c2−c（a＋b）＋ab＝c2−8c＋32−＝2，
解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
5．（2021·江苏八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝_____．

【答案】2.5
【分析】分别交、于点、点；设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．
【详解】如图，分别交、于点、点

∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，
∵ ∴ ∵，，
∴ ∴故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．
6．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）如图，在中，在同一平面内，分别以、、为边向形外作等边、等边、等边，若，且，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出等边三角形ABE和BCF的面积，根据求出AC的长，再根据勾股定理逆定理判断△是直角三角形，再根据面积公式求结论即可．
【详解】解：如图1，

在等边三角形中，当边长为2a时，高为，用此结论可得：
∵为等边三角形，∴高为∴
∵为等边三角形，∴高为∴
∴即：解得：
在△中，∴△是直角三角形，∴故选：C．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等知识，AC=5是解答此题的关键．

题型2.赵爽弦图求值
解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.
1．（2021·北京八年级期末）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为____．

【答案】4
【分析】根据正方形的面积，可得AD2=10，再根据勾股定理求出DH的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为10，AH＝3，∴AD2=10，
∴在中，DH=，∴，
∵四个直角三角形全等，∴正方形EFGH的面积=10-=4，故答案是：4．
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，掌握勾股定理，是解题的关键．
2．（2021·山东八年级期末）赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（　　）

A．2，1 B．1， C．2， D．2，
【答案】A
【分析】设出直角三角形变成，列出正方形面积方程，即可求解．
【详解】解：设直角三角形短直角边为，长直角边，斜边长．
由题可列大正方形面积小正方形面积解得，．故选A．
【点睛】本题考查勾股定理相关知识点，利用三角形边长表示正方形面积是关键．
3．（2020·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④

【答案】A
【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得到③正确，根据①③可得②正确，④错误.
【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，∴斜边的平方= a2+b2，
由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，
∴大正方形的面积=斜边的平方= a2+b2，即a2+b2=49，故①正确；
根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=2ab，
4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形 =49-4=45，即2ab=45，故③正确；
由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b≠9，故④错误，
由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正确．故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键．
4．（2021·山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意∠ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长．
【详解】解：依题意∠ACB为直角，AD=6，∴CD=6+6=12，
由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．

【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
5．（2021·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ）

A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．
【详解】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，
∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，
S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，
∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2是解决问题的关键．
6．（2021.成都市八年级期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________．

【答案】16
【分析】先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP=S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE=x，BE=8-x，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+（8-x）2=48，则2x2-16x=-16，整体代入可得结论．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为48，

∴AB2=48，设AE=x，∵AE+BE=8，∴BE=8-x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，∴x2+（8-x）2=48，∴2x2-16x=-16，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP=∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，∴AE=CG，∴△AEP≌△CGM（ASA），∴S△AEP=S△CGM，EP=MG，
∴S△CFP-S△AEP=S△CFP-S△CGM=S梯形FPMG=（MG+PF）•FG=EF•FG=S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF=S正方形ABCD-4S△AEB=48-4×x（8−x）=2x2-16x+48=-16+48=32，
则S△CFP-S△AEP的值是16；故答案为：16．
【点睛】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．

题型3.勾股定理中的最短路线问题
解题技巧:解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.
1．（2021·浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　）

A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm
【答案】B
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为cm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×＝8cm；
又∵圆柱高为18cm，∴小长方形的一条边长是6cm；
根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开−−路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
2．（2021·重庆七年级期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm．

【答案】17
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：，解得．故答案为：17．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
3．（2020·重庆初二月考）圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（ ）

A． B．28 C．20 D．
【答案】C
分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【解析】如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，

连接A′B,则A′B即为最短距离，A′B= (cm)故选C.
点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键.
4．（2021·江苏八年级期中）如图，矩形ABCD中，，，E，F，Q分别是AD和BC、DC的中点，P是EF上的点，则的最小值为________．

【答案】5
【分析】取的中点为，连接交于点，则的最小值转为两点之间的距离最短，利用勾股定理求解．
【详解】解：取的中点为，连接交于点，再连接，此时PD+PQ有最小值，如下图：

由图可知，，，
在中，，，
由两点之间的距离最短即，的最小值为5，故答案是：5．
【点睛】本题考查了动点问题，涉及到勾股定理的使用，解题的关键是把转换为两点之间的距离最短来求解，运用转换的思想．
5．（2021·江苏八年级期中）如图，矩形中，，．点是的中点，点是边上的任意一点（不与、重合），沿翻折，点落在处，当的长度最小时，的长度为______．

【答案】
【分析】先确定当，，共线时，的值最小，再根据勾股定理解题．
【详解】如图，连接，

∵，，，∴，
∴当，，共线时，的值最小，不妨设此时点落在上的点处，设，
∵，∴，解得．故答案为：．
【点睛】本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理(在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方) ．解题的关键是确定当，，共线时，的值最小．
6．（2021·四川电子科大实验中学八年级月考）如图，在公路的同侧有两个居民点、，居民点、分别到公路的距离千米和千米，且两个居民点、相距千米．
（1）要在公路边修一个污水处理站来收集处理居民点、的污水，污水处理站修在什么地方到居民点、所用的水管最短；请你在图中设计出污水处理站的位置．（保留作图痕迹，不要证明）
（2）如图铺设水管的工程费用为每千米万元，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元？（3）要在公路边修一个汽车站，使汽车站到两个居民点、的距离相等，则点应该修在距点多远的地方（另画图并写出解答过程）

【答案】（1）画图见解析；（2）万元；（3）；画图见解析
【分析】（1）作点A关于CD的对称点，连接，与CD的交点即为所求；
（2）AF⊥BD于点F，过点A′作，交BD延长线于点E，可得，，，利用勾股定理求得，继而由可得答案．
（3）作AB的中垂线，交CD于点M，点M即为所求；设，则，由即，列方程求解可得．
【详解】（1）如图1所示，点即为所求．

（2）如图1，过点作于点，过点作，交延长线于点，
则四边形和四边形均为矩形，
，，则，，
在中，，，
则，所以最节省的费用为（万元）．
（3）如图，作的中垂线，交于点，则点即为所求；
连接、，设，则，
，，即，
解得：，即点在距离点的地方．
【点睛】本题考查了尺规作图，轴对称的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理的应用．

题型4.勾股定理中线段平方关系的证明
解题技巧：涉及线段的平方证明题，多是用勾股定理作为工具来证明的。常用作三角形的高、平移、旋转、对称等方法。
1．（2021·山东八年级期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为（　　）

A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【分析】据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2，即可得出结果．
【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，
即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=4，∴EF=8，
由勾股定理得：CE2+CF2=EF2=64，故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的定义、勾股定理、直角三角形的判定；熟练掌握勾股定理，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
2．（2021·江苏八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，若，，，则______．

【答案】26
【分析】利用手拉手模型证明，根据八字形证明角相等，进而可证明，再利用勾股定理解答即可．
【详解】和为等腰直角三角形


在和中

在中，,在中，，

在中，，在中，

在中，，在中，

故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证，得到直角三角形，再结合勾股定理的运用是解题关键．
3．（2021·四川八年级期中）在中，，，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接．

（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析;（3）．
【分析】（1）根据等腰三形的腰相等、旋转前后线段相等、同角的余角相等，利用SAS即可证明全等；
（2）连接EF，通过已证的全等三角形对应边相等和垂直平分线的性质定理，可证AD＝BE和DF＝EF，把要证明的线段转化到中，利用勾股定理即可证明；
（3）利用勾股定理在中求得DE，根据三角形外角定理可证，在中根据直角三角形角所对边等于斜边一半和勾股定理，设分别用x表示BF、EF和DF，最后在利用勾股定理列式求解即可．
【详解】（1）将绕点逆时针旋转至，可得是等腰直角三角形，
，，，
在和中，，，．
（2）如图，连接，，是等腰直角三角形，是的垂直平分线，，
又，，，，
中，，．

（3），是等腰直角三角形，，
，，，，
设，则，，
在中，，解得，．
【点睛】本题主要考查全等三角形判断和性质、垂直平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识点。在证明题中，若出现和线段平方有关的等式问题，我们首选的方法就是把证明中出现的线段转移到一个三角形中，通过证明此三角形为直角三角形，进而利用证明最终的结果．注意：不要认为有一个角等于 ，那么它所对的边就一定等于另一条边的一半，前提是在直角三角形中．
4．（2021·成都教科院附属龙泉学校八年级期中）如图1，在中，，，为边上一动点，且不与点点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．
（1）若，则 °， °．
（2）若，小明说一定是45°，你认为正确吗？请说明理由．
（3）如图2，过点作于点，的延长线与的延长线交于点，求证：．
图1
【答案】（1）50；65；（2）正确，证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）利用互余的性质求出的度数，再根据三角形外角和等腰三角形的性质即可求解；
（2）即可求解；
（3）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵，，∴，
又∵，，∴，
∴，∴，
∵，∴，即，．
（2）
，
故小明说一定正确．
（3）连接，

∵，，∴垂直平分，∴，，
由（2）可知：， 即，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴为直角三角形，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
5．（2021·安徽八年级期末）如图所示，ABC和ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC与AD、AE分别交于点P、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P．
（1）证明：ACP≌ABF；（2）BF，FG，GC之间有怎样的数量关系，请说明理由．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）BF2+CG2＝FG2，理由见解析
【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，AP⊥AD，可以得到∠BAC＝∠PAD＝90°，所以∠BAF＝∠PAC，再由CP⊥BC，∠ACB＝45°，可以证得∠ABF＝∠ACP＝45°，即可以证明△ACP≌△ABF；
（2）由（1）可得，△ACP≌△ABF，所以BF＝CP，AF＝AP，利用CP⊥BC，∠DAE＝45°，可以证得∠FAG＝∠PAG＝45°，先证△FAG≌△PAG，得到FG＝PG，在直角△PGC中，利用勾股定理得到三边的等式关系，等量代换，即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°，
∵AP⊥AD，∴∠PAD＝∠BAC＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠PAD﹣∠DAC，∴∠BAF＝∠CAP，
∵PC⊥BC，∴∠PCB＝90°，∵∠ACP＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝∠ACP，
在△ABF与△ACP中，，∴△ABF≌△ACP（ASA）；
解：（2）BF2+CG2＝FG2，理由如下：如图1，连接PG，

由（1）可得，△ABF≌△ACP，∴BF＝CP，AF＝AP，
∵△ADE是等腰直角三角形，∠PAD＝90°，∴∠FAG＝∠PAG＝45°，
在△AFG与△APG中，，∴△AFG≌△APG（SAS），∴FG＝PG，
在Rt△PGC中，PG2＝CG2+CP2，∴BF2+CG2＝FG2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，利用已知条件，找到证明全等的条件，是解决本题的关键，例如第（1）问中的∠BAF＝∠PAC，∠ABF＝∠ACP的推导，同时，要注意第（1）问的结论给第（2）问提供了条件，例如由（1）的结论可以得到BF＝CP．
6．（2021·福建省福州第一中学）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接．（1）求证：；（2）探究、、的数量关系，并证明；（3）若，求两个三角形重叠部分的面积．

【答案】（1）见详解；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意，先得到，然后由SAS，即可证明结论成立；
（2）由（1）得BD=AE，，则，再由勾股定理，即可得到答案；
（3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，然后根据题意，得到，再利用面积公式，得到，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴；
（2）由（1），∴，BD=AE，
∵，∴，
∴，∴△ABD是直角三角形，∴，∴；

（3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，如图，∵BD=AE，，∴，
∵OD平分∠ADB，OM⊥AD，ON⊥BD，∴OM=ON，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，角平分线的性质定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．

题型5.勾股定理的应用（方程思想）
解题技巧：在直角三角形中，“知二可推一”，若图形中有较多边的长度不知道，可以利用方程思想，设某些边为未知数，再利用勾股定理列写等式方程，将求解边长转化为解方程。
①若两直角三角形有公共边，可利用公共边列写勾股定理的等式方程。具体如下：

△ABD与△ACD都是直角三角形，且有公共边AD，则：AB2-BD2=AC2-DC2
②若无公共边或公共边难以利用时，可以设2个未知数，根据两个直角三角形，列写2个等式方程，然后求解不等式组。
1．（2021·江苏.八年级期中）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】解：根据勾股定理可得：x2=（x-4）2+（x-2）2，故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
2．（2021·江苏）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=_____尺．

【答案】4
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，利用勾股定理构造方程解方程即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2＋32＝（9﹣x）2解得：x＝4，答：折断处离地面的高度为4尺．故答案为：4.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，依据勾股定理构造方程是解题关键．
3．（2021·江苏）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．

【答案】14.5
【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：（x-4）²+10²=x²，解得：x=14.5，故答案为：14.5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键．
4．（2021·河南八年级期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（　　）米．

A．5 B．12 C．13 D．17
【答案】B
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意设未知数列方程是解题的关键．
5．（2021·江西八年级期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点和点处，于点，于点．已知，，．问：图书室应建在距点多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？

【答案】10km
【分析】设AE=x，然后用x表示出BE的长，进而可在两个直角三角形中，由勾股定理表示出CE、DE的长，然后列方程求解．
【详解】解：设AE=xkm，则BE=（25-x）km，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152，同理可得：DE2=BE2+BD2=（25-x）2+102，
若CE=DE，则AE2+AC2=BE2+BD2，x2+152=（25-x）2+102，解得：x=10km；
答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点睛】此题主要考查的是勾股定理的应用，根据CE=DE得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题关键．
6．（2021·江苏八年级期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．

【答案】（1）证明见解析；（2）5cm
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．
【详解】证明：（1）如图：

∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1＝∠3，
由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，∴△ADC≌△CEB；
（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，∵∠ADC＝90°，∴AD2+CD2＝AC2，
即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），∴每块砖厚度为5cm．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．

题型6.三角形和矩形中的翻折问题
解题技巧：勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
1．（2021·江苏九年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．

【答案】
【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．
【详解】解：∵是的中点，，，∴，
由折叠的性质知：，设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即：，解得，∴．故答案为：
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．
2．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为____．

【答案】
【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、GE=GB可得出△GEF≌△GBP，根据全等三角形的性质可得出GF=GP、EF=BP，设BF=EP=CP=x，则AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，在Rt△ADF中，依据AF2+AD2=DF2，可得到x的值．
【详解】解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．
在△GEF和△GBP中，，∴△OEF≌△OBP（ASA），∴EF=BP，GF=GP，∴BF=EP=CP，
设BF=EP=CP=x，则AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，
∵∠A=90°，∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，
∴（4-x）2+32=（1+x）2，∴x=，∴CP=，故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．
3．（2021·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．

【答案】2
【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】解：设CF与AB交于点H，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，
∴S△ABC=，即，∴CH=，
由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=，
在△BCH中，BH=，设BE=EF=x，则EH=-x，
在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：2．

【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．
4．（2021·江苏扬州江都区教育局九年级模拟）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点C折叠纸片，使点C落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为1，则FM的长为（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据翻折得到，，在中，可利用勾股定理求出FM的值．
【详解】解：四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，，
在中，由勾股定理得：．故选：B．
【点睛】本题考查翻折、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2021·广东八年级期末）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，求和的长．

【答案】AC，EB′=3．
【分析】设EB′=x，根据勾股定理求出AC的长，根据翻折变换的性质用x表示出EC、EB′、CB′，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：设EB′=x，∵∠B=90°，AB=6，BC=8，∴AC=，
由折叠的性质可知，BE=EB′=x，AB′=AB=6，则CB′=AC-AB′=4，EC=BC-BE=8-x，
由勾股定理得，x2+42=(8-x)2，解得x=3，∴EB′=3．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
6．（2021·重庆八年级期末）如图，折叠矩形ABCD的顶点D所在角，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．（1）若∠DAE＝25°，求∠EFC 的大小；（2）若AB＝8，BC＝10，求EF的长．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由折叠的性质得出，由平行线的性质得出；
（2）根据折叠的性质得到，根据勾股定理列方程计算即可．
【详解】解：（1）如图，

∵四边形是矩形，∴∥ ，． 由折叠可知：≌．
∴，． ∴．
∴．
（2）∵四边形是矩形，∴，．
∴． ∴．
设，则．
在中，由勾股定理得：．
∴．解得：．∴．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．

题型7 .勾股数有关问题
解题技巧：常见勾股数有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股数组规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2
1．（2021·湖北）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数．
我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…
根据规律写出第⑥个等式为 ______________．
【答案】132＋842＝852
【分析】通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑥个等式．
【详解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1，
∴第一个数的底数是2n＋1，指数是2，
∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4，
∴第二个数的底数是2n2＋2n，指数是2，
∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2，
∴第n个等式为（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2，
∴第⑥个等式为132＋842＝852，故答案为：132＋842＝852.
【点睛】本题主要考查了整式的数字规律，解题的关键在于能够根据题意得到每一组数据的规律.
2．（2021·南宁市第八中学八年级月考）可以构成直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数公式为其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数，当n＝1时，则有一边长为13的直角三角形的另外两条边长为___．
【答案】5,12或84,85．
【分析】利用分类思想，整数的性质求解即可．
【详解】当n=1时，得，
当a=13时，得=13，即，解得m=，
∵m是正整数，∴m=舍去；
当b=13时，即m=13，得a==84，c==85；
当c=13时，得=13，即，解得m=，
∵m是正整数，∴m= -5舍去，∴m= 5,
∴a==12，∴b= 5,故答案为：5,12或84,85．
【点睛】本题考查了勾股数，熟练运用分类思想，整数的性质是解题的关键．
3．（2021·安徽八年级期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
n
2
3
4
5
6
....
a
4
5
8
10
12
.....
b
3
8
15
24
35
.....
c
5
10
17
26
37
......
请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
【答案】（1）14，48，50；（2）；（3）是，证明见解析
【分析】（1）观察表格，即可得出n=7时a、b、c的值；
（2）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2加、减1，即可得出答案；
（3）计算出a2+b2的值以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．
【详解】解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1，n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1，
n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1，n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1，
∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50；故答案为：14，48，50；
（2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1；故答案为：2n，n2-1，n2+1；
（3）以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是仔细观察表中的数据，找出规律，进而利用勾股定理的逆定理解决问题．
4．（2021·福建省福州一中贵安学校初二期中）大家见过形如x+y＝z，这样的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是适合该方程的一个正整数解，法国数学家费尔马早在17世纪还研究过形如x2+y2＝z2的方程．（1）请写出方程x2+y2＝z2的两组正整数解：　 　．
（2）研究直角三角形和勾股数时，我国古代数学专著（九章算术）给出了如下数：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇数），那么，以a，b，c为三边的三角形为直角三角形，请你加以验证．
【答案】（1）或；（2）验证见解析．
【分析】（1）根据勾股数即可得出答案；（2）先分别求出、、，进而求出=，即可得出结论．
【解析】解：（1）当，时，， 当，时，，
方程的两组正整数解为或，故答案为或；
（2）以已知的，，为三边的三角形为直角三角形，
理由：∵，，，，
，
以，，为三边的三角形为直角三角形，其中，为直角边，为斜边．
【点睛】此题主要考查了勾股数，勾股定理的逆定理，掌握熟练运用完全平方公式计算是解本题的关键．
5．（2020·山西八年级期末）阅读材料，并解决问题．
有趣的勾股数
定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．
一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么数组称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数以外，还提到，，，等勾股数．
数学小组的同学研究勾股数时发现：设，是两个正整数，且，三角形三边长，，都是正整数．下表中的，，可以组成一些有规律的勾股数．





2
1
3
4
5
3
2
5
12
13
4
1
15
8
17
4
3
7
24
25
5
2
21
20
29
5
4
9
40
41
6
1
35
12
37
6
5
11
60
61
7
2
45
28
53
7
4
33
56
65
7
6
13
84
85
通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数可以写成．解答下列问题：
（1）表中可以用，的代数式表示为_____________．
（2）若，，则勾股数为______________．
（3）小明通过研究表中数据发现：若，则勾股数的形式可表述为（为正整数），请你通过计算求此时的．(用含的代数式表示)
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把，代入即可求解；（3）根据勾股定理求解即可；
【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，
∴，故答案为：；
（2）当，时，a=m2-n2=42-22=12，=2×4×2=16，c=m2+n2=42+22=20，
∴勾股数为，故答案为：；
（3）根据题意，得，
∴，解得．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
6．（2020·北京四中初二期中）常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：
a
b
c
a
b
c
3
4
5
4
3
5
5
12
m
6
8
10
7
24
25
p
15
17
9
n
41
10
24
26
11
60
61
12
35
37
…
…
…
…
…
…
平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．

【答案】（1）m＝13，n＝40，p＝8；（2）图详见解析，24．
【分析】（1）根据勾股数的定义计算即可；（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】解：（1）∵52+122＝132，∴m＝13；∵92+402＝412，∴n＝40，∵82+152＝172，∴p＝8．
（2）如图所示：

在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，S△ABC＝SABD﹣S△ACD＝．
【点睛】本题考查勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键．

题型8 .利用勾股定理逆定理判断三角形的形状
解题技巧：若三角形的三边长满足勾股定理的逆定理，则可以判断三角形是直角三角形。注意，若边长是用式子表示的，也同样可以用勾股定理的逆定理来判断。
1．（2021·湖南八年级期末）在△ABC中，已知AB＝5，AC＝12，BC＝13，则该三角形为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】解：∵AB＝5，AC＝12，BC＝13，∴AB2+AC2＝25+144＝169＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2．（2021·安徽合肥38中八年级期中）已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】依据作图即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，进而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【详解】解：如图所示，

AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（2021·江苏八年级期末）在四边形中，已知，，，．
（1）连接，试判断的形状，并说明理由；（2）求的度数

【答案】（1）等边三角形，见解析；（2）150°．
【分析】（1）由，，可得是等边三角形；
（2）由是等边三角形可得 再利用勾股定理的逆定理证明 从而可得答案．
【详解】解：（1）是等边三角形．理由如下：连接

∵，，∴是等边三角形．
（2）∵是等边三角形，∴，，
∵在中，，． ，
∴∴，∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理分逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2020·江苏苏州中学八年级期中）如图，点D为AB上的一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2．
（1）试说明△AED是直角三角形；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得AE=BD，然后根据勾股定理的逆定理即可证出结论；
（2）根据（1）的结论可得∠EAC＋∠CAB=90°，然后根据全等三角形的性质可得AC=BC，∠EAC=∠DBC，从而证出∠DBC＋∠CAB=90°，从而证出结论．
【详解】证明：（1）∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD
∵AD2+DB2=DE2∴AD2+ AE 2=DE2
∴△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下
∵△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；∴∠EAC＋∠CAB=90°
∵△ACE≌△BCD，∴AC=BC，∠EAC=∠DBC
∴∠DBC＋∠CAB=90°∴△ABC是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查的是全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的性质和勾股定理的逆定理是解题关键．
5．（2021·河北八年级期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形．
【答案】锐角三角形 或 钝角
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是锐角三角形，故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，∴52+122=x2，∴x=13，
当12是斜边，则52+x2=122，解得：x=，综上所述：x=13或．故答案为：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，
∴a2＞b2+c2，∴该三角形是钝角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．
6．（2021·四川八年级期末）在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有．

（1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积．
【答案】（1）猜想： ，证明见解析；（2）猜想：，证明见解析；（3）四边形ABCD的面积是米2．
【分析】（1）先作高线如图2，过点作于点，构造两个直角三角形，设，则，由勾股定理和AD构造等式 ，利用放缩法可得
（2）先作高线如图3，过点作，交的延长线于点，构造两个直角三角形设，则，利用勾股定得，整理得，利用放缩法
（3）如图4，连接．过点作于点E，由勾股定理求出 设，则EC=100-x，由勾股定理构造方程，解方程的，再求出DE，利用分割法求面即可
【详解】解：（1）猜想： ，
证明：如图2，过点作于点，设，则，

在Rt中，有, 在Rt中，有 ，
∴ ，解之：，
∵均为正数，∴ ；
（2）猜想： 证明：如图3，过点作，交的延长线于点，设，则，

在Rt中，有，在Rt中，有 ，
∴，解之：，∵均为正数，∴ ；
（3）如图4，连接．在Rt中，有，∴，
∵，∴ ，过点作于点E，设，则EC=100-x，
在Rt中，有，即，
在Rt中，有，即 ，∴，解之：，
在Rt中，有，∴DE=（取正），∴DE=，
∴，=（米2），
∴四边形ABCD的面积是米2．
【点睛】本题考查作高线，勾股定理，利用勾股定理推出锐角三角形，钝角三角形结论，用分割法求四边形面积，掌握高线最烦，利用勾股定理构造方程，判读锐角三角形与钝角三角形，利用分割法四边形求面是解题关键．

题型9. 利用勾股定理逆定理构造或证明直角
解题技巧：证垂直，我们已学习过多种方法。用勾股定理的逆定理证垂直，可实现数到形的转化。
解题技巧：与勾股定理中的构造直角三角形思路类似，当图形中出现线段长符合勾股数时，可以通过作辅助线将条件集中到一个三角形中，利用勾股定理的逆定理，构造出直角三角形。
1．（2021·江苏九年级其他模拟）如图，已知ABC．
（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使AD+BD=AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若DC=3，AD=5，AB=4．求证：AB⊥BD．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）比较两个结论AD+BD=AC和AD+DC=AC，点D只需满足条件DB=DC即可，为此只需作出线段 BC的垂直平分线l，交AC于点D；（2）利用勾股定理的逆定理即可解决．
【详解】解：（1）如图所示．

则点D就是所求作的符合条件的点．
（２）证明：∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴DB=DC=3．
在中，∵,,
∴．∴∠ABD=90°．∴AB⊥BD．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的作法及性质、勾股定理的逆定理等知识点，熟知基本的尺规作图的步骤和勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．（2021·山东八年级期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接．

① __度；（答案直接填写在横线上）
②_ __﹔（答案直接填写在横线上）;③求的度数．
（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明．
【答案】（1）①；②；③；（2），证明见解析．
【分析】（1）①由得到，继而证明即可解题；
②由得到，结合①结论，可证明是等边三角形，即可解题；
③根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可；
（2）由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．
【详解】解:（1）①
即
故答案为：；
②，由①得是等边三角形，
故答案为：；
③
为直角三角形
为等边三角形；
（2）当时，．

理由如下:，
为等腰直角三角形，，
当时，为直角三角形，，
当满足时，．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．（2021·河南省实验中学）阅读下列材料并完成相应的任务：
工人师傅有一块不规则的模板，他已经在模板上画出了一条裁割线AB，现根据木板的情况，需要通过AB上一点C，做AB的垂线，进行裁割，但手头没有直角尺，怎么办呢？

方法一：取卷尺在AB上量出CD＝30cm，然而分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE＝90°；
方法二：在绳子EF上割取任意长度a，一端记点P，另一端记为点Q，将P点与C点重合，按如图位置摆放，然后以Q为圆心，PQ的长为半径画弧，交AB于点R，连接RQ，并延长到点M使得QM＝QR，连接CM，则∠MCR＝90°．
任务：（1）方法一依据的数学原理是 ．
（2）利用方法2，证明∠MCR＝90°；
（3）不用直角尺，你还有什么方法做出垂线吗？
尺规作图：请在木板上，过点C作出AB的垂线L（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）结合勾股定理的逆定理判断即可；（2）根据题意描述，结合等腰三角形的性质证明即可；
（3）利用作中垂线的方法构造即可．
【详解】解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，∴CD2＋CE2＝302＋402＝502＝DE2，∴∠DCE＝90°，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；故答案为：勾股定理的逆定理
（2）由作图方法可知，QR＝QC，QM＝QC，∴∠QCR＝∠QRC，∠QCM＝∠QMC，
∵∠MRC＋∠QCM＋∠QCR＋∠QMC＝180°，∴2（∠QCR＋∠QCM）＝180°，
∴∠QCR＋∠QCM＝90°，即∠RCM＝90°；
（3）如图③所示，以点C为圆心，适当长为半径画圆弧交AB于C点两侧各一点，
再以这两点分别为圆心，大于其一半的长度为半径画圆弧，在AB上方交于P点，
此时，直线PC即为所求（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．

【点睛】本题考查基本作图-作垂线，掌握常见的作垂线的方法及其理论依据是解题关键．
4．（2021·湖南娄底市·八年级期末）如图，一块四边形的土地，其中．（1）试说明（2）求这块土地的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由题意，根据勾股定理计算BD的长，再判断与的值是否相等，根据勾股定理的逆定理解题；（2）根据题意及（1）中结论，计算的面积和即可解题．
【详解】（1）

是直角三角形
（2）．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2021·湖南长沙市·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为．
（1）求四边形的面积；（2）证明：．

【答案】（1）12；（2）见解析
【分析】（1）采用割补法进行解答即可；（2）如图：连接AC，运用勾股定理逆定理即可证明．
【详解】解：（1）由题意得四边形ABCD的面积为：；
(2)证明：如图：连接AC


．
【点睛】本题主要考查了运用割补法求不规则图形的面积、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解答本题的关键．
6．（2021·江苏八年级期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．已知、、都是格点．

（1）小明发现是直角，请补全他的思路；
小明的思路
先利用勾股定理求出的三条边长，可得，_______，_______．从而可得、、之间的数量关系是_____________________，根据____________________________，可得是直角．
（2）请用一种不同于小明的方法说明是直角．
【答案】（1），，，勾股定理逆定理；（2）见解析．
【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理逆定理即可填空．
（2）作如图所示的图，根据图易证，推出．继而推出，即可得出结论．
【详解】（1）先利用勾股定理求出的三条边长，可得，，．从而可得、、之间的数量关系是，根据勾股定理逆定理，可得是直角．
（2）作图如图，由图可得：，，．
在和中，，
，．
在中，，．
∵D、B、E三点共线，，
．

【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练利用勾股定理和勾股定理逆定理，三角形全等的判定和性质等知识是解答本题的关键．

题型10 逆命题与逆定理相关问题
1．（2021·山东潍坊市·八年级期末）下列命题中，其逆命题是真命题的有（ ）个
①全等三角形的对应角相等，② 两直线平行，同位角相等，③等腰三角形的两个底角相等，④正方形的四个角相等．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把每一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三组角分别对应相等的两个三角形全等”，逆命题是假命题，故①不符合题意；
“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，故②符合题意；
“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“在一个三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，故③符合题意；
“正方形的四个角相等”的逆命题是“四个角相等的四边形是正方形”，逆命题是假命题，故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③．故选：
【点睛】本题考查的是命题与逆命题，命题真假的判断，正方形的判定方法，掌握由原命题得到逆命题，以及判断命题的真假是解题的关键．
2．（2021·河南南阳市·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．两个全等三角形的对应角相等
B．若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形
C．两个全等三角形的面积相等
D．如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数
【答案】D
【分析】根据原命题分别写出逆命题，然后再判断真假即可．
【详解】A、两个全等三角形的对应角相等，逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，是假命题；
B、若一个三角形的两个内角分别为 30° 和 60° ，则这个三角形是直角三角形，
逆命题是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个内角分别为 30° 和 60° ，是假命题；
C、两个全等三角形的面积相等，逆命题是：面积相等的两个三角形全等，是假命题；
D、如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数，
逆命题是：如果一个数是无理数，那么这个数是无限不循环小数 ，是真命题.故选：D
【点睛】本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握真命题．
3．（2021·山西临汾市·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．
A．的平方根是3 B．是无理数 C．1的立方根是1 D．全等三角形的周长相等
【答案】C
【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．
【详解】A、的平方根是3的逆命题是：3是的平方根，是假命题；
B、是无理数的逆命题是：无理数是，是假命题；
C、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；
D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C．
【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．
4．（2021·上海市康城学校）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．
A．若，则 B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等 D．若，，则
【答案】B
【分析】分别写出各选项中命题的逆命题，然后判断其真假即可．
【详解】解：A、逆命题为：若∣a∣=∣b∣，则a=b，是假命题；
B、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题；
C、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题；
D、逆命题为：若a+b＞0，则a＞0，ab＞0，是假命题，故选：B．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，会判断命题的真假，正确写出原命题的逆命题是解答的关键．
5．（2020·邯郸市永年区教育体育局教研室八年级期中）下列定理中有逆定理的是（ ）
A．直角都相等 B．全等三角形对应角相等 C．对顶角相等 D．内错角相等,两直线平行
【答案】D
【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可得出答案．
【详解】A、直角都相等的逆命题是相等的角是直角，错误；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误；
D、逆命题为两直线平行，内错角相等，正确；故选D．
【点睛】本题考查的是命题与定理的区别，正确的命题叫定理，错误的命题叫做假命题，关键是对逆命题的真假进行判断．
6．（2020·范县希望中学八年级期中）下列定理有逆定理的是( )
A．直角都相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等
【答案】B
【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可得出答案．
【解析】解：A、直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题，此选项无逆定理；
B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题，此选项有逆定理；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，此选项无逆定理；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，此选项无逆定理．
故选B．
【点睛】本题考查了对逆定理概念的认识，如果一个定理的逆命题是真命题，那么它的逆命题也叫这个定理的逆定理，如果一个定理的逆命题是假命题，则这个定理没有逆定理．

题型11 网络作图
解题技巧：网格中，根据勾股定理，可求解出三角形或四边形的长度，然后根据长度判断多边形是否是特殊图形。
1．（2021·西安市黄河中学八年级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为的是（　　）

A．AB B．BC C．CD D．AD
【答案】D
【分析】根据勾股定理求得每条线段的长度即可．
【详解】解：AB=，BC=3，CD=，AD=，
故长度为的线段是AD，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2021·全国八年级专题练习）问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．
小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积　 　；
思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．

【答案】（1）4.5；（2）画图见解析，7
【分析】（1）根据图形得出S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可；
（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．
【详解】解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是：

S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC＝4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3＝4.5，故答案为：4.5；
（2）如图2的△MNP，
S△MNP＝S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP＝5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1＝7，即△MNP的面积是7．
【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大．
3．（2021·贵州黔南布依族苗族自治州·八年级期末）埃及人曾用下面的方法得到直角，如图1，他们用13个等距的结将一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．
（1）你能说说其中的道理吗？（可设相邻两个结点之间的距离为a）
（2）仿照上面的方法用31个等距的结将一根绳子分成等长的30段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第31个结，两个助手分别握住第6个结和第18个结，拉紧绳子，将得到一个直角三角形其直角在第6个结处，请你在图2中，画出示意图即可．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可；（2）设相邻两个结点之间的距离为图中1个小正方形的边长，则此三角形三边的长分别为5、12、13，画出示意图即可．
【详解】解：（1）设相邻两个结点之间的距离为a，则此三角形三边的长分别为3a、4a、5a，
∵（3a）2+（4a）2＝（5a）2，
∴以3a、4a、5a为边长的三角形是直角三角形；
（2）如图所示：

【点睛】本题考查考查了勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
4．（2021·广东）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：

（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形；
（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形；
（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段；
（4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解；
（2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可；（3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可；
（4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可．
【详解】（1）∵，∴即为所求；
（2）∵EF=FG=GD=DE=，∴正方形的面积为13；
（3）HI=；
（4）∵KL=，JL=，JK=，且
∴是直角三角形，且周长为．

【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．（2020·江苏八年级期末）在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，我们把三个顶点都是格点的三角形称为格点三角形．按要求完成下列问题：

（1）在图①中，以AB为边画一个格点三角形，使其为等腰三角形；
（2）在图②中，以AB为边画一个格点三角形，使其为钝角三角形且周长为6＋3；
（3）如图③，若以AB为边的格点三角形的面积为3，则这个三角形的周长为 ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3），或
【分析】（1）利用网格在图①中，以AB为边画格点三角形，使其为等腰三角形即可；
（2）利用网格在图②中，以AB为边画格点三角形，使其为钝角三角形且周长为6＋3即可；
（3）利用网格在图③中，以AB为边的格点三角形的面积为3，即可求出这个三角形的周长．
【详解】（1）如图①所示：△ABC1、△ABC2、△ABC3、△ABC4即为所求；
（2）如图②所示：△ABC1、△ABC2 即为所求；两个三角形为钝角三角形且周长为6＋3；

（3）如图③所示：以AB为边的格点三角形的面积为3，
则这个三角形的周长为：3＋＋2、4＋2或3＋＋2．
故答案为：3＋＋2、4＋2或3＋＋2．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
6．（2020·江苏苏州中学八年级期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形．
（1）求图中格点四边形ABCD的面积；（2）求四边形ABCD的周长；（3）求∠ADC的度数．

【答案】（1）12.5；（2）；（3）90°
【分析】（1）四边形ABCD的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积；
（2）由勾股定理求出AD、AB、BC、CD，即可得出四边形ABCD的周长；
（3）求出AD2+CD2=AC2，由勾股定理的逆定理即可求出结果．
【详解】解：（1）根据题意得：四边形ABCD的面积=5×5-×3×3-×2×3-×2×4-×2×1=12.5；
（2）由勾股定理得：AD=，AB=，BC=，CD=，
∴四边形ABCD的周长==；
（3）∵AD2+CD2=5+20=25，AC2=52=25，∴AD2+CD2=AC2，
∴三角形ADC为直角三角形，∠ADC=90°．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形和四边形面积的计算；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

题型12台风（噪音）问题
1．（2021·山西八年级期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）

A．2km B．4km C．10 km D．14 km
【答案】B
【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键．
2．（2021·浙江杭州市·八年级期中）如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是________。

【答案】
【分析】先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案
【详解】解：在Rt中，，，，∴
小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分)
∴小明、小亮同时到达C时， 小明、小亮同时到达D时，
∴a的取值范围是：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键
3．（2021·广州市育才中学八年级期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．

【答案】80 12
【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】解：作于，，m，m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，，在中，m，m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．

【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．（2021·江苏）如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s

【答案】8
【分析】过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，

∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，∴影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．
5．（2021·山东省平邑县第一中学八年级月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米．（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

【答案】（1）120米；（2）超速，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理求出BC的长；（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵AC=50m，AB=130m，且AB为斜边，
根据勾股定理得：BC=120（m）；
（2）这辆小汽车超速了．理由：∵120÷6=20（m/s），平均速度为：20m/s，
20m/s=72km/h，72＞70，∴这辆小汽车超速了．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．
6．（2021·河南周口市·八年级期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？

【答案】（1）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
【分析】（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：(1)出发秒钟时，米，米
米，米米，米（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰

(2)设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，，解得
此时AC1=20，AB1=15，此时
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰
答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

题型13 .勾股定理综合问题
解题技巧：当问题的条件中出现勾股数（或不完勾股数，如：3，4；8，10等），或者结论中有垂直要求时，可考虑选取或构造直角三角形，运用勾股定理的逆定理求解。
1．（2021·全国九年级专题练习）例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．

【答案】(1)DA=DB+DC;(2) DA=DB+DC,证明见解析.
【分析】(1)由旋转60°可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．(2) 延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,由已知可得,根据,可得=,可证,进而可得AD=AE, ,可得,由勾股定理可得：,进行等量代换可得结论.
【详解】(1)结论：DA=DB+DC.
理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，∴AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACD=180°，∴D,C,E三点共线，
∵AE=AD，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∴AD=DC+CE=DB+DC;
(2)结论：DA=DB+DC,证明如下：

如图所示，延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,∵,,∴,
∵,∴=,∵AB=AC,CE=BD,∴(SAS),
∴AD=AE, ,∴,
∴,∴,∴DA=DB+DC.
【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.
2．（2021·浙江八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，．
（1）如图1，点、都在外部，连结和相交于点．①判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；②若，，求的值．（2）如图2，当点在内部，点在外部时，连结、，当，时，求的值．

【答案】（1）①BD＝CE且BD⊥CE，理由见详解；②14；（2）22
【分析】（1）①证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据三角形内角和定理得到∠CFG＝∠BAG＝90°，根据垂直的定义解答；②由，，可得BC2=2AB2=8，DE2=2AD2=6，进而即可求解；
（2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，同理可证： BD＝CE且BD⊥CE，设DG=x，CG=y，EG=z，利用勾股定理可得= DE2+ BC2，进而即可求解．
【详解】（1）①BD＝CE且BD⊥CE，理由如下：
设BD与AC交于点G，如图，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠CAE＝∠DAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AGB＝∠FGC，∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE；

②，，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴BC2=2AB2=8，DE2=2AD2=6，
∵BD⊥CE，∴= BC2+ DE2=8+6=14；
（2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，同理可证： BD＝CE且BD⊥CE，
∵，，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴BC2=2AB2=18，DE2=2AD2=4，
设DG=x，CG=y，EG=z，则在Rt∆DEG中，x2+z2= DE2=4，在Rt∆BCG中，（x+y+z）2+y2= BC2=18，在Rt∆CDG中，x2+y2= CD2，在Rt∆BEG中，（x+y+z）2+z2=BE2，
∴=（x+y+z）2+z2+ x2+y2= DE2+ BC2=4+18=22．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．（2021·河北八年级月考）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：如图1，当点D在边BC上时，（1）请写出BD和CE之间的位置关系为　 　，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：　 　．尝试探究：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系，BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；拓展延伸：（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝7，CE＝5，直接写出线段ED的长．

【答案】（1）BD⊥CE（或“垂直”），BC=CE+CD （或CE = BC –CD或CD = BC- CE）； （2）BD⊥CE成立，数量关系不成立，新关系为BC=CE-CD．理由见解析；（3）线段ED的长为13．
【分析】(1)根据条件AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD＝BC；(2)根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再根据BD＝BC+CD，即可得到CE＝BC+CD；(3)根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，在Rt△DCE中，由勾股定理即可解决问题．
【详解】解：(1)如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，即BD⊥CE．∴BC＝BD+CD＝CE+CD，
故答案为：BD⊥CE（或“垂直”），BC=CE+CD （或CE = BC –CD或CD = BC- CE）；
(2)BD⊥CE成立，数量关系不成立，关系为BC＝CE﹣CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴BD＝BC+CD，即CE＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，∴BC＝CE﹣CD；BD⊥CE；
(3)如图3中，由（1）同理可得，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD＝∠EAC，同理，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝5，∠ACE＝∠ABD＝135°，∴CD＝BC+BD＝BC+CE＝12，
∵∠ACB＝45°∴∠DCE＝90°，在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2＝DC2+CE2＝122+52＝132，∴DE＝13．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
4．（2020·河南宛城初二期末）（问题背景）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　．
（探索延伸）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（学以致用）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为　 　．

【答案】【问题背景】：EF＝BE+FD；【探索延伸】：结论EF＝BE+DF仍然成立，见解析；【学以致用】：5.
【分析】[问题背景]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
[探索延伸]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
[学以致用]过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长．
【解析】 [问题背景】解：如图1，在△ABE和△ADG中，
∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；故答案为：EF＝BE+FD．
[探索延伸]解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；
[学以致用]如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2．∴DE＝2+3＝5．故答案是：5．

【点睛】此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．
5．（2020·江苏淮安初二期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．
（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝　 °；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为　 ．

【答案】（1）∠BCE＝90°；（2）①∠BCE的度数不变，为90°；理由见解析；②△ADE的面积为.
【分析】（1）由△ABC和△ADE都是等腰直角三角形可得，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，则有∠BAD=∠CAE，从而可证到△ACE≌△ABD；则∠ACE=∠ABD=45°，从而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°；
（2）①由△ABC和△ADE都是等腰直角三角形可得，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，则有∠BAD=∠CAE，从而可证到△ACE≌△ABD；则∠ACE=∠ABD=45°，从而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°；
②得出BD，由△ACE≌△ABD可得CE=BD，运用三角形面积公式解答．
【解析】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．
在△ACE和△ABD中， ，∴△ACE≌△ABD（SAS）；
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；故答案为：90；
（2）①不发生变化．∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，
在△ACE和△ABD中 ∴△ACE≌△ABD（SAS）∴∠ACE＝∠ABD＝45°
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°∴∠BCE的度数不变，为90°；
②∵BC＝3，CD＝6，∴BD＝9，∵△ACE≌△ABD，∴CE＝BD＝9，
在Rt△ECD中，=117，
在Rt△ADE中，∵AD=AE∴ =117，，
∴△ADE的面积＝；故答案为：.
【点睛】本题是三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识解答．
6．（2020·湖南长沙初二期中）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．

【答案】（1）AC＝3; （2）见解析；（3）73.
【分析】（1）根据勾股定理求出AC即可；（2）在Rt△DOA中根据勾股定理有OD2+OA2＝AD2，同理有OD2+OC2＝CD2，OB2+OC2＝BC2，OA2+OB2＝AB2，又AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2，AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2 即可证明AB2+ CD2＝AD2+ BC2；
（3）连接CG、AE，根据∠GBC=∠EBA=900得∠ABG=∠EBC，则证明△ABG≌△EBC，则∠1＝∠2 ，∠3＝∠4，由（2）可知AC2+GE2＝CG2+AE2，则可求出CG2、AE2 、AC2从而求出GE2.
【解析】解：（1）在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5 ∴AC＝=3
（2）在Rt△DOA中，∠DOA＝900，∴OD2+OA2＝AD2 同理：OD2+OC2＝CD2
OB2+OC2＝BC2 OA2+OB2＝AB2
∵AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2 AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2 ∴AB2+ CD2＝AD2+ BC2

（3）∵∠GBC=∠EBA=900 ∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA
∴∠ABG=∠EBC 如图1，在△ABG和△EBC中
∴△ABG≌△EBC（SAS） ∴如图2，∠1＝∠2 ，∠3＝∠4
∴∠5＝∠AIJ＝900 ∴AG⊥CB 连接CG、AE，由（2）可知 AC2+GE2＝CG2+AE2
在Rt△CBG中，CG2＝BC2+BG2 CG2＝42+42＝32
在Rt△ABE中，AE2＝BE2+AB2 AE2＝52+52＝50
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2 52＝AC2+42 AC2＝9
∴AC2+GE2＝CG2+AE2 9+ GE2＝32+50 GE2＝73
【点睛】本题考查了三角形全等、勾股定理、添加辅助线等知识点，读懂题意找出等量关系，并学会综合运用所学知识点解题的解答本题的关键.