重庆市第八中学校2023届高三上学期高考适应性月考（三）数学试题（解析版）

这是一份重庆市第八中学校2023届高三上学期高考适应性月考（三）数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现， 已知数列满足，则， 等差数列的前项和为，若等内容，欢迎下载使用。
重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（三）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合满足，则集合中的元素个数为（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】根据交集的结果可得，再根据并集的结果可得，进而即得.【详解】因为，所以，又，所以，所以，即集合中的元素个数为5.故选：D.2. 复数的虚部为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出复数z，进而求出虚部.【详解】因为，所以复数的虚部为.故选：A3. 圆关于直线对称后的圆的方程为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.【详解】圆的圆心 半径为 ，由得，设圆心关于直线对称点的坐标为，则 ，解得,所以对称圆的方程为.故选：A.4. 如图所示，平行四边形对角线相交于点，若，则等于（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理求出，即可得到答案.【详解】因为平行四边形的对角线相交于点，所以.因为，所以.所以.故选：C5. 已知，则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即得.【详解】因为，所以，当且仅当且，即时取等号，即的最小值为.故选：B.6. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求即解.【详解】椭圆的蒙日圆的半径为.因为，所以为蒙日圆的直径，所以，所以.因为，当时，等号成立，所以面积的最大值为：.由面积的最大值为34，得，得，故椭圆的长轴长为.故选：C7. 已知数列满足，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先变形递推公式为，判断数列是等比数列，再利用累乘法求数列的通项公式，可得答案.【详解】∵，，，∴数列是首项为，公比为4的等比数列，∴，当时，，∵n＝1时，，∴，， 故选：D.8. 函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（    ）A. 575 B. 598 C. 621 D. 624【答案】C【解析】【分析】由题知的图象关于直线对称，的图像关于点对称，进而得、、，从而得到，结合的值，再解方程即可得答案.【详解】因为为偶函数，即，所以，的图象关于直线对称，因为为奇函数，即，所以的图象关于点对称.因为对于，均有，所以，因为关于直线对称，所以，因为关于点对称，所以，所以，，又，解得，所以.故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小題给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知函数，曲线关于点中心对称，则（    ）A. 将该函数向左平移个单位得到一个奇函数B. 在上单调递增C. 在上只有一个极值点D. 曲线关于直线对称【答案】BC【解析】【分析】因为函数关于点中心对称可得，从而得到，根据三角函数的图象平移规律可判断A；根据的范围得到，再由正弦函数的单调性可判断B；求出的单调区间可判断C，求出代入可判断D.【详解】因函数关于点中心对称， 所以，，所以，而，所以，，对于A，将该函数向左平移个单位得到，因为，，所以为偶函数，故A错误；对于B， 因为，所以，因为在在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；对于C， 由得的单调递增区间为，由得的单调递减区间为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处有一个极值点，故C正确；对于D， 曲线，时，故D错误.故选：BC.10. 等差数列的前项和为，若.则下列结论正确的有（    ）A. B. C. 数列是递减数列D. 使的的最大值为15【答案】ABC【解析】【分析】根据等差数列的前n项和的定义求出，，，由等差数列的性质可判断ABC，再由数列的求和公式判断D.【详解】由可知，，，，即，由等差数列性质知，故A正确；由，所以，故B正确；又数列为等差数列，所以，即数列为递减数列，故C正确；因为，故D错误.故选： ABC11. 已知点为圆为圆心）上的动点，点为直线上的动点，则下列说法正确的是（    ）A. 若直线平分圆的周长，则B. 点到直线的最大距离为C. 若圆上至少有三个点到直线的距离为，则D. 若，过点作圆的两条切线，切点为，当最小时，则直线的方程为【答案】ABD【解析】【分析】利用直线过圆心求出可判断A；求出点到直线的距离为，令，可得，利用有解可判断C；转化为，解不等式可判断C；求出直线，设直线与的交点为，根据≌可得，由，转化为所以最小即四边形的面积最小，即最小，利用，即求最小，此时，因为,可得设，由点在圆上和求出点坐标，再由点斜式方程可得答案.【详解】，半径为，则对于A，若直线平分圆的周长，则，所则，故A正确；对于B， 点到直线的距离为，令，可得，当时，；当时，有解可得，解得，所以，综上所述，点到直线的最大距离为，故C正确；对于C，因为圆的半径为1，若圆上至少有三个点到直线的距离为，则，解得，故C错误；对于D， 若，直线，设直线与的交点为，因为，，，所以≌，所以，即，所以，所以当最小即四边形的面积最小，即最小，因为，所以当最小时最小，此时，，，代入直线点斜式方程可得直线CQ方程为，由联立解得，所以，因为，，所以，所以，设，则①，②，由①②解得，或，故或，由、可得直线的方程为，即；由、可得直线的方程为，即；故D正确.故选：ABD.12. 已知点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，若的最小值为1，点，则下列结论正确的是（    ）A. 抛物线的方程为B. 的最小值为C. 点在抛物线上，且满足，则D. 过作两条直线分别交抛物线（㫒于点）于两点，若点到距离均为，则直线的方程为【答案】ACD【解析】【分析】对于A：由焦半径公式求出,即可求出C的方程；对于B：设，表示出，利用基本不等式求出的最小值为；对于C：利用几何法求出直线PQ的斜率，得到直线PQ的方程，与抛物线联立后，利用“设而不求法”求出；对于D：设，证明出、满足方程，即可判断.【详解】对于A：设,则,当且仅当时取等号,故,故,故C的方程为,故A正确；对于B：由C的方程为可得：.设.由抛物线定义可得：.而，所以.当时，；当时，（当且仅当，即时等号成立.）所以的最小值为.故B错误；于C：不妨设PQ的斜率为正，如图示：分别过P、Q作PC,QB垂直准线于C、B, 过Q作于D.由抛物线定义可得：.因为，不妨设，则.所以在直角三角形中，.由勾股定理得：.所以直线PQ斜率为，所以直线PQ的方程为.与抛物线联立，消去x得：，即.由焦点弦的弦长公式可得：.故C正确；对于D：设，则直线于是，整理得：.又，故有，即,故满足方程.同理可得：也满足方程,所以直线MN的方程为.故D正确.故选：ACD【点睛】解析几何简化运算的常见方法：（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；（3）巧用定义，简化运算.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13. 已知函数的导数为，且满足，则__________.【答案】【解析】【分析】求导，令可求得，然后可得.【详解】因为所以，解得所以.故答案为：14. 重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________.【答案】【解析】【分析】结合正态分布特点先求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解.【详解】因学生成绩符合正态分布，故，故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为.故答案为：15. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针后得到点，向量为向量在向量上的投影向量，则__________.【答案】##【解析】【分析】根据题意，计算出 ，再利用投影向量的定义及模长公式即得.【详解】因为，，所以，，所以P点坐标为，所以，所以.故答案为：.16. 记为等差数列的前项和，若，数列满足，当最大时，的值为__________.【答案】3【解析】【分析】先求出等差数列的通项公式，得到，取对数后，由的单调性判断出最大.【详解】设等差数列的公差为d，由题意可得：.所以，两边同时取对数得：令，则.令得：；令得：，所以在上单增，在上单减，所以的最大值在或处取得.而，所以.所以当最大时，的值为3.故答案为：3．四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在①；②；，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角所对的边分别是，若             .（1）求角；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）；    （2）6.【解析】【分析】（1）选①：先利用三角公式求出，即可求出角；选②：由正弦定理及三角变换求出，即可求出角；选③：由正、余弦定理求出，即可求出角；（2）利用△ABC的面积公式和余弦定理求出，即可得到△ABC的周长.【小问1详解】选①：由，得，即.所以或.因为，所以.选②：对于，由正弦定理得，即.因为，所以，所以.因为，所以.选③：由三角形内角和定理及诱导公式得到，所以.由正弦定理得：，即.由余弦定理得：.因为，所以.【小问2详解】因为△ABC的面积为，得：.由余弦定理得：,即，所以，所以，所以△ABC的周长为6.18. 已知数列和的前项和分别为，且.（1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；；    （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据与的关系可得，进而可得，即得；（2）根据分组求和法及裂项相消法可得，进而即得.【小问1详解】由题可知，，∴，即，又，∴是首项为1，公比为的等比数列，∴，∴；【小问2详解】由上可知，即，，，所以，所以，.19. 多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x，和年销售额，的数据（，2，，12），该团队建立了两个函数模型：①②，其中均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令，计算得如下数据：206677020014460312500021500 （1）设和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②参考数据：.【答案】（1）模型的拟合程度更好    （2）（i）（ii）预测下一年的研发资金投入量是亿元【解析】【分析】（1）由题意计算相关系数,比较它们的大小即可判断；（2）（i）先建立关于的的线性回归方程,再转化为y关于的回归方程；(2)利用回归方程计算时x的值即可.【小问1详解】由题意进行数据分析：则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好【小问2详解】（i）先建立关于的线性回归方程.由，得，即.由于所以关于的线性回归方程为，所以，则.（ii）下一年销售额需达到80亿元，即，代入得，，又所以，解得，所以预测下一年的研发资金投入量是亿元20. 如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，.（1）求证：；（2）若平面与平面所成的角为，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析    （2）【解析】【分析】（1）由题意可得出AD⊥CD，AD⊥，即可证明AD⊥平面，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2） 取的中点，以为正交基底建系，设，写出各点坐标，分别求出平面与平面的法向量，根据它们所成的锐二面角的大小为，利用夹角公式列出方程可求出，再由体积公式结合等体积法即可得出答案..【小问1详解】证明：因为底面ABCD和侧面都是矩形，所以AD⊥CD，AD⊥，又CD∩＝D，CD，⊂平面，所以AD⊥平面，又⊂平面，所以.【小问2详解】取为的中点，连接，因为AD⊥平面，又⊂平面，所以，又因为，所以，又AD∩＝D，AD，⊂平面，所以平面，取的中点，为的中点，底面是矩形，所以,以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示:设，则，，，，，，设平面的法向量，，．由可得：，令可得，，所以，设平面的法向量，，．由可得，，令可得，所以由于平面与平面所成的锐二面角的平面角为，所以，可得：，则，解得．因为AD⊥平面，，所以平面，又因为，所以平面，平面，所以平面， 所以.21. 已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线交于点.（1）求方程；（2）设是与在第一象限的公共点，作直线与的两支分别交于点，便得.（i）求证：直线过定点；（ii）过作于.是否存在定点，使得为定值？如果有，请求出点的坐标；如果没有，请说明理由.【答案】（1），；    （2）（i）答案见解析；（ii）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出的方程；（2）（i）设方程为.令,利用“设而不求法”得到.表示出,整理可得： .可以判断出直线MN的方程为,即可证明过定点.（ⅱ）由为直角，判断出D在以AB为直径的圆上，得到为AB的中点,使得为定值.【小问1详解】因为，渐近线经过点，所以，解得：，所以抛物线经过点所以，所以【小问2详解】（i）因为在不同支,所以直线的斜率存在,设方程为.令,联立得， ，则.联立可得，解得：.因为,所以，代入直线方程及韦达结构整理可得：，整理化简得：.因为不在直线MN上,所以.直线MN方程为,过定点.（ⅱ）因为为定点,且为直角，所以D在以AB为直径的圆上,AB的中点即为圆心,半径为定值.故存在点,使得为定值.22. 已知函数.（1）若存在使，求的取值范围；（2）若存在两个零点，证明：.【答案】（1）；    （2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题可得，结合条件可得，进而可得，即得；（2）由题可得，根据条件可得，，然后通过换元法可得只需证，再构造函数，利用导数研究函数的性质即得.【小问1详解】因为函数，所以，当时，在上恒成立，函数单调递增，又，不合题意；所以，所以时，函数单调递减，时，，函数单调递增，由题意可知，解得，所以的取值范围为；【小问2详解】因为，所以当时，在上恒成立，函数单调递增，不合题意，所以，由，可得，函数单调递减，由，可得，函数单调递增，由题意可知，即，因为的两个零点，所以，所以，，即证明，令，则，所以，可得，，只需证明，即证，即，令，，则，所以在上单调递增，，即，所以.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.