期末押题测试卷（二）-【高频考点】最新八年级数学下册高频考点专题突破（人教版）

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期末押题测试卷（二）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可．
【详解】∵，∴△ACD为等腰三角形，
∵，∴E为CD的中点，（三线合一）
又∵点是的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴，故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键．
2．（2022·浙江·杭州春蕾中学八年级期中）某校八年级学生的平均年龄为14岁，年龄的方差为3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生，对其年龄的说法正确的是（       ）
A．平均年龄为14岁，方差改变 B．平均年龄为16岁，方差不变
C．平均年龄为16岁，方差改变 D．平均年龄为14岁，方差不变
【答案】B
【分析】根据两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，而平均年龄为16岁，方差不变．
【详解】解：两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，
所以平均年龄为16岁，方差不变， 故选：B．
【点睛】本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．
3．（2021·江西吉安市·八年级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的合并，及二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，故A选项错误；
B、与3不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，故B选项错误；
C、，原式计算正确，故C选项正符合题意；
D、，原式计算错误，故D选项错误；选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减及乘除运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
4．（2022·广东广州·一模）今年3月份某校举行学雷锋志愿服务活动，为了解学生一周学雷锋志愿服务的次数、随机抽取了50名学生进行一周学雷锋志愿服务次数调查，依据调查结果绘制了如图的折线统计图．下列有关该校一周学雷锋志愿服务次数说法正确的是（　　）

A．众数是5 B．众数是13 C．中位数是7 D．中位数是9
【答案】A
【分析】一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数，把一组数据按照从小到大或从大到小先排序，如果这组数据有奇数个，则正中间的数即为中位数，如果数据是偶数个则最中间两位数的平均数为中位数．根据众数和中位数的定义可得答案．
【详解】解：从折线图可得：4人每人服务4次，13人每人服务5次，9人每人服务6次，7人每人服务7次，9人每人服务8次，6人每人服务9次，2人每人服务10次，
出现次数最多的数据是5次，所以众数是5次，故A符合题意，B不符合题意；
50个数据已经按照从小到大的顺序排列好，排在第25个，第26个数据是6次，6次，
所以中位数为（次），故C，D不符合题意；故选A
【点睛】本题考查折线统计图的应用，中位数与众数的含义，掌握“中位数与众数的含义”是解本题的关键．
5．（2021·江苏八年级期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：选项A：由三角形内角和定理可知∠A+∠B+∠C=180°，结合已知，得到2∠C=180°，∴∠C=90°，故△ABC为直角三角形，选项A不符合题意；
选项B：∵a²+b²≠c²，由勾股定理逆定理可知，△ABC不是直角三角形，选项B符合题意；
选项C：对等式左边使用平方差公式得到：b²-c²=a²，再由勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，不符合题意；选型D：由勾股定理逆定理可知：a²+b²=1+2=3=c²，∴△ABC为直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握各定理是解决本题的关键．
6．（2021·四川·成都教育科学研究院附属学校九年级期中）下列判断正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；故选：B
【点睛】此题考查了菱形、正方形、矩形的判定方法，掌握它们的判定方法是解题的关键．
7．（2022·安徽蚌埠·八年级期末）对于一次函数y＝－x＋2，下列说法错误的是（       ）
A．函数的图象向下平移2个单位长度得到y＝－x的图象
B．函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0）
C．函数的图象不经过第三象限
D．若两点A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则y1＜y2
【答案】D
【分析】A、根据图象的平移可得结论；
B、令y=0，求出x的值，即可求出函数与x轴的交点；
C、根据k和b的正负可得函数图象所过象限，进而所得结论；
D、分别将x=1和x=3代入函数关系式，求出y1和y2，再比较大小即可．也可画草图直接观察比较．
【详解】解：A、函数的图象向下平移2个单位长度得到y=-x的图象，故选项不符合题意；
B、令y=0，则x=2，所以函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故选项不符合题意；
C、因为k=-1＜0，b=2＞0，则函数图像经过第一、二、四象限，所以函数的图象不经过第三象限，故选项不符合题意；D、令x=1，y1=-1+2=1；令x=3，y2=-3+2=-1，则y1＞y2，故选项符合题意；故选：D
【点睛】此题考查了一次函数的性质，解题的关键是知道在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
8．（2022·山东八年级期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，BD⊥DC，BE⊥AC，垂足为E，若∠COD＝60°，AE＝，则▱ABCD的面积为（　　）

A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据题意分别求得线段AB和线段BD的长，利用底乘高求得平行四边形的面积即可．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，BD⊥DC，∠COD=60°，
∴∠DCO=30°，AB//CD，OB=OD
∴∠BAE=∠DCO=30°，∴AB=2BE，
∵AE=，,∴BE=1，
∵BE⊥AC，∴AB=2BE=2，
在Rt△ABO中，AO=2BO，AB=2，
同理利用勾股定理求得OB=，
∴BD=2OB=2×=，
∴▱ABCD的面积为AB•BD=2×=，故选：A．
【点睛】本题考查了平行的四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，了解含30°角的直角三角形的性质是解答本题的关键．
9．（2021·广西·八年级期末）如图，已知直线l：与x轴的夹角是30°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；……按此作法继续下去，则点B2021的坐标为（     ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据所给直线解析式可得与轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点，的坐标，通过相应规律得到坐标即可．
【详解】解：直线，与轴的夹角为，
轴，，，，，，
，，，，把代入，求得，，
同理可得，，，，故选：A．
【点睛】此题考查的是一次函数综合题，解题的关键是先根据所给一次函数判断出一次函数与轴夹角是解决本题的突破点；根据含的直角三角形的特点依次得到、、、的点的坐标．
10．（2021·四川·九年级期中）如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是与的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）个

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①证明∠DAE＝∠CDF，进而得∠DAF＋∠ADG＝90°，便可判断①的正误；
②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EFCD，便可判断②的正误；③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判断③的正误；④证明EF＝ED＝，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAD＝∠BDC＝45°，
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，即AG⊥DF，故①结论正确；
②在△AGF和△AGD中，，∴△AGF≌△AGD（ASA），∴GF＝GD，
∵AG⊥DF，∴EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，∴EFCDAB，故②正确；
③∵△AGF≌△AGD（ASA），∴AD＝AF＝AB，故③正确；
④∵EFCD，∴∠OEF＝∠ODC＝45°，∵∠COD＝90°，∴EF＝ED＝OE，
∴，故④错误．故选：C．
【点睛】主要考查正方形的性质，直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质与判定，涉及的知识点多，关系复杂，增加了解题的难度，关键是灵活运用这些知识解题．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·甘肃兰州·八年级期末）函数中自变量的取值范围是________．
【答案】且
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分式的分母不能为零解答；
【详解】解：由二次根式的性质得：x≥0，由分式的分母不能为零的：x≠3，
∴x≥0且x≠3，故答案为：x≥0且x≠3
【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，掌握其有意义的条件是解题关键．
12．（2021·山东淄博·八年级期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(4，0)，(0，4)，那么关于x的不等式0
【答案】0 【分析】直线与坐标轴的交点，然后根据图象直接写出不等式的解集．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点(4，0)，(0，4)，
∴由图象可知，不等式0 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
13．（2022·山东菏泽·八年级期末）某学校生物课把学生的笔试、实验操作两项成绩分别按60％、40％的比例计入学生的学期总成绩，小亮的实验操作这一项成绩是81分，要想学期总成绩不低于90分，那么他的笔试成绩至少要达到_____分
【答案】96
【分析】设小亮的笔试成绩是x分，根据加权平均数的公式列出不等式，解之取最小值即可．
【详解】解：设小亮的笔试成绩是x分，根据题意得：
60%x+81×40%≥90解得x≥96故答案为：96
【点睛】本题考查了主要考查加权平均数和一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14．（2021·江苏八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，若，，，则______．

【答案】26
【分析】利用手拉手模型证明，根据八字形证明角相等，进而可证明，再利用勾股定理解答即可．
【详解】和为等腰直角三角形


在和中

在中，,在中，，

在中，，在中，

在中，，在中，

故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证，得到直角三角形，再结合勾股定理的运用是解题关键．
15．（2021·江苏八年级期末）比较大小：__________（填写“”或“”或“”））
【答案】<
【分析】先将两个数分母有理化，再比较大小即可
【详解】
< 故答案为：<
【点睛】本题考查了实数大小比较，分母有理化，分母有理化是解题的关键．
16．（2021·陕西咸阳·八年级期中）先将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，再将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则＝___．
【答案】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则即可求得k、b的值，代入计算即可．
【详解】解：将函数y=kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，所得函数为y=kx-1，
将函数y=3x+b的图象向上平移1个单位长度，所得函数为y=3x+b+1，
∵平移后的两个函数的图象重合，
∴k=3，b+1=-1，∴b=-2，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
17.（2022·江苏无锡期中）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．

【答案】4+2
【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．
【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，

∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，
又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，
由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'．
在△DEF和△GEF'中，，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形，可得A，E关于GF'对称，
∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，
∴，在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，
∴BF'+EF'≥2，∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，故答案为：4+2．
【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
18．（2021·河南·郑州外国语中学三模）在矩形中，，，点在线段上，连接，过点作交线段于点．以和为邻边作平行四边形，当点从运动到时，点运动的路径长为______．

【答案】
【分析】确定点运动的路径为一条直线，当点在时，点与点重合，当点在时，求得点的位置，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可得点、的运动轨迹为线段，为定点
在平行四边形中，，可以得到运动的路径也为一条线段
由题意可得，当点在时，点与点重合
当点在时，与重合，如下图：

则线段就是点运动的路径，在平行四边形中，，，
在矩形中，，∴，即
又，，∴
∵∴∴
又∵∴∴
∴，∴故答案为
【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质确定点运动的轨迹．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021·四川省成都实外初二月考）计算
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
【答案】（1）-5；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】（1）先算括号里的，再算乘法，最后算减法；（2）先用二次根式的性质化简各项，再作加减法；
（3）先去括号，再计算加减法；（4）利用乘法分配律计算即可；（5）先化简各项，再作加减法；
（6）利用多项式的乘法法则计算即可.
【解析】解：（1）原式====-5；
（2）原式===；
（3）原式==；
（4）原式===；
（5）原式==；
（6）原式===
=.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，注意运算律和乘法公式的运用.
20．（2022·云南·一模）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）全面总结国际社会在生物多样性保护方面的经验，谋划未来十年全球生物多样性治理的蓝图．第一阶段的大会于2021年10月11日至15日圆满结束，形成了3项重要成果，其中一项就是《昆明宣言》；第二阶段会议将于2022年上半年在昆明线下举行，围绕“2020年后全球生物多样性框架”这个核心议题进行磋商．某初中学校在全校进行宣传和学习，为了了解学生对《昆明宣言》的内容掌握情况．从七、八年级中各随机抽取10名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了收集、整理、描述和分析
【收集数据】七、八年级中各随机抽取10名学生，测试的成绩如下：
七年级
68
82
58
90
87
87
78
94
100
96
八年级
70
93
75
86
94
80
90
91
71
90
【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：






七年级
1
1
a
3
4
八年级
0
0
3
b
5
【分析数据】

平均数
众数
中位数
七年级
84
87
c
八年级
84
d
88
【应用数据】(1)由上表填空：___________，___________，___________，___________；
(2)假设七年级和八年级各有200名学生，这些学生都参加了此次测试，若成绩90分及以上为优秀，请估计七年级和八年级成绩优秀的学生的总人数；(3)你认为这两个年级中，哪个年级的学生对《昆明宣言》知识掌握的总体水平较好？请说明理由．
【答案】(1)；；；(2)人
(3)从众数和中位数比较来看，八年级的学生对《昆明宣言》知识掌握的总体水平较好
【分析】（1）根据题中数据，结合中位数、众数概念直接求解即可；
（2）利用样本估计总体，找出七年级、八年级中优秀人数占比即可得出结论；
（3）从众数和中位数来比较看得出决策即可．
【解析】 (1)解：根据七、八年级各随机抽取的10名学生测试的成绩可知，七年级的有1人，则；八年级的有2人，则；
将七年级随机抽取的10名学生测试的成绩从小到大排列为：
58
68
78
82
87
87
90
94
96
100
；八年级随机抽取的10名学生测试的成绩为：
70
93
75
86
94
80
90
91
71
90
；故答案为：；；；；
(2)解：七年级成绩优秀的学生人数为（人）；
八年级成绩优秀的学生人数为（人）；
七年级和八年级成绩优秀的学生的总人数为（人）；
(3)解：从众数来看，七年级众数为，八年级众数为，，则得到八年级的学生对《昆明宣言》知识掌握的总体水平较好；
从中位数来看，七年级中位数为，八年级中位数为，，则得到八年级的学生对《昆明宣言》知识掌握的总体水平较好；
从众数和中位数比较来看，八年级的学生对《昆明宣言》知识掌握的总体水平较好．
【点睛】本题考查统计知识，涉及到对数据的整理、众数、中位数、用样本估计总体和通过统计数据处理分析作出决策等知识点，掌握相关知识点的概念及相应数据公式是解决问题的关键．
21．（2022·黑龙江肇源·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

【答案】（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
22．（2021·广东·深圳市福永中学七年级期中）甲乙两工程队共同承建A，B两地之间的道路，两队分别从A，B两地相向修建．已知甲队先施工3天，乙队才开始施工，乙队施工几天后因另有紧急任务暂停施工，因考虑工期，由甲队以原速的2倍修建，乙队完成紧急任务后又以原速恢复施工，直到道路修通．甲，乙两队各自修路长度与时间之间的关系如图所示，请结合图中信息解答下列问题：

(1)试问：在施工的过程中，甲队在提速前每天修道路多少米？
(2)求乙队中途暂停施工的天数；
(3)求A，B两地之间的道路长度．
【答案】(1)甲队在提速前每天修道路88米(2)乙队中途暂停施工的天数为3天
(3)AB两地之间长度为2508米
【分析】（1）根据图象求出甲队再提速前每天修道路的米数即可；
（2）根据图象得出乙队的修路速度，进而解答即可；
（3）根据甲队的修路速度与施工天数得出甲队的修路总长便可求解；
(1)解：根据题意，设甲队在提速前每天修道路x米，
可得：5x＝440，解得：x＝88，即甲队在提速前每天修道路88米；
(2)解：根据题意，乙队的速度为（米/天），
设乙队中途暂停施工的天数为t，
可得：220×{（6－3）＋[11－（6＋t）]}＝1100，解得：t＝3，
即乙队中途暂停施工的天数为3天；
(3)解：由（1）知，甲队提速前的施工速度为88米/天，则提速后甲队是速度为88×2＝176（米/天），
设AB两地之间长度为a，则a＝88×6＋176×（11-6）＋1100，解得：a＝2508，
即AB两地之间长度为2508米．
【点睛】此题考查分段一次函数的实际应用，数形结合看懂每段线段所代表的修路进度是解决本题的关键．
23．（2021·江西赣州·八年级期中）（阅读材料）如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
（实例剖析）已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
（学以致用）根据上面材料回答下列问题：（1）己知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______；（2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）己知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____．
【答案】（1）1，2；（2）这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；（3）3，
【分析】（1）令a=x，b=，根据即可得答案；（2）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解；（3）设，则，根据可求出的最小值，即可得的最大值，即可得答案．
【详解】（1）令a=x，b=，∵，∴=2，
∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为2．故答案为：1，2
（2）设这个矩形的长为米，所用的篱笆总长为米，
∵围一个面积为的长方形花园，∴宽为米，∴∵，∴，
当且仅当时，即时有最小值，最小值为40．时，=10，
∴当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米．
（3）设，则，
∵，∴≥=4，∴当且仅当时，即x=3时，有最小值4，
∴当x=3时，的最大值为，即取到最大值为．故答案为：3，
【点睛】本题主要考查阅读型问题，读懂题目中给出的已知信息，理解阅读材料介绍的知识是解题的关键．
24．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于、两点，将沿直线折叠，使点落在点处．

(1)求点A和点B的坐标；(2)求OC的长；(3)若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时请直接写出直线的函数表达式．
【答案】(1)，(2)(3)点沿射线运动，与面积相等，直线的函数表达式为：或
【分析】（1）在中，令得，令得，即可得，；
（2）设直线与轴交于点，连接，在中，令得，得，即得，故，可得；
（3）分两种情况：①当在第一象限时，由与面积相等，得，即可得点的坐标为，，直线的解析式为：；②当在第二象限时，设点到轴的距离为，可得，可求得点的坐标为，直线的解析式为：．
(1)解：在中，令，则，令，则，，；
(2)解：设直线与轴交于点，连接，如图：

在中，令得，，，
沿直线折叠，使点落在点处，，；
(3)解：①当在第一象限时，如图：

与面积相等，，点的纵坐标为3，
当时，，解得：，点的坐标为，，直线的解析式为：；
②当在第二象限时，如图：

，设点到轴的距离为，
则，
与面积相等，，解得，点的横坐标为，
当时，，点的坐标为，直线的解析式为：；
综上所述，点沿射线运动，与面积相等，直线的函数表达式为：或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到待定系数法、三角形面积的计算等，解题的关键是掌握折叠的性质及根据已知列方程，求出到轴的距离．
25．（2021·福建三元·八年级期中）在长方形中，AB=5，BC=3，将长方形绕点顺时针旋转α0°<α<90°，得到长方形AEFG．（1）如图1，当点落在边上时，延长交于点，求证：EM=AE；（2）如图2，当GC=GB时，求α的值；（3）如图3，当点落在线段CF上时，与交于点，求△ADN的面积．


【答案】（1）证明见解析；（2）60°：（3）.
【分析】（1）只需要证明△EFM≌△ADE即可得到答案；（2）连接DG，证明△CDG≌△BAG，得到△ADG为等边三角形，从而可以得到答案；（3）连接AC，证明△ABC≌△AEC，得到∠EAC=∠BAC=∠ACD，从而得到CN=AN，再根据勾股定理计算即可得到答案.
【详解】解：（1）由旋转的性质得：BC=EF，∠B=∠FEA
∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠FEA=90°，BC=AD=EF
∵∠FEM+∠AED=90°，∠DAE+∠AED=90°∴∠FEM=∠DAE
∴△EFM≌△ADE（HL）∴EM=AE

（2）如图所示，连接DG ∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD
∵GC=GB∴∠GCB=∠GBC∴∠DCG=∠ABG∴△CDG≌△BAG ∴DG=AG
由翻折的性质可得：AD=AG∴AD=AG=DG∴△ADG为等边三角形
∴∠DAG=60°∴∠DAE=30°∴∠BAE=60°∴α=60°
（3）如图所示，连接AC 由矩形的性质和翻折的性质可得：AB=AE，∠AEF=∠B=90°
∵∠AEF=∠B=90°∴∠AEC=∠B=90° 又∵AB=AE∴△ABC≌△AEC（HL）∴∠EAC=∠BAC
∵AB∥CD∴∠BAC=∠ACD∴∠EAC=∠ACD∴NC=AN
设DN=x，则NC=AN=CD-DN=5-x在直角三角形AND中，AN2=DN2+AD2
∴x2+32=5-x2解得x=85∴S△ADN=12AD·DN=125

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
26．（2021·辽宁大东·八年级期末）如图，在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点且，连接．（1）如图，若是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；（2）如图，若是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；（3）如图，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）7
【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论．
（2）过点作交于点，先证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形，得出，，然后由证得，即可得出结论．
（3）过点作交延长线于点，证明同（2），得出，证明，，则，，得出，，则，由勾股定理即可得出结果．
【详解】解：（1）；理由如下：四边形是菱形，，
，是等边三角形，，
是线段的中点，，，
，，，，．故答案为；
（2）猜想线段与的数量关系为：；
证明：过点作交于点，如图所示：

四边形为菱形，，
，，，与都是等边三角形，
，，，又，，
又，是等边三角形，，，，
又，，
在和中，，，；
（3）过点作交延长线于点，如图：
四边形为菱形，，菱形的周长为，
是等边三角形，，，，，
又，，又，是等边三角形，
，，，又，，
在和中，，，，
，，，
是等边三角形，，，
在中，，，，
，，，，
由勾股定理得：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形．