初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式测试题

这是一份初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式测试题，文件包含必考点02二次根式的运算-对点变式题最新八年级数学下学期期中期末必考题精准练人教版解析版docx、必考点02二次根式的运算-对点变式题最新八年级数学下学期期中期末必考题精准练人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

2021-2022学年八年级数学下学期期中期末必考题精准练
必考点02 二次根式的运算

●题型一 最简二次根式
◎◎最简二次根式的识别◎◎
【例题1】（2021秋•郑州期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝2，不符合题意；
C、＝，不符合题意；
D、＝|a|，不符合题意．
故选：A．
◎◎化二次根式为最简二次根式◎◎
【例题2】将下列各式化成最简二次根式：
（1）； （2）； （3） （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】根据二次根式的性质逐一化简可得．
【解答】解：（1）；
（2） ；
（3）
（4）∵ 有意义，∴a ≥0, 原式= 27a3=32⋅a2⋅3a=3a3a.
【解题技巧提炼】
1、 判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这两个条件缺一不可.
2、 将一个二次根式化简成最简二次根式的方法:
“一分”,即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式.
“二移”,即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替,移到根号外,其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应将其写在分母的位置.
“三化”,即化去被开方数中的分母将分母写成乘积的形式.
●题型二 二次根式的乘除
◎◎利用乘除法则进行计算◎◎
【例题3】计算： (1)； (2)；
【答案】（1) ； （2）.
【分析】进行二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法后，利用法则进行计算，有括号的要先算括号里面的，然后用算术平方根的性质化简,结果要为最简二次根式.
【解答】解：（1）原式
（2）原式 .

◎◎直接利用积（或商）的算术平方根的性质化简◎◎
【例题4】化简：（1） （2） （3） （4）

【答案】（1） ； （2）； （3）； （4）.
【分析】根据积（或商）的算术平方根的性质进行化简，（2）和（4）中最后的结果要利用进行化简.

【解答】解：（1）原式=
（2）∵∴原式=
（3）原式=
（4）原式=
【解题技巧提炼】
1、（1）积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：= （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
2、规律方法总结：
在使用性质= （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
◎◎化去分母中的二次根式◎◎
【例题5】把化去分母中的根号后得（　 　）
A．4b B． C． D．
【答案】D．
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；
∴＝＝＝．
故选：D．
【例题6】（2021春•海淀区校级期末）化简结果正确的是（　 　）
A．3 B．3 C．17 D．17﹣12
【答案】A．
【分析】原式分子分母乘以有理化因式，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝3+2．
故选：A．
【解题技巧提炼】
常见的几种化简类型：①当分母是或的形式时，分子与分母同乘；②当分母是（）的形式时,分子与分母同乘（）利用平方差公式将分母中的根号去掉；③当分母是（）的形式时,分子与分母同乘（),利用平方差公式将分母中的根号去掉.
●题型三 同类二次根式
【例题7】下列各组二次根式中，可化为同类二次根式的是(     )
A.和                          B. 和                       C. 和                      D. 和
【答案】C
【考点】同类二次根式
【分析】把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断．
【解答】A.5，3被开方数不同，不是同类二次根式；
B.32与23被开方数不同，不是同类二次根式；
C.2与8=22被开方数相同，是同类二次根式；
D.8=22，12=23被开方数不同，不是同类二次根式．
故选C．


【解题技巧提炼】
1、把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
2、同类二次根式类似于整式中的同类项，几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
3、判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．


●题型四 二次根式的加减
【例题8】（2021春•黄冈月考）下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．+＝ C．2﹣＝1 D．3+2＝5
【答案】A．
【分析】根据二次根式的加减运算法则计算判断即可．
【解答】解：A、﹣＝2﹣＝，正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，不合题意；
C、2﹣＝，不合题意；
D、3和2不是同类二次根式，不能合并，不合题意；
故选：A．
【例题9】（2021春•漳平市月考）若，则x的值等于（　　）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
【答案】C．
【分析】根据二次根式的性质，首先对二次根式进行化简，再合并同类二次根式，建立关于x的方程即可．
【解答】解：由可得，3++＝10，
∴5＝10，
∴＝2，
∴2x＝4，即x＝2．
故选：C．
【解题技巧提炼】
（1）二次根式加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
●题型五 二次根式的混合运算
【例题10】（2021秋•信都区期末）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）3； （2）．
【分析】（1）根据完全平方公式将式子展开，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式乘法，先化简题目中的式子，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式＝2+2+1﹣2＝3；
（2）原式＝﹣9+﹣＝5﹣9+﹣＝﹣3﹣．

【解题技巧提炼
（1） 二次根式的混合运算是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
（2） 学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
③实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算.
（3）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．

●题型六 二次根式的化简求值
【例题11】（2021秋•道县期末）若a＝1+，b＝1﹣，则代数式的值为（　　）
A．3 B．±3 C．5 D．9
【答案】A．
【分析】首先把所求的式子化成的形式，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式＝＝＝＝3．
故选：A．
【例题12】已知,，则＝（   ）
A.                             B.                           C.                               D. 
【答案】 A.
【分析】根据a和b的乘积以及和的符号即可分别得出a和b的范围，根据a和b结合二次根式的性质将后者进行化简，将a和b和ab的值代入求值即可.
【解答】解：∵a+b＝﹣7＜0，ab=4＞0，
∴a＜0，b＜0
原式=（﹣abb ）+（﹣aba ）=﹣ab(a+b)ab ，
∵a+b＝﹣7，ab=4，
∴原式＝﹣4+(−7)4＝ 72 ，
故答案为：A.

【解题技巧提炼
1、二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
2、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分分，避免互相干扰．
●题型六 二次根式的实际应用
【例题13】如图，有一个边长为cm的正方形,在内部挖去一个边长为cm的正方形,则剩余部分(阴影)的面积　 　cm2.

【答案】46.
【分析】用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出剩余部分的面积.
【解答】解：剩余部分的面积为：
（3+2）2 ﹣ （3-2）2 ，
=( 3+2+3−2 )( 3+2−3+2 )，
=2 3 ×2 2 ，
= 46 ( cm2)，
故答案为：46.
【解题技巧提炼
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．

●题型八 二次根式的规律探究题
【例题14】观察下列等式：
①＝1×3；②；③5×7；
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第④个等式：＝　　 ×　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．
【分析】根据规律化简即可．
【解答】解：（1）∵①＝＝1×3；
②＝＝3×5；
③＝＝5×7；
…
∴＝＝7×9；
故答案为：7，9；
（2）由（1）知，第n个等式＝（2n﹣1）（2n+1），证明如下：
．

【解题技巧提炼
二次根式的规律探究题主要探究数式，算法，算理的规律，解题的关键在于观察并分析题中所给的运算过程，准确推理，合理猜想，得出一般的规律，然后进行论证，最后运用规律来解决所给的问题.



◆题型一 最简二次根式
1．（2021秋•覃塘区期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，不符合题意；
D、＝2，不是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查当时最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

◆题型二 二次根式的乘除
2、（2021春•盐都区月考）计算：
（1）； （2）．

【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简；
【分析】（1）根据二次根式乘除法运算法则进行计算；
（2）根据二次根式乘除法运算法则进行计算．
【解答】解：（1）原式＝×＝；
（2）原式＝3×8x2＝24x2＝24x2＝24x2•＝24y2．



◆题型三 二次根式的加减
3、计算
（1） （2）

（3）（＋）＋（－） （4）


【答案】（1）； （2）； （3）； （4）.
【考点】二次根式的加减法.
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=；
【分析】直接利用二次根式加减法进行计算，先把二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并即可求解.
◆题型四 同类二次根式
4、（2021秋•丰泽区校级期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 　 　．
【答案】﹣3．
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
【解答】解：＝2
根据题意得：x+5＝2，
解得：x＝﹣3．
故答案是：﹣3．

5、下列二次根式中，与属同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】各式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的即为同类二次根式．
【解答】解：A、原式＝3，不符合题意；
B、原式＝3|a|，不符合题意；
C、原式＝3|b|，不符合题意；
D、原式＝3|b|，符合题意．
故选：D．
◆题型五 二次根式的混合运算
6、（2021秋•郓城县期中）计算：
（1）； （2）；


（3）； （4）．


【答案】（1）4+3；（2）2﹣；（3）2．（4）95+20．
【分析】（1）运用乘法分配律进行计算，然后将二次根式化为最简即可．
（2）先将括号里面的各项分别除以2，然后在合并同类二次根式即可．
（3）运用平方差公式进行计算．
（4）根据完全平方公式进行展开运算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝+＝4+3；
（2）原式＝2﹣；
（3）原式＝﹣＝5﹣3＝2．
（4）原式＝75+20+20＝95+20．

◆题型六 二次根式的化简求值
7、（2021秋•船山区校级期末）已知：，求下列代数式的值．
（1）2； （2）．
【答案】（1）10；（2）10.
【分析】（1）先求出，代入x2+y2求值；
（2）先通分，再将，代入求值．
【解答】解：∵，
∴，
（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2）2﹣2×1＝10；
（2）＝＝10．
8、（2021春•伊通县期末）先化简，再求值．
，其中x＝+1，y＝﹣1．
【答案】﹣1.
【分析】将原式进行化简，然后将x与y的值代入即可求出答案．
【解答】解：当x＝+1，y＝﹣1时
原式＝（6+3）﹣（4+6）
＝﹣
＝﹣
＝﹣1

◆题型七 二次根式的应用
9、（2021秋•峄城区期末）若长方形的周长是（30+16）cm，一边长是（﹣2）cm，则它的面积是 　　cm2．
【答案】.
【分析】根据长方形的周长和面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵长方形的周长是（30+16）cm，一边长是（﹣2）cm，
∴长方形的另一条边为[30+16﹣2（﹣2）]＝（17+7）cm，
∴它的面积＝（﹣2）×（17+7）＝（1+3）cm2，
故答案为：（1+3）
10、（2021秋•朝阳区期中）一个长方体纸盒的体积为dm3，若这个纸盒的长为dm，宽为dm，则它的高为（　 　）
A．1dm B．2dm C．2dm D．48dm
【答案】A．
【分析】设它的高为xdm，根据长方体的体积公式列出方程求解即可．
【解答】解：设它的高为xdm，
根据题意得：2××x＝4，
解得：x＝1．
故选：A．
◆题型八 二次根式的规律探究题
11、判断下列各式是否成立：
＝2；＝3；＝4；＝5
类比上述式子，再写出两个同类的式子　 　、　 　，能看出其中的规律吗？用字母n的式子表示这一规律．
【答案】，．
【分析】类比上述式子，即可两个同类的式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来．
【解答】解：，，
用字母表示这一规律为：，
故答案为：，．





1、（2022•泉州模拟）下列二次根式中，不能与合并的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B.
【考点】同类二次根式；
【分析】各式化简为最简二次根式后，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、＝2，不符合题意；
B、＝3，符合题意；
C、＝3，不符合题意；
D、＝4，不符合题意．
故选：B．
2、（2021秋•常宁市期末）下列运算中正确的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【考点】二次根式的乘除法；
【分析】根据二次根式的乘法法则计算，判断即可．
【解答】解：A、×＝＝4，本选项计算错误，不符合题意；
B、×＝，本选项计算错误，不符合题意；
C、×＝，本选项计算错误，不符合题意；
D、9×＝9×＝9×＝3，本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3、（2021秋•浦东新区校级期中）下列运算正确的是（　 　）
（1）＝1.5﹣0.5＝1；（2）；（3）；（4）；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简；
【分析】直接利用二次根式的性质化简判断得出答案．
【解答】解：（1）＝＝，故此选项不合题意；
（2）2＝＝，故此选项不合题意；
（3）＝|x﹣5|，故此选项不合题意；
（4）﹣x＝﹣，故此选项符合题意；
故选：A．
4、（2021春•广西月考）如果成立，那么x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≥0 C．0≤x≤1 D．x为任意实数
【答案】A．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式有意义的条件；
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得，
解得：x≥1，
故选：A．
5、（2021秋•城固县期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【考点】二次根式的混合运算；
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据分母有理化对D进行判断．
【解答】解：A．原式＝2，所以A选项不符合题意；
B．2与不能合并，所以B选项不符合题意；
C．原式＝3，所以C选项不符合题意；
D．原式＝＝＝，所以D选项符合题意；
故选：D．

6、（2021春•遵义期末）设＝a，＝b，则可以表示为（　　）
A． B．10ab C． D．
【答案】C．
【考点】二次根式的乘除法；
【分析】根据二次根式的乘除运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝×
＝×，
当＝a，＝b时，
原式＝，
故选：C．
7、（2021春•饶平县校级期中）在二次根式①；②；③；④；⑤；⑥中，最简二次根式有　 　．（填序号）
【答案】②③⑥．
【考点】最简二次根式；
【分析】先根据二次根式的性质画简各根式，再根据最简二次根式的定义判断即可，也可以直接根据简二次根式的定义进行判断．
【解答】解：①＝a，不是最简二次根式，
④＝，不是最简二次根式，
⑤＝2，不是最简二次根式，
而②③⑥是最简二次根式．
故答案为：②③⑥．
8、（2021秋•鼓楼区校级期末）已知a＝，b＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值；
【分析】原式进行通分计算，然后代入求值．
【解答】解：原式＝＝，
当a＝，b＝时，
原式＝＝＝﹣2，
故选：A．
9、（2021秋•思明区校级期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 .
【答案】3.
【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小；
【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴的整数部分x＝2，
则小数部分是：6﹣﹣2＝4﹣，
则（2x+）y＝（4+）（4﹣）＝16﹣13＝3．
故答案为：3．
10、化简，小燕、小娟的解法如下：
小燕：＝＝＝；小娟：＝＝＝．
对于两位同学的解法，正确的判断是（　　）
A．小燕、小娟的解法都正确
B．小燕的解法正确，小娟的解法不正确
C．小燕、小娟的解法都不正确
D．小娟的解法正确，小燕的解法不正确
【答案】A．
【考点】分母有理化；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；
【分析】注意到本题的结构特征，可用商的二次根式法则计算，再有理化分母，也用分数的性质把分母化成一个完全平方数，再运用商的二次根式法则计算．
【解答】解：小燕是先用商的二次根式法则计算，再有理化分母，小娟是用分数的性质把分母化成一个完全平方数，再运用商的二次根式法则计算的，两个计算都正确，
故选：A．
11、（2021秋•启东市期末）先化简，再求值：，其中；
【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值；分母有理化；
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值；
【解答】解：（1）原式＝[﹣]
＝[﹣]
＝
＝，
当x＝2+时，
原式＝＝；

12、（2021•武胜县校级模拟）当a＝时，求的值．
【考点】二次根式的化简求值；
【分析】首先把﹣﹣化简，然后代入a的值．
【解答】解：∵a＝＝﹣1，
∴＝﹣a﹣1
﹣﹣＝a+1+﹣＝a+1＝﹣．

13、（2021春•沂源县期末）求代数式a+的值，其中a＝1007，如图是小亮和小芳的解答过程：
（1）　 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2的值，其中a＝﹣2021.

【考点】二次根式的化简求值；
【分析】（1）根据二次根式的性质和a＝1007得出答案即可；
（2）先根据a＝﹣2021和二次根式的性质进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）∵a＝﹣2021，
∴a+2
＝a+2
＝a+2|a﹣3|
＝a+2（3﹣a）
＝a+6﹣2a
＝﹣a+6，
＝2021+6
＝2027．
14、（2021春•铁西区期末）在解决问题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2．
∴a2﹣2a＝1．
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
若a＝，求2a2﹣12a+1的值．
【考点】二次根式的化简求值；分母有理化；
【分析】先利用分母有理化化简a，再利用完全平方公式求出a2﹣6a的值，最后整体代入．
【解答】解：∵a＝
＝
＝
＝3+．
∴．
∴（a﹣3）2＝7．
即a2﹣6a+9＝7．
∴a2﹣6a＝﹣2．
∴2a2﹣12a＝﹣4．
∴2a2﹣12a+1
＝﹣4+1
＝﹣3．
即2a2﹣12a+1的值为﹣3．

15、（2021秋•二道区期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　 　，b＝　 ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+4＝（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝　 　．
【考点】二次根式的性质与化简；完全平方式；
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；
（3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2，
∵a+b＝（m+n）2，且a、b、m、n均为整数，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2，2mn；
（2）（m+n）2＝m2+2mn+3n2，
∵x+4＝（m+n）2，
∴，
又∵x、m、n均为正整数，
∴或，
即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；
（3）原式＝
＝
＝，