专题03 （特殊）平行四边形中的翻折、旋转问题与动态轨迹问题 专题讲练-【高频考点】最新八年级数学下册高频考点专题突破（人教版）

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专题03平行四边形中的翻折、旋转问题与动态轨迹问题 专题讲练一、以特殊四边形为背景的折叠（翻折）问题解题技巧：图形的旋转和折叠，意味着全等，抓住不变量。若在图形的折叠中，考察图形折叠的折痕问题，则需要抓住折痕垂直平分对应点所连的线段平分对应边所成的夹角。1） 矩形中的折叠与拼剪问题例1．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求线段的长．变式1．（2021·江苏宿迁·中考真题）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）A． B．2 C． D．4变式2．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（ ）A． B． C． D．例2．（2021·江苏初二期中）如图，矩形纸片ABDC中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE.如果在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此时PB＝　 　.变式3．（2021·江苏江都初三期中）如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长AF交CD于点G，已知CG＝2，DG＝1，则BC的长是（　　）A．3 B．2 C．2 D．2变式4．（2020·江苏江阴初三期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为____．例3．（2021八上·浙江月考）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上.当点B'恰好落在边CD上时，线段BM的长为　 　cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为　 　cm.变式5．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当____时，是以为腰的等腰三角形． 变式6.（2020·江苏镇江市期末）如图，在矩形中，，点分别在上，且，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为________．2） 菱形中的折叠与拼剪问题例1．（2020•泰山区期中）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1.5，则CN的长为（　　）A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5变式1．（2021八下·江津期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，使点B的对应点为B'，点A的对应点为A′，若AE＝4，则 B'F 的长等于　 　. 变式2．（2021·广东宝安·一模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，∠A'DE的度数为 ______．例2．（2021•沙坪坝区校级月考）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝8，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、O分别在边A，AD上，则EG的长为（　　）A．285 B．145 C．4 D．43变式3．（2021·浙江婺城初三期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝_____．例3．（2021·广东·松岗实验学校九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（　　）A． B． C．3 D．3.5变式4．（2021·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形中，，点E在边上，将沿直线翻折180°，得到，点B的对应点是点若，，则的长是__________．变式5．（2021·重庆一中九年级期中）如图，在菱形中，点为边上一点，点为边中点，连接，将沿直线翻折至菱形所在平面内，得到，连接并延长交边于点．若，，点到线段的距离为，则折痕的长为__________．变式6．（2021·广东初三期中）如图，在□ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB=4，BC=6，∠B=60º，现将△ABE沿AE折叠，点B’是点B的对应点，设CE长为x。 (1)如图1，当点B’恰好落在AD边上时，x=________；(2)如图2，若点B’落在△ADE内(包括边界)，则x的取值范围是________。3） 正方形中的折叠（翻折）问题例1．（2020·重庆涪陵初三期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE，连接DF，则DF的长度是（　　）A． B． C． D．变式1．（2020·重庆万州初三期末）如图，在边长为的正方形纸片中，是边上的一点，连结,将正方形纸片折叠，使点落在线段上的点处，折痕为．则的长为( )A． B． C． D．变式2．（2021·重庆·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（       ）A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4例2．（2020·黑龙江阿城初三期末）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（　　）A．5cm B．5cm C．4cm D．4cm变式3．（2020·河南罗山初三期末）如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点，处，当点落在直线BC上时，线段AE的长为________．例4．（2022·河南·郑州一中国际航空港实验学校九年级期末）如图，正方形中，点E为边的中点，点P为边上一个动点，连接，以为对称轴折叠得到，点B的对应点为点F，若，当射线经过正方形边的中点（不包括点E）时，的长为_____________．变式4．（2021·浙江·九年级期末）如图，正方形中，点E为中点，连结，将沿翻折得到，连结并延长交于点G，若，则的长为（       ）A． B． C． D．4） 平行四边形中的折叠与拼剪问题例1．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）A．1 B． C． D．变式1．如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（ ）A． B． C． D．变式2．如图，，分别是的边，上的点，，．将四边形沿翻折，得到，交于点．则的周长为（ ）A．6 B．12 C．18 D．24例2．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）A．40° B．36° C．50° D．45°变式3．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处且平分，若，则____________．变式4．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 ______．例3．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，F分别为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点处，且点在∠BAD外部，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__．变式5．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为．已知，那么的面积为_________．变式6．如图，在平行四边形纸片中，，点分别在边上，将纸片沿折叠，使点分别落在点处，且经过点．当时，，则的长是_______．二、以特殊四边形为背景的旋转问题例1．（2021·湖北江岸·八年级期中）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；（1）求证：；（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．变式1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F．（1）如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是　 　；（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例2．（2020·山东宁津初三一模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为（ ）A．1+ B．2+ C．3 D．3–变式2．（2021·全国·八年级专题练习）在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，连接并延长，分别交、于点、．（1）如图1，若且，求菱形的面积；（2）如图2，求证：．　　　　例3．（2020•滕州市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（　　）A．（6，-6） B．（2，﹣2） C．（3，-3） D．（4，﹣4）变式3．（2021·黑龙江省八五六农场学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是_____________．例4．（2020•浉河区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣3，0），C（0，3）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为　 　．变式4．（2021·全国·九年级单元测试）如图，矩形ABCD绕点A逆时针旋转90*得矩形AEFG，连接CF，交AD于点P，M是CF的中点，连接AM，交EF于点Q．则下列结论：   ①AM⊥CF；②△CDP≌△AEQ ；③连接PQ，则PQ= MQ；④若AB=2，BC=6，则MQ= 其中，正确结论的个数有(       )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例5．（2021·福建三元·八年级期中）在长方形中，AB=5，BC=3，将长方形绕点顺时针旋转α0°<α<90°，得到长方形AEFG．（1）如图1，当点落在边上时，延长交于点，求证：EM=AE；（2）如图2，当GC=GB时，求α的值；（3）如图3，当点落在线段CF上时，与交于点，求△ADN的面积． 变式5．（2021·广西藤县·一模）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形位置，此时的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AD=3，则AEC的面积为（       ）A．12 B．4 C．3 D．6例6．（2020•渠县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD的边上，且DE＝1，△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，将△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，连接FG，则线段FG的长为（　　）A．4 B．42 C．5 D．6变式6．（2021·安徽芜湖市·九年级期末）如图1，点为正方形内一点，，现将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点．（1）如图1，求证：四边形是正方形；（2）连接．①如图2，若，求证：为的中点；②如图3，若，，试求的长．例7．（2021·四川新都·八年级期末）（1）如图1，与都是等边三角形，联结和．求证：．（2）如图2，四边形和四边形都是正方形，连接和．探究线段和有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论．（3）如图3，在图2的基础上，连接，将正方形绕着点旋转到某一位置时，恰好使得，．求出此时的度数．变式7．（2021·山西大同市·九年级期末）综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形中，点是线段的中点，将将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点，，，得到四边形，求证：四边形是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点落在对角线上时，设与交于点.求证：四边形是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点是线段的三等分点且，在正方形旋转的过程中当线段经过点时，请直接写出的值．三、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题解题技巧：1）动中求静，发现运动变化中的不变量、不变图形；2）把相关的量用含变量的代数式表示列方程或确定函数的关系；3）把握运动中的特殊位置，临界位置，分段、分情况讨论。例1．（2020·浙江义乌初三期末）如图，已知，点是等腰斜边上的一动点，以为一边向右下方作正方形，当动点由点运动到点时，则动点运动的路径长为______.变式1．（2021·天津·九年级专题练习）在边长为8的正方形中，E为对角线上一动点，F为边上一动点，，点E从点A出发，沿方向移动，若E点移动的路径长为，则的中点G移动的路径长______．变式2．（2021·浙江南浔·八年级期末）如图，已知有一张正方形纸片，边长为，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，，上当点恰好落在边上时，线段的长为________；在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为________．例2．（2022·江苏海门·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠CAB=60°，点E是对角线AC上的一个动点，连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得∠DEF=60°，且点F和点A位于DE的两侧，当点E从点A运动到点C时，动点F的运动路径长是（       ）A．4 B．4 C．8 D．8变式3．（2021·河南·郑州外国语中学三模）在矩形中，，，点在线段上，连接，过点作交线段于点．以和为邻边作平行四边形，当点从运动到时，点运动的路径长为______．变式4．（2020·四川·乐山外国语学校九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为_____．例3．（2020·广东新丰初三期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．（1）当为何值时，四边形是矩形；（2）当为何值时，四边形是菱形；（3）分别求出（2）中菱形的周长和面积．变式5．（2020·兴化市北郊中心中学初三期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由；（3）在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．变式6．（2020·洛阳外国语学校初三月考）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，,点的坐标分别为，动点从点沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动．同时出发，设运动时间为秒． （1）在时，点坐标 ，点坐标 ； （2）当为何值时，四边形是矩形？ （3）运动过程中，四边形能否为菱形？若能，求出的值；若不能，说明理由.变式7．（2021·江苏无锡市·八年级期末）如图①，在长方形ABCD中，已知AB=20，AD=12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．（2）当射线PE与边AB交于点Q时，①请直接写出AQ长的取值范围：　 ；②是否存在这样的t的值，使得QE=QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．