初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数巩固练习

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2021-2022学年八年级数学下学期期中期末必考题精准练
必考点13 一次函数的应用---方案的选择与设计


●题型一 租车方案
【例题1】（2022春•罗源县期中）有A、B两种型号的货车：用2辆A型货车和1辆B型货车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型货车和2辆B型货车装满货物一次可运货11吨．请用学过的方程（组）知识解答下列问题：
（1）求A型、B型两种货车装满货物每辆分别能运货多少吨？
（2）现某物流公司有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型货车每辆需租金100元/次，B型货车每辆需租金120元/次．请你帮该物流公司选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合某物流公司现有31吨货物，即可得出3m+4n＝31，即n=31-3m4，由m、n均为正数即可得出各租车方案．根据租车总费用＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，分别求出三种租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意，得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）由题意可得：3m+4n＝31，即n=31-3m4，
∵m，n均为整数，
∴共有m=1n=7，m=5n=4和m=9n=1三种情况．
设租车费用为W元，
则W＝100m+120n
＝100m+120•31-3m4
＝10m+930，
∵10＞0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝1时，W最小，此时W＝10×1+930＝940．
∴当租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费用为940元．

【解题技巧提炼】
在实际问题中用一次函数确定最佳方案的一般步骤：
（1） 从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个及两个以上模型）；
（2） 列出关系式，在自变量取不同值时比较对应函数值的大小关系；
（3） 结合实际需要选择最佳方案。

●题型二 选择方案
【例题2】（2021秋•任城区校级期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 　 　元；甲复印社每张收费是 　 　元；
（2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义；
（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；
（4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元和甲复印社每张收费；
（2）先设出乙复印社一次函数解析式，用待定系数法可以求得，再说明一次项系数的实际意义；
（3）先求得甲复印社对应的函数关系式，然后令两个解析式的函数值相等，即可求得当复印多少页时，
两复印社实际收费相同；
（4）将x＝200代入（2）（3）中的函数解析式，然后比较它们的大小，即可解答本题．
【解答】解：（1）由图可知，
乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元；
甲复印社每张收费是10÷50＝0.2（元）．
故答案为：18；0.2；
（2）设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝kx+b，
把（0，18）和（50，22）代入解析式得：
b=1850k+b=22，
解得：k=0.08b=18，
∴乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝0.08x+18，
一次项系数的实际意义为每张收费0.08元；
（3）由（1）知，甲复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝0.2x，
令0.2x＝0.08x+18，
解得，x＝150，
答：当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；
（4）当x＝200时，
甲复印社的费用为：0.2×200＝40（元），
乙复印社的费用为：0.08×200+18＝34（元），
∵40＞34，
∴当x＝200时，选择乙复印社．

【解题技巧提炼】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

●题型三 购买方案
【例题3】（2021春•新县期末）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛
球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用，该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽
毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促
销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%销售）；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出yA，yB与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
【分析】（1）根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式；
（2）分三种情况进行讨论，当yA＝yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB时，分别求出购买划算的方案；
【解答】解：（1）由题意，得yA＝（10×30+3×10x）×0.9＝27x+270；
yB＝10×30+3（10x﹣20）＝30x+240；
（2）当yA＝yB时，27x+270＝30x+240，得x＝10；
当yA＞yB时，27x+270＞30x+240，得x＜10；
当yA＜yB时，27x+270＜30x+240，得x＞10；
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算；
当x＝10时，两家超市一样划算；
当x＞10时在A超市购买划算．

【解题技巧提炼】
本题考查了销售问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，解答时运用销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．

●题型四 采购方案
【例题4】（2021•鼓楼区校级模拟）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于200个，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？最大利润是多少元？
【分析】1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，根据用620元购进50个肉粽
和30个蜜枣粽，可得出方程，解出即可；
（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元，根据w＝蜜枣粽的利润+肉粽的利润，得一次函数，根据一次函数的增减性，可解答．
【解答】解：（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，
由题意得：50（x+6）+30x＝620，
解得：x＝4，
∴6+4＝10（元），
答：蜜枣粽的进货单价是4元，则肉粽的进货单价是10元；
（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元，
由题意得：w＝（14﹣10）y+（6﹣4）（300﹣y）＝2y+600，
∵2＞0，
∴w随y的增大而增大，
∵y≤200，
∴当y＝200时，w有最大值，w最大值＝400+600＝1000，
答：第二批购进肉粽200个时，总利润最大，最大利润是1000元．

【解题技巧提炼】
本题考查了一次函数，一元一次方程及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．

●题型五 利润方案
【例题5】已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套．已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：
时装布料
甲
乙
A种（米）
0.6
1.1
B种（米）
0.9
0.4
若销售一套甲种型号的时装可获利润45元，销售一套乙种型号的时装可获利润50元．设生产乙种型号的时装为x套，用这批布料生产这两种型号的时装利润为y元．
（1）写出y（元）与x（套）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）雅美服装厂在生产这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）生产这两种时装的利润＝生产甲的利润+生产乙时装的利润，然后化简得出函数关系式，再根据有A种布料70米，B种布料52米来判断出自变量的取值范围；
（2）跟（1）中得出的函数式的性质来判定出哪种方案最好．
【解答】解：（1）y＝50x+（80﹣x）×45
y＝5x+3600
1.1x+0.6×（80﹣x）≤70
0.4x+0.9×（80﹣x）≤52
故40≤x≤44；
（2）y＝5x+3600图象成直线，是增函数，
所以当x取最大值44时y有最大值，
y＝5×44+3600＝3820．
该服装厂在生产这批服装中，当生产乙型号44套，甲型号36套时，所获利润最多，最多是3820元．

【解题技巧提炼】
解答此类题时，应先正确建立函数模型，确定自变量的取值范围，设计方案时，要注意自变量的所有整数值，再根据函数的性质求最大（小）值；还可以算出各种方案的值再进行比较．

●题型六 进货方案
【例题6】（2022•东坡区校级模拟）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．

原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500
餐椅
a﹣110
70
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量比餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过260张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
【分析】（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进餐桌x张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过260张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设本次成套销售量为m套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进餐桌x张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过260张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设本次成套销售量为m套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得600a=160a-1，
解得a＝150，
经检验，a＝150是原分式方程的解；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤260，
解得：x≤40．
∵a＝150，
∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张．
依题意可知：
W=12x•（500﹣150﹣4×40）+12x•（270﹣150）+（5x+20-12x•4）•（70﹣40）＝245x+600，
∵k＝245＞0，
∴W关于x的函数单调递增，
∴当x＝40时，W取最大值，最大值为．
故购进餐桌40张、餐椅220张时，才能获得最大利润，最大利润是10400元．
（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，
设本次成套销售量为m套．
依题意得：（500﹣160﹣4×50）m+（40﹣m）×（270﹣160）+（220﹣4m）×（70﹣50）＝10400﹣2250，
即8800﹣50m＝8150，解得：m＝13．
答：本次成套的销售量为13套．

【解题技巧提炼】
本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式、一次函数的性质及解一元一次方程，解题的关键是：
（1） 由数量相等得出关于a的分式方程；
（2）根据数量关系找出W关于x的函数解析式；
（3）根据数量关系找出关于m的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（方程或方程组）是关键．

●题型七 调运方案
【例题7】（2021•寻乌县模拟）疫情期间，甲、乙两个仓库要向M，N两地运送防疫物资，已知甲仓库可调出50吨防疫物资，乙仓库可调出40吨防疫物资，M地需35吨防疫物资，N地需55吨防疫物资，两仓库到M，N两地的路程和运费如下表：

路程/千米
运送1千米所需运费/（元/吨）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
M地
20
15
12
12
N地
25
20
10
8
（1）设从甲仓库运往M地防疫物资x吨，两仓库运往M，N两地的总费用为y元，求y关于x的函数关系式．
（2）如何调运才能使总运费最少？总运费最少是多少？
【分析】（1）设甲仓库运往M地的防疫物资为x吨，甲仓库运往N地的防疫物资为（50﹣x）吨，乙仓库运往M地的防疫物资为（35﹣x）吨，乙仓库运往N地的防疫物资为（5+x）吨，根据题意列出函数解析式，并求出自变量的取值范围；
（2）根据一次函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最小值．
【解答】解：设甲仓库运往M地的防疫物资为x吨，甲仓库运往N地的防疫物资为（50﹣x）吨，
乙仓库运往M地的防疫物资为（35﹣x）吨，乙仓库运往N地的防疫物资为（5+x）吨，
根据题意得：y＝12×20x+10×25（50﹣x）+12×15×（35﹣x）+8×20（5+x）
＝﹣30x+19600，
∵x≥0，50﹣x≥0，35﹣x≥0，
∴0≤x≤35，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣30x+19600（0≤x≤35）；
（2）∵y＝﹣30x+19600，﹣30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵0≤x≤35，
∴当x＝35时，总运费最少，
即从甲仓库运往M地35吨，
甲仓库运往N地：50﹣35＝15（吨），
乙仓库运往M地：55﹣15＝40（吨），
乙仓库运往N地：40﹣40＝0（吨），
∴总运费最少为：﹣30×35+19600＝18550（元）．
∴从甲仓库运往M地35吨，运往N地15吨；从乙仓库运往N地40吨时总运费最少，总运费最少是18550元．

【解题技巧提炼】
对于方案设计问题，其问题中所能提供的方案往往不唯一，其关键是找出所有的方案，可以通过结合一次
函数的增减性来确定最佳方案，即根据函数y随x的变化情况，结合自变量的取值范围确定最值.












◆题型一 租车方案
1．某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．

甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
（1）共需租多少辆汽车？
（2）请给出最节省费用的租车方案．
【分析】（1）由师生总数为240人，根据“所需租车数＝人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数，再结合每辆车上至少要有1名教师，即可得出结论；
（2）设租乙种客车x辆，则甲种客车（6﹣x）辆，根据师生总数为240人以及租车总费用不超过2300元，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的值，再设租车的总费用为y元，根据“总费用＝租A种客车所需费用+租B种客车所需费用”即可得出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的值即可解决最值问题．
【解答】解：（1）∵（234+6）÷45＝5（辆）…15（人），
∴保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6；
∵只有6名教师，
∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6；
综上可知：共需租6辆汽车．
（2）设租乙种客车x辆，则甲种客车（6﹣x）辆，
由已知得：30x+45×(6-x)≥240280x+400×(6-x)≤2300，
解得：56≤x≤2，
∵x为整数，
∴x＝1，或x＝2．
设租车的总费用为y元，
则y＝280x+400×（6﹣x）＝﹣120x+2400，
∵﹣120＜0，
∴当x＝2时，y取最小值，最小值为2160元．
故租甲种客车4辆、乙种客车2辆时，所需费用最低，最低费用为2160元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式组已经一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系确定租车数；（2）找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（不等式或不等式组）是关键．

◆题型二 选择方案
2．（2021春•昆明期末）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过160元的按原价计费，超过160元后的部分打7折．设x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额．
（1）分别就两家书店的优惠方式，写出y甲、y乙关于x的函数解析式；
（2）“世界读书日”这一天，当购书费用超过160元时如何选择这两家书店去购书更省钱？
【分析】（1）根据题意给出的等量关系即可求出答案；
（2）求出两书店所需费用相同时的书本标价，从而可判断哪家书店省钱．
【解答】解：（1）甲书店应支付金额为：y甲＝0.8x；
乙书店应支付金额：x≤160时，y＝x；
x＞160时，y＝160+0.7（x﹣160）＝0.7x+48，
∴y乙=x(x≤160)0.7x+48(x＞160)；
（2）当购书费用超过160元时，y乙＝0.7x+48，
令0.8x＝0.7x+48，解得x＝480，
∴当x＜480时，去甲书店省钱，
x＝480时，去甲乙两家书店购书应付金额相同金额，
当x＞480时，去乙书店省钱．

◆题型三 购买方案
3．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠．某班级需购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）．
（1）设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的付款数为y甲（元），在乙店购买的付款数为y乙（元），分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系式；
（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？
【分析】（1）因为甲商店规定每买1副乒乓球拍赠1盒乒乓球，所以y甲＝30×4+5×（x﹣4）＝100+5x（x≥4）；因为乙商店规定所有商品9折优惠，所以y乙＝30×4×0.9+5x×0.9＝4.5x+108（x≥4）．
（2）当x＝16时，在甲商店购买所需商品和在乙商店购买所需商品一样便宜；当x＞16时，在甲商店购买所需商品比较便宜；当4≤x＜16时，在甲商店购买所需商品比较便宜．
【解答】解：（1）由题意得
y甲＝30×4+5×（x﹣4）＝100+5x（x≥4），
y乙＝30×4×0.9+5x×0.9＝4.5x+108（x≥4）；
（2）当y甲＝y乙时，即100+5x＝4.5x+108，解得x＝16，到两店价格一样；
当y甲＞y乙时，即100+5x＞4.5x+108，解得x＞16，到乙店合算；
当y甲＜y乙时，即100+5x＜4.5x+10，解得4≤x＜16，到甲店合算．
【点评】考查了函数关系式，本题是贴近社会生活的应用题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．

◆题型四 采购方案
4．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【分析】（1）根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
（2）根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x＝12代入函数解析式求出结果即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y＝﹣100x+10000；
（2）由题意得：1600x+2500(20-x)≤39200400x+500(20-x)≥8500，
解得12≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x＝12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑12台，乙型电脑8台，
②甲型电脑13台，乙型电脑7台，
③甲型电脑14台，乙型电脑6台，
④甲型电脑15台，乙型电脑5台，
∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y有最大值，
即x＝12时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，
∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元．

◆题型五 利润方案
5．（2021•金凤区二模）某宝网店销售甲、乙两种电器，已知甲种电器每个的售价比乙种电器多60元，马老师从该网店购买了3个甲种电器和2个乙种电器，共花费780元．
（1）该店甲、乙两种电器每个的售价各是多少元？
（2）根据销售情况，店主决定用不少于10800元的资金购进甲、乙两种电器，这两种电器共100个，已知甲种电器每个的进价为150元，乙种电器每个的进价为80元．若所购进电器均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种电器进货量m（个）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据马老师从该网店购买了3个甲种电器和2个乙种电器，共花费780元，可以得到相应的一元一次方程，从而可以得到该店甲、乙两种电器每个的售价各是多少元；
（2）根据题意，可以得到网店所获利润W（元）与甲种电器进货量m（个）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设乙种电器的单价为x元，则甲种电器的单价为（x+60）元，
3（x+60）+2x＝780，
解得，x＝120，
则x+60＝180，
答：该店甲、乙两种电器每个的售价分别是180元、120元；
（2）由题意可得，
W＝（180﹣150）m+（120﹣80）×（100﹣m）＝﹣10m+4000，
∵店主决定用不少于10800元的资金购进甲、乙两种电器，
∴150m+80（100﹣m）≥10800，
解得，m≥40，
∵﹣10＜0，
∴W随着m的增大而减小，
∴当m＝40时，W取得最大值，此时W＝3600，
答：网店所获利润W（元）与甲种电器进货量m（个）之间的函数关系式是W＝﹣10m+4000，当m为40时所获利润最大，最大利润是3600元．

◆题型六 进货方案
6．我市某商场有甲、乙两种商品，甲种每件进价15元，售价20元；乙种每件进价35元，售价45元．商家同时购进甲、乙两种商品共100件，设其中甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元．
（1）写出y与x的函数关系式．
（2）该商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品，则至少要购进多少件甲种商品？若售完这些商品，商家可获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）根据总利润＝甲种商品的利润+乙种商品的利润，由销售问题的数量关系就可以表示出y与x的函数关系式；
（2）根据两种商品的进价表示出甲乙两种商品的进价之和不超过3000建立不等式求出x的值，由一次函数的解析式的性质就可以求出结论．
【解答】解：（1）设其中甲商品购进x件，则乙商品进（100﹣x）件，由题意，得售完此两种商品总利润为y元.
y＝（20﹣15）x+（45﹣35）（100﹣x）＝﹣5x+1000．
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+1000；
（2）由题意，得
15x+35（100﹣x）≤3000，
解得：x≥25．
∵y＝﹣5x+1000，
∴k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值25时，y最大，y最大＝﹣5×25+1000＝875．
∴最少购进25件甲种商品；可获得最大利润875元．

◆题型七 调运方案
7．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如表所示：

路程（千米）
甲仓库
乙仓库
A果园
15
25
B果园
20
20
设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元，
（1）根据题意，填写下表．

运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A果园
x
110﹣x
2×15x
2×25（110﹣x）
B果园
　
　 　
　 　
　 　
（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
【分析】（1）设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，根据题意求得甲仓库运往B果园（80﹣x）吨，乙仓库运往A果园（110﹣x）吨，乙仓库运往B果园（x﹣10）吨，然后根据两个仓库到A，B两个果园的路程完成表格；
（2）根据（1）中的表格求得总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式，根据一次函数的增减性结合自变量的取值范围，可知当x＝80时，总运费y最省，然后代入求解即可求得最省的总运费．
【解答】解：（1）填表如下：

运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A果园
x
110﹣x
2×15x
2×25（110﹣x）
B果园
80﹣x
x﹣10
2×20×（80﹣x）
2×20×（x﹣10）
故答案为80﹣x，x﹣10，2×20×（80﹣x），2×20×（x﹣10）；
（2）y＝2×15x+2×25×（110﹣x）+2×20×（80﹣x）+2×20×（x﹣10），
即y关于x的函数表达式为y＝﹣20x+8300，
∵﹣20＜0，且10≤x≤80，
∴当x＝80时，总运费y最省，此时y最小＝﹣20×80+8300＝6700．
故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．



















1.（2021•望奎县模拟）如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买甲家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（填序号） ．

【答案】①②③．
【分析】结合甲、乙的图象位置以及交点（2，4）的意义可以判断①②③结论的成立与否；再由甲图象过
（0，2）、（2，4），可知（1，3）在甲的图象上，即买甲家的1件的售价为3元，而不是约为3元，从而得出结论①②③成立．
【解答】解：图形中甲乙的交点为（2，4），结合点的意义可知： 售2件时甲、乙两家售价一样，即①成立； 当x=1时，乙的图象在甲的图象的下方， 即买1件时买乙家的合算，②成立； 当x=3时，甲的图象在乙的图象的下方， 即买3件时买甲家的合算，③成立； 甲的图象经过点（0，2）、（2，4）， 两点的中点坐标为 ． 即买甲家的1件售价为3元，④不成立．
故答案为：①②③．
2．（2021春•丰台区期末）A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额yA（元），yB（元），yC（元）与月上网时间x（小时）的对应关系如图所示．以下有四个推断： ①月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱； ②月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方式C最省钱； ③对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元； ④对于上网方式A，若月上网时间超出25小时，则超出的时间每分钟收费0.05元． 所有合理推断的序号是（　　）

A． ①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C.
【分析】根据A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额yA（元），yB（元），yC（元）与月上网时间x
（小时）的图象逐一判断即可．
【解答】解：由图象可知： ①月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱，说法正确；
②月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方式B最省钱，故原说法错误；
③对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元，说法正确；
④对于上网方式A，若月上网时间超出25小时，则超出的时间每分钟收费为：（60-30）÷[（35-25）×60]=0.05（元），原说法正确； 所以所有合理推断的序号是①③④．
故选：C．
3．（2022•砚山县一模）某学校管理委员会要添置A、B两种型号的办公桌共20套，已知购买2套A型办
公桌和1套B型办公桌共需1000元，1套A型办公桌和3套B型办公桌共需1500元．
（1）求A、B两种型号的办公桌每套各是多少元？
（2）若管理委员会需要A型办公桌不少于12套，B型办公桌不少于6套，平均每套办公桌需要运费20元．设购买A型办公桌x套，总费用为y元．
①求y与x之间的函数关系式；②求出总费用最少的购买方案．
【分析】（1）根据购买2套A型办公桌和1套B型办公桌共需1000元，1套A型办公桌和3套B型办公桌共需1500元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）①根据题意和（1）中的结果，可以写出y与x的函数关系式；
②根据管理委员会需要A型办公桌不少于12套，B型办公桌不少于6套，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质即可求得总费用最少的购买方案．
【解答】解：（1）设购买一套A型办公桌需要a元，购买一套B型办公桌需要b元，
由题意可得：2a+b=1000a+3b=1500，
解得a=300b=400，
答：购买一套A型办公桌需要300元，购买一套B型办公桌需要400元；
（2）①由题意可得，
y＝300x+400（20﹣x）+20×20＝﹣100x+8400，
即y与x的函数关系式为y＝﹣100x+8400；
②由①知：y＝﹣100x+8400，
∴y随x的增大而减小，
∵管理委员会需要A型办公桌不少于12套，B型办公桌不少于6套，
∴x≥1220-x≥6，
解得12≤x≤14，
∴当x＝14时，y取得最小值，此时20﹣x＝6，
答：总费用最少的购买方案是购买A型办公桌14套，购买B型办公桌6套．
4．（2021秋•蜀山区期末）某校计划在2022年元旦时，租用8辆客车送280名师生参加拥军爱党志愿服务活动，现有A、B两种客车，它们的载客量和租金如表，设租用A种客车x辆，租车总费用为w元．（每种车至少租1辆）

A种客车
B种客车
载客量（人/辆）
30
40
租金（元/辆）
270
320
（1）求出w（元）与x（辆）之间函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若学校先预支2370元用于租车，问学校预支的租车费用是否够用？请说明理由．
【分析】（1）根据租车总费用＝A种客车的租车费用+B种客车的租车费用就可以求出结论；
（2）根据租车的费用不超过2370和运输的人数不少于280名建立不等式组求出其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得：
w＝270x+320（8﹣x），
＝﹣50x+2560（1≤x≤8）；
（2）由题意，得：
-50x+2560≤237030x+40(8-x)≥280，
解得：3.8≤x≤4，
∵x为整数，
∴x＝4，
故学校预支的租车费用是够用的．
5.（2022•铜仁市模拟）为了加强训练，迎接中考体育考试，某校某班准备集体购买一批足球和排球，购
买2个足球和5个排球需270元；购买4个足球和3个排球需260元．
（1）求足球和排球的单价各是多少？
（2）若某班上计划购买足球和排球共50个，且购买的排球数不低于足球数的3倍，求足球和排球各购买多少个时，所需费用最低？最低费用为多少？
【分析】（1）设足球单价为x元，排球单价为y元，根据题意，列二元一次方程组，求解即可；
（2）设足球购买了m个，则排球购买了（50﹣m）个，总费用为w元，根据“购买的排球数不低于足球数的3倍”列一元一次不等式，求出m的取值范围，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性，即可求出最低费用．
【解答】解：（1）设足球单价为x元，排球单价为y元，
根据题意，得2x+5y=2704x+3y=260，
解得x=35y=40，
∴足球单价为35元，排球单价为40元；
（2）设足球购买了m个，则排球购买了（50﹣m）个，总费用为w元，
根据题意，得50﹣m≥3m，
解得m≤12.5，
根据题意，w＝35m+40（50﹣m）＝﹣5m+2000，
∵﹣5＜0，
∴w随着m的增大而减小，
当m＝12时，w最小，最小值为：﹣5×12+2000＝1940（元），
此时足球购买12个，排球购买38个，最低费用为1940元．
6．（2021秋•庐阳区期末）某学校积极响应合肥市“争创全国文明典范城市”的号召，绿化校园，美化校园，计划购进A，B两种树苗，共45棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵50元．设购买A种树苗
x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【分析】（1）购买两种树苗所需费用＝购买A种树苗的费用+购买B种树苗的费用；
（2）根据题目中的不等关系求得x的取值范围，再利用一次函数的性质取y的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，得：y＝80x+50（45﹣x）＝30x+2250，
所以函数解析式为：y＝30x+2250．
（2）∵购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，
∴x≥45﹣x．
解得：x≥22.5．
又∵k＝30＞0，y随x的增大而增大，且x取整数，
∴当x＝23时，y最小值＝2940．
∴费用最省的方案是购买A种树苗23棵，B种树苗22棵，所需费用为2940元．
7．（2022•前进区一模）某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元用3000元购进A商品和用1800元购进B商品的数量相同，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元．
（1）A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）设B商品每件进价为x元，A商品每件进价为（x+20）元，根据“3000元购进A商品和用1800元购进B商品的数量相同”列分式方程，求解即可；
（2）设A商品购进m件，则B商品购进（40﹣m）件，根据题意，列不等式组，求出m的取值范围，然后取整，即可确定购买方案；
（3）设设利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性，即可求出最大利润．
【解答】解：（1）设B商品每件进价为x元，A商品每件进价为（x+20）元，
根据题意，得3000x+20=1800x，
解得x＝30，
经检验，x＝30是分式方程的根，
∴A商品每件进价为50元，B商品每件进价为30元；
（2）设A商品购进m件，则B商品购进（40﹣m）件，
根据题意，得50m+30(40-m)≤1520m≥12(40-m)，
解得403≤m≤16，
∴m可以取14，15，16，
∴有三种进货方案：
A商品购进14件，B商品购进26件；
A商品购进15件，B商品购进25件；
A商品购进16件，B商品购进24件；
（3）在（2）的条件下，设利润为w元，
根据题意，得w＝（80﹣50）m+（45﹣30）（40﹣m）＝15m+600，
∵15＞0，
∴w随着m的增大而增大，
当m＝16时，w最大，最大利润为w＝15×16+600＝840（元），
∴A商品购进16件，B商品购进24件，获利最大，最大利润为840元．
8．（2021秋•济阳区期中）甲超市在国庆节期间进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为5元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．其中x（单位：kg）表示购买苹果的重量，y甲（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买3kg苹果需付款 　 　元；购买5kg苹果需付款 　 　元；
（2）写出付款金额y甲关于购买苹果的重量x的函数关系式；
（3）乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为5元/kg，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
【分析】（1）根据题意直接写出购买3kg和5kg苹果所需付款；
（2）分0＜x≤4和x＞4两种情况写出函数解析式即可；
（3）通过两种付款比较那个超市便宜即可．
【解答】解：（1）由题意可知：文文购买3kg苹果，不优惠，
∴文文购买3kg苹果需付款：3×5＝15（元），
购买5kg苹果，4kg不优惠，1kg优惠，
∴购买5kg苹果需付款：4×5+1×5×0.6＝23（元），
故答案为：15，23；
（2）由题意得：
当0＜x≤4时，y甲＝5x，
当x＞4时，y甲＝4×5+（x﹣4）×5×0.6＝3x+8，
∴付款金额y甲关于购买苹果的重量x的函数解析式为：y甲=5x(0＜x≤4)3x+8(x＞4)；
（3）文文在甲超市购买10kg苹果需付费：3×10+8＝38（元），
文文在乙超市购买10kg苹果需付费：5×10×0.8＝40（元），
∵38＜40，
∴文文应该在甲超市购买更划算．
9．江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾．“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲、y乙（单位：元）与原价x（单位：元）之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？

【分析】（1）利用待定系数法即可求出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）当0＜x＜2000时，显然到甲商店购买更省钱；当x≥2000时，分三种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）设y甲＝kx，把（2000，1600）代入，
得2000k＝1600，解得k＝0.8，
所以y甲＝0.8x；
当0＜x＜2000时，设y乙＝ax，
把（2000，2000）代入，得2000a＝2000，解得a＝1，
所以y乙＝x；
当x≥2000时，设y乙＝mx+n，
把（2000，2000），（4000，3400）代入，得2000m+n=20004000m+n=3400，
解得m=0.7n=600．
所以y乙=x(0＜x＜2000)0.7x+600(x≥2000)；
（2）当0＜x＜2000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；
当x≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜0.7x+600，解得x＜6000；
若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x+600，解得x＞6000；
若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x＝0.7x+600，解得x＝6000；
故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；
当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；
当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．
10.（2021春•双流区校级期中）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列火车运往某地，已知这列火车接挂有A、B两种不同规格的车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用8000元．
（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出总费用y与车厢节数x的函数解析式．
（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
（3）（2）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少万元？
【分析】（1）总费用＝0.6×A型车厢节数+0.8×B型车厢节数．
（2） 应分别表示出两类车厢能装载的甲乙两种货物的质量．35×A型车厢节数+25×B型车厢节数≥1240；
15×A型车厢节数+35×B型车厢节数≥880．
（3）应结合（1）的函数，（2）的自变量的取值来解决．
【解答】解：（1）6000元＝0.6万元，8000元＝0.8万元，
设用A型车厢x节，则用B型车厢（40﹣x）节，总运费为y万元，
依题意，得y＝0.6x+0.8（40﹣x）＝﹣0.2x+32；
（2）依题意，得35x+25(40-x)≥124015x+35(40-x)≥880，
解得：x≥24x≤26，
∴24≤x≤26，
∵x取整数，故A型车厢可用24节或25节或26节，相应有三种装车方案：
①24节A型车厢和16节B型车厢；
②25节A型车厢和15节B型车厢；
③26节A型车厢和14节B型车厢．
（3）由函数y＝﹣0.2x+32知，x越大，y越少，故当x＝26时，运费最省，这时y＝﹣0.2×26+32＝26.8（万元），
答：安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省，最小运费为26.8万元．
11．从江县盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安排15辆汽车装运A、B、C三种不同品质的椪柑120吨到外地销售，按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑，每种椪柑所用车辆都不少于3辆．
（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，根据下表提供的信息，求出y与x之间的函数关系式；
椪柑品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
10
8
6
每吨椪柑获利（元）
800
1200
1000
（2）在（1）条件下，求出该函数自变量x的取值范围，车辆的安排方案共有几种？请写出每种安排方案；
（3）为了减少椪柑积压，从江县制定出台了促进椪柑销售的优惠政策，在外地运销客户原有获利不变的情况下，政府对外地运销客户，按每吨50元的标准实行运费补贴．若要使该外地运销客户所获利润W（元）最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润W（元）的最大值？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中函数关系式可以列出相应的不等式，从而可以解答本题；
（3）根据题意和表格中的数据可以求得采用哪种车辆安排方案可以使得W最大，并求得W的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，
10x+8y+6（15﹣x﹣y）＝120，
化简，得
y＝15﹣2x，
即y与x之间的函数关系式为y＝15﹣2x；
（2）由题意可得，
x≥315-2x≥315-x-(15-2x)≥3，
解得，3≤x≤6，
∴有四种方案，
方案一：装运A、B、C三种不同品质的车辆分别是3辆、9辆、3辆；
方案二：装运A、B、C三种不同品质的车辆分别是4辆、7辆、4辆；
方案三：装运A、B、C三种不同品质的车辆分别是5辆、5辆、5辆；
方案四：装运A、B、C三种不同品质的车辆分别是6辆、3辆、6辆；
（3）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，
W＝10x×800+8（15﹣2x）×1200+6[15﹣x﹣（15﹣2x）]×1000+120×50＝﹣5200x+150000，
∵3≤x≤6，
∴x＝3时，W取得最大值，此时W＝134400，
答：采用方案一：装运A、B、C三种不同品质的车辆分别是3辆、9辆、3辆，利润W（元）的最大值是134400元．
12．（2021秋•普陀区期末）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如表：
目的地车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求y与x的函数解析式，并求出x的取值范围；
（3）因某种原因，大货车运往A地的运费每辆减少a元（0＜a＜150），其他不变，怎样安排货车使得总运费最小．
【分析】（1）设装好物资的20辆货车中，大货车、小货车各有m与n辆，根据题意列出方程组即可求出答案．
（2）根据题中给出的等量关系即可列出y与x的函数关系．
（3）分三种情况讨论得到答案．
【解答】解：（1）设装好物资的20辆货车中，大货车、小货车各有m与n辆，
由题意可知：15m+10n=260m+n=20，
解得：m=12n=8，
答：大货车有12辆，小货车8辆；
（2）设到A地的大货车有x辆，则到A地的小货车有（10﹣x）辆，到B地的大货车有（12﹣x）辆，到B地的小货车有（x﹣2）辆，
∴y＝900x+500（10﹣x）+1000（12﹣x）+700（x﹣2）
＝100x+15600，
其中2≤x≤10，x为整数；
（3）根据题意得：y＝（900﹣a）x+500（10﹣x）+1000（12﹣x）+700（x﹣2）＝（100﹣a）x+15600，
当a＜100时，y随x的增大而增大，
∴0＜a＜100时，x＝2，y最小，即到A地的大货车安排2辆，到A地的小货车安排8辆，到B地的大货车安排10辆，总运费最小，
当a＝100时，运费都是15600，
当a＞100时，y随x的增大而减小，
∴100＜a＜150时，x＝10y最小，即到A地的大货车安排10辆，到B地的大货车安排2辆，到B地的小货车安排8辆，总运费最小．