2021-2022学年河南省漯河市召陵区八年级(上)期末数学试卷(含解析)
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第I卷(选择题)
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
- 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟,它的质量约为盎司.将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
- 能使分式的值为零的所有的值是( )
A. B.
C. 或 D. 或
- 下列长度的三根木条首尾相连,能组成三角形的是( )
A. ,, B. ,, C. ,, D. ,,
- 下列运算中正确的是( )
A. B. C. D.
- 如图,在和中,已知,在不添加任何辅助线的前提下,要使≌,只需再添加的一个条件不可以是( )
A. B.
C. D.
- 下列各分式中,是最简分式的是( )
A. B. C. D.
- 已知等腰三角形的一个角为,则它的顶角为( )
A. B. C. D. 或
- 如图,已知,,点,在边上,若,则的长为( )
A. B. C. D.
- 在边长为的等边中,为边上的中点,是线段上的一点,是射线上的一点,且,,则的长为( )
A. B. C. D.
- 对于非负整数,使得是一个正整数,则的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)
- 计算:______.
- 一个多边形的每一个外角为,那么这个多边形的边数为______.
- 关于的分式方程有增根,则的值为 .
- 如图,在中,,,,平分,点是的中点,点是上的动点,则的最小值为______.
- 的两条高、所在的直线交于点,且,则______.
三、计算题(本大题共1小题,共16.0分)
- 计算:;
计算:;
分解因式:;
分解因式:.
四、解答题(本大题共7小题,共59.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
- 本小题分
解方程:
;
. - 本小题分
已知.
化简;
若,,恰好是等腰的三边长,求的值. - 本小题分
如图,在平面直角坐标系内,已知点的位置;点的坐标为,点的坐标为.
写出的坐标______,并画出;
画出关于轴对称的;
连接、,四边形的面积为______.
- 本小题分
如图,在五边形中,,.
请你添加一个与角有关的条件,使得≌,并说明理由;
在的条件下,若,,求的度数.
- 本小题分
某一工程,在工程招标时,接到甲乙两个工程队的投标书.施工一天需付甲工程队工程款万元,付乙工程队工程款万元.工程领导们根据甲乙两队的投标书测算,可有三种施工方案:
方案:甲队单独完成这项工程刚好如期完成;
方案:乙队单独完成这项工程比规定日期多用天;
方案:若甲乙两队合作天后,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款? - 本小题分
图是一个长为、宽为的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图的形状拼成一个正方形.
求图中的阴影部分的正方形的周长;
观察图,请写出下列三个代数式,,之间的等量关系;
运用你所得到的公式,计算:若、为实数,且,,试求的值;
如图,点是线段上的一点,以、为边向两边作正方形,设,两正方形的面积和,求图中阴影部分面积. - 本小题分
已知为等边三角形,为的中点,,交线段于,交直线于.
如图,求证:;
如图,若,求证:.
如图,若,则______;在图中,若,则______.
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数.一般形式为,其中,与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂,即为负整数,的绝对值等于由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数,据此解答即可.
【解答】
解:将用科学记数法表示为,
故选:.
2.【答案】
【解析】解:,
,即,
或,
又,
,综上得,.
故选:.
分式的值为的条件是:分子为,分母不为,两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.
此题考查的是对分式的值为的条件的理解,该类型的题易忽略分母不为这个条件.
3.【答案】
【解析】解:、,能构成三角形,故此选项符合题意;
B、,不能构成三角形,故此选项不符合题意;
C、,不能构成三角形,故此选项不符合题意;
D、,不能构成三角形,故此选项不符合题意.
故选:.
根据三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边可选出答案.
此题主要考查了三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
4.【答案】
【解析】解:、,不等于右边,故此选项错误;
B、,不等于右边,故此选项错误;
C、,不等于右边,故此选项错误;
D、,等于右边,故此选项正确.
故选:.
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案.
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、积的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键.添加,利用即可得到两三角形全等;添加,利用即可得到两三角形全等;添加,利用即可得到两三角形全等,据此解答即可.
【解答】
解:、添加,
在和中,
≌,故不符合题意;
B、添加,不能判定两三角形全等,符合题意;
C、添加,
在和中,
≌,故不符合题意;
D、添加,
则,
在和中,
≌,故不符合题意;
故选:.
6.【答案】
【解析】解:.是最简分式;
B.,不符合题意;
C.,不符合题意;
D.,不符合题意;
故选:.
最简分式的标准是分子,分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式,先观察有无相同因式,并且观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分.
本题考查了分式的基本性质和最简分式,能熟记分式的化简过程是解此题的关键,首先要把分子分母分解因式,然后进行约分.
7.【答案】
【解析】解:当这个角是底角时,其顶角;
当这个角是顶角时,顶角;
故选:.
题中没有指明该角是顶角还是底角,故应该分两种情况进行分析.
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用.若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键.
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半以及等腰三角形的性质,得出的长是解题关键.
首先过点作于点,利用直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半得出的长,再利用等腰三角形的性质求出的长,即可求出的长.
【解答】
解:过点作于点,
,,,
,
,
,,,
,
.
故选:.
9.【答案】
【解析】解:如图,在的延长线上取点,使得,
则,
为边上的中点,,
,,
,,
,
,
在与中,
≌,
,
,
,
,
故选:.
在的延长线上取点,使得,利用全等三角形的判定和性质解答即可.
此题考查全等三角形的判定和性质,关键是根据全等三角形的判定和性质解答.
10.【答案】
【解析】解:
,
为非负整数,分式的结果为正整数,
取值为,,,,
的个数有个,
故选:.
先将分式变形,然后根据为非负整数,分式的结果为正整数,得出的值.
本题考查了分式的特殊值,难度较大,考核学生的计算能力,这类题经常要用到枚举法,是解题的关键.
11.【答案】
【解析】本题考查了负整数指数幂:为正整数,牢记定义是关键.根据负整数指数幂的定义求解即可.
解:原式.
故答案为.
12.【答案】
【解析】本题考查了多边形内角与外角.
根据多边形的外角和为及每个外角为计算即可.
解:多边形的边数:,
则这个多边形的边数为.
故答案为.
13.【答案】
【解析】
【分析】
由分式方程有增根,得到最简公分母为,确定出的值即可.
此题考查了分式方程的增根,增根确定后可按如下步骤进行:化分式方程为整式方程;把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
【解答】
解:分式方程去分母得:,
由分式方程有增根,得到,即,
把代入整式方程得:,
解得:.
故答案为:.
14.【答案】
【解析】解:在射线上取一点,使得过点作于.
在中,,,,
,
平分,
,
在和中,
≌,
,
,
根据垂线段最短可知,当,,共线且与重合时,的值最小,最小值,
故答案为.
在射线上取一点,使得过点作于证明,推出,根据垂线段最短即可解决问题.
本题考查轴对称最短问题,角平分线的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题.
15.【答案】或
【解析】解:分为两种情况:
如图,
、是的高,
,,
,,
,
在和中
≌,
,
,
;
如图,
,,
,
,
,
在和中,
,
≌,
,
,
,
,
.
故答案为:或.
根据题意画出两个图形,证≌,推出,推出,根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出,即可求出答案.
本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,垂直定义,三角形的内角和定理等知识点的应用,用了分类讨论思想.
16.【答案】解:原式
.
原式
.
原式.
原式
.
【解析】根据整式的乘法运算法则即可求出答案.
根据完全平方公式、平方差公式以及整式的乘除、加减运算法则即可求出答案.
根据提取公因式法即可求出答案.
根据平方差公式即可求出答案.
本题考查整式的混合运算以及提取公因式与公式法的综合运用,本题属于基础题型.
17.【答案】解:方程两边同时乘得:
,
,
,
,
检验:,为增根,
原方程无解.
方程两边同时乘得:
,
,
,
,
检验:,,
为原方程的解.
【解析】先将分式方程化简为整式方程求解,然后进行验算.
本题考查解分式方程,解题关键是熟练掌握解分式方法并注意检验.
18.【答案】解:
;
,,恰好是等腰的三边长,
,不合题意,舍去
则
.
【解析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可;
先根据等腰三角形的定义和三角形三边关系得出的值,再代入计算即可.
本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
19.【答案】,如图,即为所求.
如图,;即为所求;
.
【解析】解:如图,,即为所求.
故答案为:.
见答案.
四边形的面积,
故答案为:.
根据点的位置写出点的坐标即可,再根据,,的坐标写出坐标即可.
利用轴对称的性质分别作出,,的对应点,,即可.
利用梯形的面积公式求解即可.
本题考查轴对称变换,梯形的面积等知识,解题的关键是正确作出图形,记住梯形的面积公式.
20.【答案】解:添加一个角方面的条件为:,使得≌,理由如下:
在和中,
≌;
在的条件下,
≌,
,
,,
,
,
.
【解析】添加,根据即可判定两个三角形全等;
根据全等三角形对应角相等,运用三角形内角和定理,即可得到的度数.
本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用,解题时注意:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
21.【答案】解:设甲单独完成这一工程需天,则乙单独完成这一工程需天.
根据方案,可列方程得,
解这个方程得,
经检验:是所列方程的根.
即甲单独完成这一工程需天,乙单独完成这项工程需天.
所以 方案的工程款为万元
方案的工程款为万元,但乙单独做超过了日期,因此不能选.
方案的工程款为万元,
所以选择方案.
【解析】设甲单独完成这一工程需天,则乙单独完成这一工程需天.根据方案,可列方程得,解方程即可解决问题;
本题考查分式方程的应用,列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.解题的关键是熟练掌握工程量效率时间的关系,正确寻找等量关系构建方程解决问题.
22.【答案】解:阴影部分的正方形边长为,
故周长为;
大正方形面积可以看作四个长方形面积加阴影面积,故可表示为:,
大正方形边长为,故面积也可以表达为:,
因此;
由可知:,
已知,,
所以,
所以;
故的值为;
设,,
因为,,
所以,,
因为,
所以,解得,
由题意:,
所以.
【解析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景、三角形的面积,注意利用数形结合思想对完全平方公式以及变式加强理解.
利用线段关系得出正方形的边长,从而求出周长;
利用等面积法,大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积,得到关系式;
直接利用的等式代入求值即可;
用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题.
23.【答案】解:证明:如图中,连接,作于,于,
,,
,
,
,
是等边三角形,,
,
,
在和中,
≌,
.
如图中,作交于设,则,,
,,
,,
,
是等边三角形,
,
,
,
,
,
在中,,
,
.
; .
【解析】解:见答案;
见答案;
如图中,作交于.
设,则,,是等边三角形,
,,
,,
,,
在和中,
≌,
,
,
.
如图,由可知,
设,则,,,
,,
,
:::,
.
故答案为,.
如图中,连接,作于,于,只要证明≌;
如图中,作交于设,则,,想办法证明,求出即可解决问题;
如图中,作交于只要证明≌,即可解决问题;由可知,设,则,,,,可得,由此即可解决问题;
本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
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