《高考数学二轮满分突破讲义》专题二 第7讲 三角恒等变换与解三角形

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考点一 三角恒等变换
核心提炼
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化．
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α等于( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
答案 A
解析 由3cs 2α－8cs α＝5，
得3(2cs2α－1)－8cs α＝5，
即3cs2α－4cs α－4＝0，
解得cs α＝－eq \f(2,3)或cs α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2)＝eq \f(\r(5),3).
(2)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
答案 C
解析 因为α，β均为锐角，所以－eq \f(π,2)