《高考数学二轮满分突破讲义》专题一 第3讲 函数的图象与性质

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考点一 函数的概念与表示
核心提炼
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
例1 (1)若函数f(x)＝lg2(x－1)＋eq \r(2－x)，则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))的定义域为( )
A．(1,2] B．(2,4] C．[1,2) D．[2,4)
答案 B
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x≥0，,x－1>0，))得10，,x－1≤0，))即00，即x>1时，f(x)＋f(x－1)＝4x＋4x－1≥2，得x>1.
综上，x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
规律方法 (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
跟踪演练1 (1)已知实数a0 B．减函数且f(x)0 D．增函数且f(x)0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))上函数也单调递增，且f(x)0，符合题意．
考向2 函数图象的变换及应用
例5 (1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
答案 C
解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤0，,－x2－3x，x>0，))若不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．[3－2eq \r(2)，3＋2eq \r(2)] B．[0,3－2eq \r(2)]
C．(3－2eq \r(2)，3＋2eq \r(2)) D．[0,3＋2eq \r(2)]
答案 D
解析 由函数的解析式易知f(x)≤0恒成立，则|f(x)|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋1，x≤0，,x2＋3x，x>0，))不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，等价于函数y＝|f(x)|的图象在函数y＝mx－2图象的上方恒成立．
作出函数y＝|f(x)|的图象，如图所示，函数y＝mx－2的图象是过定点(0，－2)的直线，由图可知，当m0时，考虑直线y＝mx－2与曲线y＝x2＋3x(x>0)相切的情况．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝mx－2，,y＝x2＋3x，))得x2＋(3－m)x＋2＝0，
令Δ＝(3－m)2－8＝m2－6m＋1＝0，
解得m＝3＋2eq \r(2)或m＝3－2eq \r(2)，
结合图形可知00))的图象如图，
直线y＝ax－1恒过定点(0，－1)，
若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，
则函数f(x)的图象在直线y＝ax－1下方有图象或与直线有交点，
当a＝0时，f(x)的图象恒在y＝ax－1图象的上方，不符合题意；
当a>0时，直线y＝ax－1经过第一、三、四象限，与函数f(x)的图象必有交点，符合题意；
当a0，,x＋1≠1，))
解得x∈(－1,0)∪(0,3]．
2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg21－x，x0时，f(x)＝eq \f(4x2,3x)，当x→＋∞时，f(x)→0，排除C.因为f(2)＝eq \f(4×22,32)＝eq \f(16,9)2，所以D不符合题意．
4．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2) B．[－1,0]
C．[1,2] D．[1，＋∞)
答案 C
解析 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))
若x>1，则f(x)＝x＋1>2，
易知f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上单调递增，在(－∞，a)上单调递减．
若af eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6))) B．f(sin 3)