《高考数学二轮满分突破讲义》专题一 第2讲 基本不等式的综合问题

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第2讲　基本不等式的综合问题利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．例1　(1)已知x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是_________________________．(2)设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x·的最大值为________．(3)已知x>0，y>0，＋＝2，则2x＋y的最小值为________．答案　(1)　(2)　(3)3解析　(1)由(x＋y)2＝xy＋1，得(x＋y)2≤2＋1，则x＋y≤(当且仅当x＝y＝时取等号)，故x＋y的最大值为.(2)x·＝x·≤·＝·＝，故x·的最大值为.(3)∵2x＋(y＋1)＝[2x＋(y＋1)]＝≥4，∴2x＋y＝2x＋(y＋1)－1≥3(当且仅当x＝1，y＝1时取等号)，故2x＋y的最小值为3.例2　记max{a，b}为a，b两数的最大值，则当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为________．答案　10解析　方法一　由题意知t≥x2，t≥，∴2t≥x2＋，又∵x2＋≥x2＋＝x2＋≥20，∴2t≥20，即t≥10.∴当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为10.方法二　由题意知t≥x2>0，t≥>0，∴t2≥x2·，又∵x2·≥x2·＝x2·＝100，∴t2≥100，即t≥10.∴当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为10. (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．1．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是(　　)A．1  B．6  C．9  D．16答案　B解析　∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，∴所求最小值为6.2．(2020·厦门模拟)函数y＝＋的最大值是________．答案　2解析　y2＝(＋)2＝4＋2≤4＋(2x－1)＋(5－2x)＝8，又y>0，所以0<y≤2，当且仅当2x－1＝5－2x，即x＝时取等号．故函数的最大值是2.3．(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．答案　4解析　因为a>0，b>0，ab＝1，所以原式＝＋＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时，等号成立．故＋＋的最小值为4.4．设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．答案　－2解析　＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，当且仅当＝且a<0，即a＝－2，b＝4时取等号．故当a＝－2时，＋取得最小值．