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《高考数学二轮复习培优》第07讲以函数与导数为背景的取值范围问题专题练习
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这是一份《高考数学二轮复习培优》第07讲以函数与导数为背景的取值范围问题专题练习，共38页。教案主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第七讲 以函数与导数为背景的取值范围问题专题
一、单选题
1．已知函数fx=x2−1,x<1lnxx,x≥1，关于x的方程2[f(x)]2+(1−2m)fx−m=0，有5个不同的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． {−1,1e} B． (0,+∞) C． (0,1e) D． (0,1e]
【答案】C
【解析】
设y=lnxx ，则y'=1−lnxx2，由y'=0解得x=e，当x∈(0,e)时y'>0，函数为增函数，当x∈(e,+∞)时y'<0，函数为减函数，当x=e时，函数取得极大值也是最大值为f(e)=1e.
方程2[f(x)]2+(1−2m)fx−m=0化为[f(x)−m][2f(x)+1]=0解得f(x)=m或f(x)=12.
画出函数fx的图象如图：
根据图象可知e的取值范围是(0,1e)时，方程由5个解.
故选C.
2．已知函数ℎ(x)=alnx+(a−1)x2+1 (a<0) ，在函数ℎ(x)图象上任取两点A,B，若直线AB的斜率的绝对值都不小于5，则实数a的取值范围是（ ）
A． (−∞,0) B． −∞,2−364 C． −∞,−2+364 D． 2−364,0
【答案】B
【解析】
ℎ'(x)=2(a−1)x2+ax<0，ℎx在0,+∞单调递减，A(x1,y1), B(x2,y2)，ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2≥5 设x1>x2>0,则ℎ(x1)+5x1≤ℎ(x2)+5x2.设f(x)=ℎ(x)+5x,则f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f'(x)=2(a−1)x2+5x+ax≤0对x∈(0,+∞)恒成立，则2(a−1)x2+5x+a≤0对x∈(0,+∞)恒成立， 则Δ≤0,即8a2−8a−25≥0，解之得a≤2−364或a≥2+364.又a<0，所以a≤2−364.
3．已知函数ℎx=alnx+a+1x2+1a<0，在函数ℎx图象上任取两点A,B，若直线AB的斜率的绝对值都不小于5，则实数a的取值范围是（ ）
A． −∞,0 B． −∞,2−364 C． −∞,2+364 D． 2−364,0
【答案】B
【解析】
ℎ'x=2a−1x2+ax<0，ℎx在0,+∞单调递减.
Ax1,y1，Bx2,y2，ℎx1−ℎx2x1−x2≥5.设x1>x2>0，则ℎx1+5x1≤ℎx2+5x2.
设fx=ℎx+5x，则fx在0,+∞上单调递减，
则f'x=2a−1x2+5x+ax≤0对x∈0,+∞恒成立.
则2a−1x2+5x+a≤0对x∈0,+∞恒成立，则Δ≤0，即8a2−8a−25≥0，
解之得a≤2−364或a≥2+364.
又a<0，所以a≤2−364.
4．设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xlnx⋅f'(x)<−f(x)，则使得(x2−2x−8)f(x)>0成立的x的取值范围是（ ）
A． (−2,0)∪(4,+∞) B． (−∞,−4)∪(0,2)
C． (−∞,−2)∪(0,4) D． (−∞,−2)∪(4,+∞)
【答案】C
【解析】
因为当x>0时，xlnx⋅f'(x)<−f(x)，构造函数g(x)=lnx⋅f(x)，当x>0时，g'(x)=lnx⋅f'(x)+1xf(x)<0，即g(x)=lnx⋅f(x)在(0,+∞)上单调递减，又因为g(1)=0，所以当x∈(0,1)，g(x)>0，lnx<0，f(x)<0，当x∈(1,+∞)，g(x)<0，lnx>0，f(x)<0，又因为f(x)为奇函数，所以当x∈(−∞,−1)∪(−1,0)时，f(x)>0，由(x2−2x−8)f(x)>0，得x2−2x−8>0f(x)>0 或x2−2x−8<0f(x)<0，解得x∈(−∞，−2)∪(0,4)，选择C
5．已知f(x)=x2,x≤0−x(e1−x+ax2−a),x>0是减函数，且y=f(x)+bx有三个零点，则b的取值范围为（ ）
A． (0,ln22)∪[e−1,+∞) B． (0,ln22)
C． [e−1,+∞) D． {ln22}∪[e−1,+∞)
【答案】D
【解析】
当x>0，f(x)=−x(e1−x+ax2−a)单调递减，
可得x>0时，f'(x)=−x(e1−x+ax2−a)−x(−e1−x+a2)=(x−1)(e1−x−a)≤0在恒成立。
当0
由题意知：y=f(x)与y=−bx图象有三个交点，
当−b≥0时，只有一个交点，不合题意，
当−b<0时，由题意知，x=−b和x=0为两个图象交点，只需y=f(x)+bx在(0,+∞)有唯一零点。
x>0时，f(x)=−bx，即b=e1−x+x2−1有唯一解。
令g(x)=e1−x+x2−1，g'(x)=−e1−x+12.令g'x=0得x=1+ln2，
所以x∈0,1+ln2时，g'x<0，g(x)单调递减；x∈1+ln2，+∞时，g'x>0，g(x)单调递增。
g(x)min=g(1+ln2)=ln22 ，
x→0时，g(x)→e−1，x→+∞时，g(x)→+∞，
所以要使b=e1−x+x2−1在(0,+∞)有唯一解，
只需b=ln22或b≥e−1.
故选D.
6．设函数f(x)=|x+1|,x≤0,|log4x|,x>0,若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1
【答案】A
【解析】
画出函数fx的图像如下图所示，根据对称性可知，x1和x2关于x=−1对称，故x1+x2=−2.由于log4x=log41x，故1x3=x4,x3⋅x4=1.令log41x=1，解得x=14，所以x3∈14,1.x3(x1+x2)+1x32x4 =−2x3+1x3，由于函数y=−2x+1x在区间14,1为减函数，故−2x3+1x3∈−1,72，故选A.
7．设函数f(x)=ex(2x−1)−ax+a，其中，a<1，若存在唯一的整数t，使得f(t)<0，则a的取值范围是（ ）
A． [−32e,1) B． [32e,1) C． [−32e,34) D． [32e,34)
【答案】B
【解析】
设gx=ex2x−1，y=ax−a，
由题意知,存在唯一的整数x0使得gx0在直线y=ax−a的下方，
∵g'x=ex2x−1+2ex=ex2x+1，
∴当x<−12时，g'x<0，当x>−12时，g'x>0，
∴当x=−12时，gx取最小值−2e−12，
当x=0时，g0=−1，当x=1时，g1=e>0，
直线y=ax−a恒过定点1，0且斜率为a，故−a>g0=−1且g−1=−3e−1≥−a−a，解得32e≤a<1,故选：B．
8．对于任意的y∈1,e，关于x的方程x2ye1−x=ay+lny在x∈−1,4上有三个根，则实数a的取值范围是
A． 16e3,3e B． 0，16e3 C． 16e3,e2−3e D． 16e3,e2−1e
【答案】A
【解析】
原方程可以化成ex2ex=a+lnyy，取fx=ex2ex,x∈−1,4，gx=a+lnxx,x∈1,e.
f'x=e2x−x2ex,x∈−1,4，
当x∈−1,0时，f'x<0，故fx在−1,0上为减函数；
当x∈0,2时，f'x>0，故fx在0,2上为增函数；
当x∈2,4时，f'x<0，故fx在2,4上为增函数；
fx极小值=f0=0，fx极大值=f2=4e，f−1=e2,f4=16e3，
g'x=1−lnxx2,x∈1,e，故g'x>0，gx在1,e上为增函数.
因为关于x的方程ex2ex=a+lnyy在−1,4有三个不同的实数根，故
g1≥f4ge
A． (−2,+∞) B． (−1,+∞) C． (2,+∞) D． (3,+∞)
【答案】B
【解析】
f(x)=ex−ae−x为奇函数，∴f（0）=1−a=0 ，求得a=1 ，可得f（x）=ex−e−x．
不等式足f(x−1)>1e2−e2，即ex−1−e1−x＜1e2−e2 ，即f（x−1）＜f（−2） ．
再根据f（x）=ex−e−x 在R上单调递增，可得x−1＜−2，∴x＜−1 ，
故选B.．
10．若函数f(x)=52ln(x+1)+1a(x+1)−ax在(0,1)上为增函数，则a的取值范围为（ ）
A． (−∞,0)∪14,2 B． [−1,0)∪12,1
C． [−1,0)∪(0,14] D． (−∞,0)∪[12,1]
【答案】D
【解析】
依题意可得f'x=52x+1−1ax+12−a=−2a2x+12+5ax+1−2ax+12.
因fx为0,1的增函数，故f'x≥0在0,1上恒成立，
当a>0时，−2a2x+12+5ax+1−2≥0，令t=x+1∈1,2，则
−2a2t2+5at−2≥0即2a2t2−5at+2≤0，
令gt=2a2t2−5at+2，则g1≤0g2≤0，故2a2−5a+2≤08a2−10a+2≤0，解得12≤a≤1.
当a<0，则−2a2x+12+5ax+1−2≤0，令t=x+1∈1,2，则
−2a2t2+5at−2≤0即2a2t2−5at+2≥0，该不等式在1,2恒成立.
综上，a∈−∞,0∪12,1，故选D.
11．已知函数f(x)=cosπ2+x, x≤0ex−1, x>0，若f(x)≥ax−1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． [0,+∞) B． [0,e] C． [0,1] D． [e,+∞)
【答案】B
【解析】
由题意可以作出函数y=f(x)与y=ax−1的图象，如图所示．
若不等式f(x)≥ax−1恒成立，必有0≤a≤k，其中k是y=ex−1过点(0,−1)的切线斜率．设切点为(x0, ex0−1)，因为y'=ex，所以
k=ex0=(ex0−1)−(−1)x0−0，解得x0=1，所以k=e，故0≤a≤e
12．已知曲线f(x)=−13x3+a2x2−2x(a>0)与直线y=kx−13相切，且满足条件的k值有且只有3个，则实数a的取值范围是（ ）
A． [2,+∞) B． (2,+∞) C． [1,+∞) D． (1,+∞)
【答案】B
【解析】
由题意得：f'(x)=−x2+ax−2，设切点P(t,−13t3+a2t2−2t)，
则其切线的斜率为k=f'(t)=−t2+at−2，
所以切线方程为y+13t3−a2t2+2t=(−t2+at−2)(x−t)，又点(0,−13)在切线上，
∴−13+13t3−a2t2+2t=(−t2+at−2)(0−t)，即23t3−12at2+13=0，
由题意得，方程23t3−12at2+13=0有三个不同的实数解，记ℎ(t)=23t3−12at2+13，
则ℎ'(t)=2t2−at，当a>0时，令ℎ'(t)>0，解得t<0或t>a2，令ℎ'(t)<0，解得0
则ℎ(a2)<0，解得a>2，实数a的取值范围是(2,+∞)，故选B
13．若函数f(x)=52ln(x+1)+1a(x+1)−ax在(0,1)上为增函数，则a的取值范围为（ ）
A． (−∞,0)∪[14,2] B． (−∞,0)∪[12,1] C． [−1,0)∪(0,14] D． [−1,0)∪[12,1]
【答案】B
【解析】
依题意可得f'x=52x+1−1ax+12−a≥0对x∈(0,1)恒成立，令x+1=t(1
设g(t)= at2−52t+1a，t∈(1,2).
当a>0时，g1=a−52+1a≤0g2=4a−5+1a≤0
解得12≤a≤1.
当a<0时，g(0)=1a<0，-−522a=54a<0，∴gt<0对t∈(1,2)恒成立.
综上，a的取值范围为(−∞,0)∪[12,1].
故选B.
14．若函数f(x)=52lnx+1ax−ax−1在(1,2)上为增函数，则a的取值范围为（ ）
A． (−∞,0)∪[14,2] B． (−∞,0)∪[12,1] C． [−1,0)∪(0,14] D． [−1,0)∪[12,1]
【答案】B
【解析】
依题意可得f'x=52x−1ax2−a≥0对x∈(1,2)恒成立，
即ax2−52x+1a≤0对x∈(1,2)恒成立.
设g(x)= ax2−52x+1a，x∈(1,2).
当a>0时，g1=a−52+1a≤0g2=4a−5+1a≤0
解得12≤a≤1.
当a<0时，g(0)=1a<0，-−522a=54a<0，∴gx<0对x∈(1,2)恒成立.
综上，a的取值范围为(−∞,0)∪[12,1].
故选B.
15．若函数f(x)=e2x−2x+a,x>0ax+3a−2,x≤0在(−∞,+∞)上是单调函数，且f(x)存在负的零点，则a的取值范围是（ ）
A． (23,1] B． (23,32] C． (0,32] D． (23,+∞)
【答案】B
【解析】
当x>0时，f'x=2e2x−2>0,所以函数f(x)在(−∞,+∞)上只能是单调递增函数，又f(x)存在负的零点，而当x>0时，f(0)=1+a，当x≤0时，f（0）=3a-2，∴0<3a-2≤1+a，解得
23
16．设函数fx在定义域0,+∞上是单调函数，且∀x∈0,+∞,ffx−ex+x=e，若不等式fx+f'x≥ax对x∈(0,+∞)恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． −∞,e−2 B． −∞,e−1
C． −∞,2e−3 D． −∞,2e−1
【答案】D
【解析】
由题意易知fx−ex+x为定值，不妨设fx−ex+x=t，则fx=ex−x+t，
又ft=e，故et−t+t=e，解得：t=1，
即函数的解析式为fx=ex−x+1，f'x=ex−1，
由题意可知：ex−x+1+ex−1≥ax对x∈(0,+∞)恒成立，
即a≤2exx−1对x∈(0,+∞)恒成立，
令gx=2exx−1，则g'x=2exx−1x2，
据此可知函数gx在区间0,1上单调递减，在区间1,+∞上单调递增，
函数gx的最小值为g1=2e−1，
结合恒成立的结论可知：a的取值范围是−∞,2e−1.
本题选择D选项.
17．已知函数f(x)=aln(x+1)−x2在区间(0,1)内任取两个实数p,q，且p≠q，不等式f(p+1)−f(q+1)p−q>1恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
A． [11,+∞) B． [13,+∞) C． [15,+∞) D． [17,+∞)
【答案】C
【解析】
∵fp+1−fq+1p−q的几何意义，
表示点p+1,fp+1与点q+1,fq+1连线斜率，
∵实数p,q在区间0,1内，故p+1和q+1在1,2内，
不等式fp+1−fq+1p−q>1恒成立，
∴函数图象上在区间1,2内任意两点连线的斜率大于1 ,
故函数的导数大于1在1,2内恒成立，
∴f'x=ax+1−2x>1在1,2内恒成立，
由函数的定义域知，x>−1，
所以a>2x2+3x+1在1,2内恒成立，
由于二次函数y=2x2+3x+1在1,2上是单调递增函数，
故x=2时，y=2x2+3x+1在1,2上取最大值为15，
∴a≥15，∴a∈15,+∞，故选C.
18．已知函数f(x)=exx−a，g(x)=3(ex−ax)ex，若方程f(x)=g(x)有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是
A． −∞,e B． e,3∪3,+∞ C． −∞,0∪e,+∞ D． e,+∞
【答案】B
【解析】
由f(x)=g(x)得到exx−a=3(1−axex)，
令exx=t，则得t−a=3(1−at)，整理得t−3t−a=0．
由t(x)=exx得，当x<0时，t(x)<0；
当x>0时，t'(x)=ex(x−1)x2，t(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以当x>0时t(x)≥t(1)=e．
所以函数t(x)的值域为(−∞,0)∪[e,+∞)．
画出函数t(x)=exx的图象如下图所示．
由题意可得“方程f(x)=g(x)有4个不同的实数解”等价于“方程t−3t−a=0有两个大于e的不等实根”，
由于t=exx=3有两个不等实根，
所以只需方程t=exx=a有两个不同于上述方程的实根，
结合图象可得a>e且a≠3，
所以实数a的取值范围是e,3∪3,+∞．
故选B．
19．若函数f(x)=ex, x≥0−x2+2x+1, x<0（其中e是自然对数的底数），且函数y=f(x)−mx有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． (0,1) B． (0,e) C． (−∞,0)∪(1,+∞) D． (−∞,0)∪(e,+∞)
【答案】D
【解析】
由y=f(x)−mx=0，可得f(x)=mx，作出函数y=f(x)的图象，而y=mx表示过原点且斜率为m的直线，由图可知，当m<0时，y=f(x)与y=mx有两个不同
的交点，满足题意；
过原点(0,0)作y=ex的切线，设切点为(t,et)，因为y'=ex，
所以切线方程为y−et=et(x−t)，将(0,0)代入，得t=1，
此时切线的斜率为e，也即当m=e时，y=mx与y=ex相切，
由图可知，当m>e时，y=f(x)与y=mx有两个不同的交点，满足题意；
综上可知，实数m的取值范围是(−∞,0)∪(e,+∞)．
答案选D
20．已知函数f(x)=alnx−bx2，a,b∈R.若不等式f(x)≥x对所有的b∈(−∞,0]，x∈(e,e2]都成立，则a的取值范围是（ ）
A． [e,+∞) B． [e22,+∞) C． [e22,e2) D． [e2,+∞)
【答案】B
【解析】
由alnx−bx2≥x得alnx−x≥bx2，对任意b≤0，x∈e,e2都成立，故alnx−x≥0，即a≥xlnx对x∈e,e2都成立.构造函数ℎx=xlnx，其中x∈e,e2.ℎ'x=lnx−1lnx2，故当x∈e,e2时ℎ'x>0，即ℎx单调递增，最大值为ℎe2=e22，故a≥e22.
21．设函数fx是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒fx−f−x=0，当x∈−1,0时，fx=x2．若gx=fx−logax在x∈0,+∞上有且仅有三个零点，则a的取值范围为（ ）
A． 3,5 B． 4,6 C． 3,5 D． 4,6
【答案】C
【解析】
∵fx−f−x=0,∴fx=f−x，
∴fx是偶函数，
根据函数的周期和奇偶性作出fx的图象如图所示,
∵gx=fx−logax在x∈0,+∞上有且仅有三个零点，
∴y=fx和y=logax的图象在0,+∞上只有三个交点，
结合图象可得
∴loga3<1loga5>1a>1，解得3
22．设函数f(x)=lnx+a(x2−3x+2)，若f(x)>0在区间(1 ， +∞)上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． [0 ， 1] B． [−1 ， 0] C． [0 ， 2] D． [−1 ， 1]
【答案】A
【解析】
整理得ax2−3x+2>−lnx，如图，
为了满足不等式恒成立，则a≥0，
且在x=1处的切线斜率，f'1≤g'1，
所以f'x=−1x，g'x=a2x−3，
所以f'1≤g'1得a≤1，
综上，0≤a≤1。故选A。
23．已知函数f(x)=mx−1−nlnx (m>0,0≤n≤e)在区间[1,e]内有唯一零点，则n+2m+1的取值范围为（ ）
A． [e+2e2+e+1,e2+1] B． [2e+1,e2+1]
C． [2e+1,1] D． [1,e2+1]
【答案】A
【解析】
由题意m=nxlnx+x 在区间[1,e]内有唯一实数解
令g(x)＝nxlnx+x，x∈[1，e]，
∵g'(x)=nlnx+n+1=0，解得lnx=−n+1n<−1,x<1e, ，
∴函数g(x)在区间[1，e]上单调递增，
g（1）=1，ge=ne+e,∵0≤n≤e,∴1≤m≤e2+e
则2≤n+2≤e+2,2≤m+1≤e2+e+1 ，则n+2m+1的取值范围为[e+2e2+e+1,e2+1].
故选A.
24．已知函数fx=x2+2x−12x<0与gx=x2+log2x+a的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）
A． −∞,−2 B． −∞,2 C． −∞,22 D． −22,22
【答案】B
【解析】
依题意，存在x0>0，使得f(−x0)=g(x0) ，即|x0|+2−x0−12=|x0|+log2(x0+a) ；因而2−x0−12=log2(x0+a)，即函数y=2−x−12 与y=log2(x+a) 的图像在(0,+∞) 上有交点；如图所示，可知若函数y=2−x−12 与y=log2(x+a)的图象在上有交点，则当x=0 时，满足log2(0+a)<20−12⇒log2a<12 ，即0
A． 1,+∞ B． −1,4 C． −1,+∞ D． −1,6
【答案】C
【解析】
不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈2,3恒成立，等价于a≥yx−2yx2，对于x∈[1,2],y∈2,3恒成立，令t=yx，则1≤t≤3，∴a≥t−2t2在1,3上恒成立，∵y=−2t2+t=−2t−142+18，∴t=1时，ymax=−1,∴a≥−1，a的取值范围是−1,+∞，故选C.
26．已知函数f(x)=xlnx−2x,x>0x2+32x,x≤0，若方程f(x)−mx+1=0恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． (−1,−13) B． (−1,−12) C． (−34,−12) D． (−2,−12)
【答案】B
【解析】
因为y=xlnx−2x∴y'=lnx−1=0,x=e ，作图，由y=mx−1与y=x2+32x相切 得x2+(32−m)x+1=0,Δ=(32−m)2−4=0∴m=−12或72(舍) ，由y=mx−1与y=xlnx−2x相切得设切点(x0,x0lnx0−2x0),∴m=lnx0−1=x0lnx0−2x0+1x0 ，∴x0=1,m=−1.如图可得实数m的取值范围是(−1,−12)，选B.
27．已知函数fx=sinπx,0≤x≤1log2017x,x>1，若a,b,c互不相等，且fa=fb=fc，则a+b+c的取值范围是（ ）
A． (1,2017) B． (1,2018) C． [2,2018] D． (2,2018)
【答案】D
【解析】
由正弦函数图像得a+b=2×12=1 ，所以0
A． (0,1) B． (1,3) C． (0,1)∪(3,+∞) D． (0,1)∪(1,3)
【答案】D
【解析】
y=logax关于y轴对称函数为y=loga−x，01时，要使y=loga−x与y=|x+2|,−3≤x≤0的图象有且仅有一个交点，则loga3>1,∴1
A． k<−e2 B． k<−e2−e
C． k>−e2−e D． k>−e2
【答案】B
【解析】
因为f(x)=xex，
所以f'x=x+1ex，
可得f(x)在−∞,−1上递减，在−1,+∞递增，
所以，f(x)=xex有最小值f−1=−1e，且x<0时，fx<0，
所以，−1e
即ℎt=kt2−t+1=0在−1e,0有两个根时，
gx=0的零点最多为4个，
∴g0=1>0g−1e=k×1e2+1e+1>0Δ=1−4k>0−1e<12k<0，解得k<−e2−e，故选B.
30．已知函数f(x)=|lnx|,0
【答案】B
【解析】
当2
31．设函数f(x)=ex+e−x−1x2+1，则使得f(2x)>f(x+1)成立的x的取值范围是（ ）
A． (−∞,1) B． (1,+∞) C． (−13,1) D． (−∞,−13)∪(1,+∞)
【答案】D
【解析】
f−x=e−x+ex−1x2+1，所以f−x=fx，fx为R上的偶函数，
又f'x=ex−e−x+2xx2+12，当x>0时，f'x>0，故fx在0,+∞上为增函数.
因f2x=f2x,fx+1=fx+1，由f2x>fx+1 得到2x>x+1，
故3x2−2x−1>0，x<−13或x>1，选D.
32．设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xlnx⋅f'(x)<−f(x)，则使得(x2−4)f(x)>0成立的x的取值范围是（ ）
A． (−2,0)∪(0,2) B． (−∞,−2)∪(2,+∞) C． (−2,0)∪(2,+∞) D． (−∞,−2)∪(0,2)
【答案】D
【解析】
根据题意，设gx=lnx⋅fxx>0，
其导数g'x=lnx'fx+lnxf'x=1xfx+lnxf'x ，
又由当x>0时，lnx⋅f'x<−1xfx，
则有 g'x=1xfx+lnx⋅f'x<0，
即函数gx在0,+∞ 上为减函数，
又由g1=ln1⋅f1=0，
则在区间0,1上，gx=lnx⋅fx>g1=0，
又由lnx<0，则fx<0，
在区间1,+∞上，gx=lnx⋅fx
则fx在0,1和1,+∞上，fx<0，
又由fx为奇函数，则在区间−1,0和−∞,−1上，都有fx>0，
x2−4fx>0⇔x2−4>0fx>0或x2−4<0fx<0，
解可得x<−2或0
33．已知函数f(x)=exx−ax，x∈(0,+∞)，当x2>x1时，不等式f(x1)x2−f(x2)x1<0恒成立，则实数a的取值范围为
A． (−∞,e] B． (−∞,e) C． (−∞,e2) D． (−∞,e2]
【答案】D
【解析】
不等式f(x1)x2−f(x2)x1<0即x1fx1−x2fx2x1x2<0，
结合x2>x1>0可得x1fx1−x2fx2<0恒成立，即x2fx2>x1fx1恒成立，
构造函数gx=xfx=ex−ax2，由题意可知函数gx在定义域内单调递增，
故g'x=ex−2ax≥0恒成立，即a≤ex2x恒成立，
令ℎx=ex2xx>0，则ℎ'x=exx−12x2，
当01时，ℎ'x>0,ℎx单调递增；
则ℎx的最小值为ℎ1=e12×1=e2，
据此可得实数a的取值范围为(−∞,e2].
本题选择D选项.
34．设f(x)=lnx+1x，若函数y=f(x)−ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． 0,e23 B． e23,e C． 1e,1 D． 0,1e∪e23
【答案】A
【解析】
y=fx−ax2恰有3个零点，则lnx+1x3=a恰有3个根，
令gx=lnx+1x3，即gx 与y=a恰有3个交点，
gx=lnx+1x3=−lnx−1x3,x∈0,1elnx+1x3,x∈1e,+∞，
当x∈0,1e时，g'x=3lnx+2x4<0，所以gx在0,1e上是减函数；
当x∈1e,+∞时，g'x=−3lnx+2x4，
当x∈e−1,e−23时，g'x>0，
当x∈e−23,+∞时，g'x<0，
所以gx在e−1,e−23时增函数，在e−23,+∞时减函数，且fe−23=e23，f1e=0
所以a∈(0,e23)
故选A．
35．已知函数f(x)=x2+2(1−a)x+(1−a)2,g(x)=x−1，若fx和gx图象有三条公切线，则a的取值范围是（ ）
A． a>1+334 B． a<1+334 C． 0
【解析】
设公切线与f(x),g(x)分别相切于点(m,f(m)),(n,g(n)),f'(x)=2(x+1−a)
g'(x)=−x−2,g'(x0)=f'(x1)=g(x0)−f(x1)x0−x1，−n−2=2(m+1−a)=n−1−(m+1−a)2n−m
解得m=−n−22−(1−a)，代入化简得a=1+2n+n−24=1+n+n+n−24≥1+334 (n>0)，
函数ℎ(n)=1+2n+n−24在区间(−∞,0)递增，在区间(0,134)递减，在区间(134，+∞)递增，
且n→0,ℎ(n)→+∞，可知无上界，即时，
方程a=ℎ(n),(n≠0)有三解，故选A.
36．对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=ex﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（ ）
A． [73，3] B． [2，73] C． [2，3] D． [2，4]
【答案】C
【解析】
：f(x)=ex−1+x−2，f(x)为单调递增的函数，且x=1是函数唯一的零点，由fx,g(x)互为“零点相邻函数”，则g(x)的零点在[0,2]之间。
（1）当g(x)有唯一的零点时，∆=0，解得a=2，解得x=1满足题意；
（2）当g(x)在[0,2]之间有唯一零点时，g0g2≤0,解得 a∈[73,3];
（3）当g(x)在[0,2]之间有两个点时，∆>0,g0g2≥0,解得 a∈(2,3]
综上所述，解得a∈[2,3]。故选C。
37．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)+xf'(x)<2恒成立，则使x2f(x)−f(1)
C． (−1,1) D． (−1,0)∪(0,1)
【答案】B
【解析】
fx是R上的偶函数，则函数gx=x2fx−x2也是R上的偶函数，
对任意的实数x，都有2f(x)+xf'(x)<2恒成立，
则g'x=x2fx+xf'x−2.
当x≥0时，g'x<0，当x<0时，g'x>0，
即偶函数gx在区间−∞,0上单调递增，在区间0,+∞上单调递减，
不等式x2f(x)−f(1)1.
即实数x的取值范围为(−∞,−1)∪(1,+∞).
本题选择B选项.
38．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{xf(x)=0};β∈{xg(x)=0}，若所有的α,β，都有α−β≤1，则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”.f(x)=ex−1+x−2与g(x)=x2−ax−a+3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（ ）
A． 2,4 B． 2,73 C． 73,3 D． 2,3
【答案】D
【解析】
：f(x)=ex−1+x−2，f(x)为单调递增的函数，且x=1是函数唯一的零点，由fx,g(x)互为“零点相邻函数”，则g(x)的零点在[0,2]之间。
（1）当g(x)有唯一的零点时，∆=0，解得a=2，解得x=1满足题意；
（2）当g(x)在[0,2]之间有唯一零点时，g0g2≤0,解得 a∈[73,3];
（3）当g(x)在[0,2]之间有两个点时，∆>0,g0g2≥0,解得 a∈(2,3]
综上所述，解得a∈[2,3]。故选D。
39．已知函数f(x)=−x2+2x+4x，g(x)=11x⋅3x−1−2x3x，实数a，b满足a
【答案】A
【解析】
由g(x)=11x⋅3x−1−2x3x =113x−23x可知函数gx在区间−1,1上单调递增，
函数的最大值gxmax=g1=3，
函数的最小值为gxmin=g−1=−113−32=−316，
f(x)=−x2+2x+4x =−2−x+4x，
结合函数平移的结论和对勾函数的性质绘制函数图象如图所示，
当x=−2时，函数有极小值f−2=2，
当x=2时，函数有极大值f2=−6<−316，
令fx=−2−x+4x=3可得：x=−1或x=−4，
据此可知，b−a的最大值为−4−−1=−3.
本题选择A选项.
40．已知函数fx={x+1x−1,x>12−ex,x≤1，若函数gx=fx−mx−1有两个零点，则实数m的取值范围是
A． −2,0 B． −1,0 C． −2,0∪0,+∞ D． −1,0∪0,+∞
【答案】D
【解析】
若函数gx=fx−mx−1有两个零点，
则函数fx的图象与y=m（x−1）有且仅有两个交点，
在同一坐标系内画出函数fx的图象与y=m（x−1）的图象如下：
由图可得：当m＞0时，满足条件；
由m=−1时，y=2−ex与y=m（x−1）相切得：
−1＜m＜ 0时，满足条件；
故m∈（−1，0）∪（0，+∞），
故选：D．
41．已知函数f(x)=ex−1,x>0−x2−2x+1,x≤0，若关于x的方程f2(x)−3f(x)+a=0(a∈R)有8个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． 0,14 B． 13,3 C． (1,2) D． 2,94
【答案】D
【解析】
绘制函数f(x)=ex−1,x>0−x2−2x+1,x≤0的图象如图所示，
令fx=t，由题意可知，方程t2−3t+a=0在区间1,2上有两个不同的实数根，
令gt=t2−3t+a1
本题选择D选项.
二、填空题
42．若∀x∈(0,+∞)，不等式eλx−lnxλ≥0恒成立，则正实数λ的取值范围是_____.
【答案】[1e,+∞)
【解析】
实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx−lnxλ≥0恒成立，
即为（eλx−lnxλ ）min≥0，
设f（x）＝eλx−lnxλ，x＞0，f′（x）＝λeλx−1λx，
令f′（x）＝0，可得eλx=1λ2x，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得y＝eλx和y=1λ2x有且只有一个交点，
设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值．
即有eλm=1λ2m，令eλm−lnmλ=0，
可得m＝e，λ=1e．
则当λ≥1e时，不等式eλx−lnxλ≥0恒成立．
故答案为[1e,+∞).
43．已知函数f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），设f（x）的导函数为f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围为_____．
【答案】32,5
【解析】
f（x）=﹣ax2+x3+x2=x3+（1﹣a）x2，f′（x）=3x2+2（1﹣a）x，
f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，
即﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2恒成立，
﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x，可化为（a+3）x+2（1﹣a）＞0，
∴a+3≥0a+3+21−a≥0，解得﹣3≤a≤5①；
3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2可化为2a＞﹣x2+2x+2，
而﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3＜3，
∴2a≥3，即a≥32②，
由①②可得32≤a≤5，
∴实数a的取值范围是32,5，故答案为32,5．
44．若函数fx=2x+2−a,x≤0x3−ax+2,x>0有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
【答案】3,+∞
【解析】
由题意可将函数fx有三个不同的零点转化为函数y=a与g（x）=2x+2,x≤0x3+2x,x>0有三个不同的交点，如图所示：
当x≤0时，y=2x+2的图象易得，当x>0时，函数g(x)=x3+2x，g'x=2x3−2x2=0，x=1,
∴gx在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增，如图所示：
有三个不同的交点，∴a＞3
故答案为：3,+∞.
45．已知函数f(x)=lgx,x>0.2x,x≤0.若函数y=2f(x)−a−1存在5个零点，则实数a的取值范围为________.
【答案】1，3
【解析】
先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)，
当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数y=2f(x)−a−1存在4个零点，不合题意.
当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数y=2f(x)−a−1存在5个零点，符合题意.
当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数y=2f(x)−3−1存在6个零点，不符合题意.
所以实数a的取值范围为1，3.
故答案为：1，3
46．设m∈R，若函数fx=x3−3x−m在x∈0,3上的最大值与最小值之差为2，则实数m的取值范围是__________．
【答案】(−∞,−2]∪[0,+∞)
【解析】
设gx=x3−3x,x∈[0,3]，
则g'x=3x2−3=3(x−1)(x+1)，
所以函数y=gx在区间0,1上单调递减，在区间1,3上单调递增．
∵g0=0，g1=−2，g3=0，
∴函数y=gx的值域为−2,0，最大值与最小值之差为2，
∴函数y=x3−3x−m,x∈[0,3]的值域为−2−m,−m，最大值与最小值之差也为2．
∵函数fx=x3−3x−m在x∈[0,3]上的最大值与最小值之差为2，
∴−2−m≥0或−m≤0，
解得m≤−2或m≥0.
∴实数m的取值范围为(−∞,−2]∪[0,+∞)．
故答案为(−∞,−2]∪[0,+∞)．
47．已知函数f（x）＝lg（1－x）－lg（1＋x），函数g（x）＝2－ax（a＞0且a≠1）．若当x∈[0，1）时，函数f（x）与函数g（x）的值域的交集非空，则实数a的取值范围为__________．
【答案】2,+∞
【解析】
依题意，fx=lg1−x−lg1+x=lg1−x1+x=lg−1+2x+1；
当x∈0,1时, fx=lg(−1+2x+1)是减函数，∴f(x)∈-∞，0，
当a>1时,gx=2−ax,x∈0,1时单调递减, g(x)∈2−a，1，
∴2−a<0，∴a>2；
当0
48．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)，且当x∈[−2,0]时，f(x)=(13)x−6.在区间(−2,6]内关于x的方程f(x)−loga(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是_________.
【答案】(34,2)
【解析】
如图所示，当x∈[−2，0]时，f(x)=(13)x﹣6，可得图象．
根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），
画出[2，6]的图象．
画出函数y=loga（x+2）（a＞1）的图象．
∵在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，
∴loga8＞3，loga4＜3，
∴4＜a3＜8，
解得34＜a＜2．
故答案为：(34,2)
49．不等式(acos2x−3)sinx≥−3对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】−32,12
【解析】
令sin=t,−1≤t≤1，
则原函数化为gt=−at2+a−3t，
即gt=−at3+a−3t，
由−at3+a−3t≥−3,−att2−1−3t−1≥0，
t−1−att+1−3≥0及t−1≤0知，
−att+1−3≤0，即at2+t≥−3，
当t=0,−1时（1）总成立，
对0
50．已知函数f(x)=−x2(x≥0),2x−1(x<0)，若函数g(x)=f(x)−b有两个零点，则实数b的取值范围是___________.
【答案】−1
作出函数fx=−x2,x≥02x−1,<0的图象，
令gx=0,可得fx=b ,
画出直线y=b ,平移可得当−1
则gx的零点有两个，
故b的取值范围是−1
【解析】
由f(−3−x)=f(1+x)可知函数f(x)关于直线x=−1对称；在(−∞,−1)中任意取两个不相等的实数x1, x2，都有(x1−x2)f(x1)−f(x2)<0恒成立；可知函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，由对称性可知函数f(x)在区间(−1,+∞)上单调递增，不妨设f(x)=(x+1)2，则由f(2a−1)
答案为：−∞,15∪1,+∞
52．已知函数f(x)=(m+3)(x+m+1)(x+m),g(x)=2x−2，若对任意x∈R，有f(x)>0 或g(x)>0 成立，则实数 m的取值范围是____________
【答案】-3
由gx=2x−2>0 ,得x>1，故对x>1时，gx>0恒成立，
由gx=2x−2≤0 ,得x≤1，故对x≤1时，gx>0不成立，
从而对任意x≤1， fx=m+3x+m+1x+m>0恒成立，
画出函数的图象，由图可知，
函数f(x)=(m+3)(x+m+1)(x+m)的图象开口向上，
且两个零点都大于1,
可得m满足m+3>0−m−1>1−m>1，解得−3
【答案】a≥e+4
【解析】
当x≥1时，x+4x≥4 （当且仅当x=2时取等号），当x<1时，a−ex>a−e ，因此a−e≥4∴a≥e+4.
54．已知函数fx=ex+cosx,若f1nab+flnba−2f1>0,则ab的取值范围是____________ .
【答案】 (0,1e)∪(e,+∞)
【解析】
∵ fx=ex+cosx，
∴f−x=e−x+cos−x
=ex+cosx=fx，
∴fx是偶函数，
x>0时，f'x=ex−sinx>0，
∴fx在0,+∞上递增，
由fx是偶函数可得fx在−∞,0上递减，
flnab+flnba−2f1>0，
flnab+f−lnab−2f1>0
化为2flnab>2f1，flnab>f1，
等价于lnab>1，lnab>1或lnab<−1，
ab>e或0
55．已知直线l:y=kx与圆x2+y2−2x−2y+1=0相交于A,B两点，点M(0,b)，且MA⊥MB，若b∈(1,32)，则实数k的取值范围是__________．
【答案】(1,6−23)∪(6+23,+∞)
【解析】
MA,MB由y＝kxx2+y2−2x−2y+1＝0，
消去y得：（k2+1）x2-（2k+2）x+1=0，①
设P（x1，y1）Q（x2，y2），∴x1+x2=21+k1+k2，x1⋅x2=11+k2，
∵MA⊥MB，
∴MA⋅MB=0，
（x1，y1-b）（x2，y2-b）=0，即x1•x2+（y1-b）（y2-b）=0
∵y1=kx1，y2=kx2，
∴（1+k2）x1•x2-kb（x1+x2）+b2=0，
∴（1+k2）⋅11+k2−kb⋅21+k1+k2+b2=0，
即2k1+k1+k2=2+2k−21+k2=b2+1b=b+1b ，
∵b∈(1,32)，
设f（b）=b+1b ，在区间(1,32)上单调递增，求得f（b）∈（2，136） ，可得2k−2k2+1∈（0，16），，解得：1＜k＜6−23或k＞6+23，
k的取值范围（(1,6−23)∪(6+23,+∞)．
56．已知函数fx=x2−2ax+a2−1，gx=2x−a，∀x1∈−1,1,∃x2∈−1,1，使fx2=gx1，则实数a的取值范围是__________.
【答案】−2,−1
【解析】
∀x1∈−1,1,∃x2∈−1,1，使fx2=gx1，即g(x)的值域是fx的子集
g(x)∈[−2−a,2−a]
fx=x2−2ax+a2−1，x∈−1,1
当a≤-1时，f(x)∈[a2+2a,a2−2a]，即a2+2a≤−2−a，2−a≤a2−2a，解得a∈[−2,−1]
当-1
综上所述，a的范围为[−2,−1]
57．已知函数f(x)=2x+1−4−2x的定义域为D，当x∈D时，f(x)≤m恒成立，则实数m的取值范围是__________
【答案】[5,+∞)
【解析】
【详解】
令4−2x≥0，解得x≤2，所以函数的定义域为(−∞,2]，
当x∈D时，f(x)≤m恒成立，即为f(x)max≤m成立，
又因为f(x)=2x+1−4−2x在其定义域上是增函数，
故f(x)max=f(2)=5，所以m≥5，
故答案是[5,+∞).
58．已知函数fx=xlnx，gx=−x2+ax−3，对一切x∈0,+∞，2fx≥gx恒成立，则实数a的取值范围为________.
【答案】−∞,4
【解析】
因为2fx≥gx，代入解析式可得2xlnx≥−x2+ax−3
分离参数a可得
a≤2lnx+x+3x
令ℎ(x)=2lnx+x+3x（x>0 ）
则ℎ'(x)=x+3x−1x2，令ℎ'(x)=0解得x1=−3,x2=1
所以当0＜x＜1，ℎ'(x)<0，所以h（x）在（0，1）上单调递减
当1＜x，ℎ'(x)>0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值．
所以h（x）≥h（1）=4．
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）min=4．
所以a的取值范围为−∞,4
59．已知不等式20n−mlnmn≥0对任意正整数n恒成立，则实数m取值范围是__________．
【答案】4,5
【解析】
由题意，20n−m≥0，且lnmn≥0，或20n−m≤0，且lnmn≤0，
∴m≤20n，且mn≥1，或m≥20n，且0
∵n为正整数，
∴n=4或5，
∴4⩽m⩽5，
故答案为：[4,5].
60．已知f(x)=(x+1)3⋅e−x+1，g(x)=(x+1)2+a，若∃x1,x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】−∞,27e
【解析】
f'(x)=3(x+1)2e−x+1−(x+1)3e−x+1=(x+1)2e−x+1(2−x)，
则可知f(x)在−∞,2单调递增，在2，,+∞单调递减.故f(x)max=f(2)=27e.
g(x)=(x+1)2+a在−∞,−1单调递减，在−1，,+∞单调递增.故g(x)min=g(−1)=a.
∃x1,x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则f(x)max≥g(x)min，所以a≤27e.
61．已知函数fx=xx−1lnx，偶函数gx=kx2+bexk≠0的图像与曲线y=fx有且仅有一个公共点，则k的取值范围为_________.
【答案】k∈(0,1)∪(1,+∞)
【解析】
∵gx=kx2+bexk≠0为偶函数，∴b=0
∴gx=kx2
令fx= gx，可得k=x−1xlnx，
令ℎx=x−1xlnx，则ℎ'x=lnx−x+1xlnx2<0
∴ℎx在0，1和1，+∞上单调递减
由洛必达法则知limx→1ℎx=limx→1x−1xlnx=limx→11lnx+1=1
∵ℎx>0恒成立，limx→+∞ℎx=limx→+∞x−1xlnx=limx→+∞1lnx+1=0
∵k=ℎx只有一解
则k的取值范围为(0，1)∪(1，+∞)
62．已知关于x的不等式logm(mx2－x＋12)＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________
【答案】(12,58)∪(32,+∞)
【解析】
①当0
当12m<1，即12
当1<12m<2，，即14≤m<12时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，
则需f(1)<0,f(2)<0，无解；
当12m≥2，即0
②当m>1时，函数f(x)=logm(mx2−x+12)外层单调递增，
12m<12，二次函数单调递增，函数单调递增，
所以f(x)min=f(1)=logm(m−12)>0，解得：m>32.
综上所述：1232.
63．已知函数fx={lnx，x>0ax2+x，x<0，其中a>0，若函数y=fx的图象上恰好有两对关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为____．
【答案】0,1
【解析】
已知函数fx={lnx，x>0ax2+x，x<0，其中a>0，若函数y=fx的图象上恰好有两对关于y轴对称的点，
即x＞0时，y=lnx与y=ax2−x，有两个交点，y=lnx恒过（1，0），y=ax2−x中1a是函数的零点，所以必须满足0＜1a，
解得a∈（0，1） ．
故答案为：（0，1）．
64．已知函数f(x)=x22e ， x≥a ， lnx ， 0
【解析】
令ℎ(x)=lnx−x22e，ℎ'(x)=1x−xe，
所以函数h(x)在(0 ， e)上递增，在(e ， +∞)上递减，
又ℎ(e)=0，所以lnx≤x22e，当且仅当x=e时等号成立，
因为对任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)=kx0成立，
且过原点的直线与y=lnx切于点(e ， 1)，
所以函数f(x)的图象是不间断的，故a=e．
所以实数a 的取值集合为{e}.
故答案为：{e}
65．已知函数f(x)=x2−x+a ， x ≥−a ，x2+x+3a ， x<−a ． 记A={x|f(x)=0}，若A∩(−∞ ， 2)≠∅，则实数a的取值范围为______．
【答案】−∞，14
【解析】
由题意，条件可转化为函数fx=x2−x+a+2a，在(−∞,2)上存在零点，
所以方程x2=x+a−2a有根，所以函数gx=x2与ℎx=x+a−2a的图象有交点的横坐标在(−∞ ， 2)上，
所以函数ℎx=x+a−2a的图象为顶点(−a,−2a)在直线y=2x上移动的折线，
如图所示，可得2a≤12，即a≤14，所以实数a的取值范围是(−∞,14].
66．函数f(x)满足f(x)=f(−x),f(x)=f(2−x),当x∈[0,1]时, f(x)=x2,过点P(0,94)且斜率为k的直线与f(x)在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点,则k的取值范围为_________．
【答案】(1,1312)
【解析】
∵f(x)=f(−x)，f(x)=f(2−x)，
∴f−x= f(2−x)，即fx+2=f(x)，
∴函数f(x)的周期为T=2．
由x∈[0，1]时， f(x)=x2，
则当x∈[−1，0]时，− x∈[0，1]，故f−x=f(x)=x2，
因此当x∈[−1，1]时， f(x)=x2．
结合函数f(x)的周期性，画出函数f(x)(x∈[0，4])图象如下图所示．
又过点P(0，94)且斜率为k的直线方程为y=kx−94．
结合图象可得：
当x∈[0，1]时， f(x)=x2．与y=kx−94联立消去y整理得x2−kx+94=0，
由Δ=k2−9=0，得k=3或k=−3(舍去)，
此时x切=k2=32∉[0,1]，故不可能有三个交点；
当x∈[2,3]时，点(0,−94)与点(3,1)连线的斜率为1312，此时直线与y=f(x)有两个交点，又f(x)=(x−2)2，
若同y=kx−94相切，将两式联立消去y整理得x2−(k+4)x +254=0，
由Δ=(k+4)2−25=0，得k=1或k=−9(舍去)，
此时x切=k+42=52 ∈(2,3)，
所以当1
67．已知函数fx=2ex+12ax2+ax+1有两个极值，则实数a的取值范围为__________．
【答案】−∞,−2
【解析】
f'x=2ex+ax+a,由题意知f'x有两个零点，
由2ex+ax+a=0可得2ex=−ax+a，
即y=2exy=−ax+1有两个交点，
如图所示，考查临界条件：设y=2ex与y=−ax+1的切点为x0,y0，
即y0=2ex0，y'=2ex，则y'|x=x0=2ex0，
切线方程为y−2ex0=2ex0x−x0.
把−1,0代入切线方程可得x0=0，y'|x=x0=2，
据此可得：−a>2，即a<−2，
实数a的取值范围为−∞,−2.
68．定义maxa,b为a,b中的最大值，函数fx=maxlog2x+1,2−x,x>−1的最小值为c，如果函数gx=2m−1x+34,x≥cmx,x
【解析】
根据题意，fx=maxlog2x+1,2−x,x>−1，
则f（x）=2−x，x＜1log2x+1，x≥1 ，
分析可得，当x=1时，fx取得最小值2，则有c=1 ，
则x=2m−1x+34,x≥1mx,x<1，若gx为减函数，
必有(2m−1)＜00＜m＜1(2m−1)+34≤m，
解可得：0＜m≤14，即m的取值范围为0,14；
故答案为：0,14．
69．函数g(x)x∈R的图象如图所示，关于x的方程g(x)2+m⋅g(x)+2m+3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是__________
【答案】−32,−43
【解析】
根据函数gxx∈R的图象，设gx=t，
∵关于x的方程gx2+m⋅gx+2m+3=0有三个不同的实数解，
即为t2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在0,1上，一个在1,+∞上，
设ℎt=t2+mt+2m+3，
①当有一个根为1时，ℎ1=1+m+2m+3=0,m=−43，此时另一个根为13，符合题意；②当没有根为1时，则ℎ0=2m+3>0ℎ1=1+m+2m+3<0，解得−32
第七讲 以函数与导数为背景的取值范围问题专题
一、单选题
1．已知函数fx=x2−1,x<1lnxx,x≥1，关于x的方程2[f(x)]2+(1−2m)fx−m=0，有5个不同的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． {−1,1e} B． (0,+∞) C． (0,1e) D． (0,1e]
【答案】C
【解析】
设y=lnxx ，则y'=1−lnxx2，由y'=0解得x=e，当x∈(0,e)时y'>0，函数为增函数，当x∈(e,+∞)时y'<0，函数为减函数，当x=e时，函数取得极大值也是最大值为f(e)=1e.
方程2[f(x)]2+(1−2m)fx−m=0化为[f(x)−m][2f(x)+1]=0解得f(x)=m或f(x)=12.
画出函数fx的图象如图：
根据图象可知e的取值范围是(0,1e)时，方程由5个解.
故选C.
2．已知函数ℎ(x)=alnx+(a−1)x2+1 (a<0) ，在函数ℎ(x)图象上任取两点A,B，若直线AB的斜率的绝对值都不小于5，则实数a的取值范围是（ ）
A． (−∞,0) B． −∞,2−364 C． −∞,−2+364 D． 2−364,0
【答案】B
【解析】
ℎ'(x)=2(a−1)x2+ax<0，ℎx在0,+∞单调递减，A(x1,y1), B(x2,y2)，ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2≥5 设x1>x2>0,则ℎ(x1)+5x1≤ℎ(x2)+5x2.设f(x)=ℎ(x)+5x,则f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f'(x)=2(a−1)x2+5x+ax≤0对x∈(0,+∞)恒成立，则2(a−1)x2+5x+a≤0对x∈(0,+∞)恒成立， 则Δ≤0,即8a2−8a−25≥0，解之得a≤2−364或a≥2+364.又a<0，所以a≤2−364.
3．已知函数ℎx=alnx+a+1x2+1a<0，在函数ℎx图象上任取两点A,B，若直线AB的斜率的绝对值都不小于5，则实数a的取值范围是（ ）
A． −∞,0 B． −∞,2−364 C． −∞,2+364 D． 2−364,0
【答案】B
【解析】
ℎ'x=2a−1x2+ax<0，ℎx在0,+∞单调递减.
Ax1,y1，Bx2,y2，ℎx1−ℎx2x1−x2≥5.设x1>x2>0，则ℎx1+5x1≤ℎx2+5x2.
设fx=ℎx+5x，则fx在0,+∞上单调递减，
则f'x=2a−1x2+5x+ax≤0对x∈0,+∞恒成立.
则2a−1x2+5x+a≤0对x∈0,+∞恒成立，则Δ≤0，即8a2−8a−25≥0，
解之得a≤2−364或a≥2+364.
又a<0，所以a≤2−364.
4．设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xlnx⋅f'(x)<−f(x)，则使得(x2−2x−8)f(x)>0成立的x的取值范围是（ ）
A． (−2,0)∪(4,+∞) B． (−∞,−4)∪(0,2)
C． (−∞,−2)∪(0,4) D． (−∞,−2)∪(4,+∞)
【答案】C
【解析】
因为当x>0时，xlnx⋅f'(x)<−f(x)，构造函数g(x)=lnx⋅f(x)，当x>0时，g'(x)=lnx⋅f'(x)+1xf(x)<0，即g(x)=lnx⋅f(x)在(0,+∞)上单调递减，又因为g(1)=0，所以当x∈(0,1)，g(x)>0，lnx<0，f(x)<0，当x∈(1,+∞)，g(x)<0，lnx>0，f(x)<0，又因为f(x)为奇函数，所以当x∈(−∞,−1)∪(−1,0)时，f(x)>0，由(x2−2x−8)f(x)>0，得x2−2x−8>0f(x)>0 或x2−2x−8<0f(x)<0，解得x∈(−∞，−2)∪(0,4)，选择C
5．已知f(x)=x2,x≤0−x(e1−x+ax2−a),x>0是减函数，且y=f(x)+bx有三个零点，则b的取值范围为（ ）
A． (0,ln22)∪[e−1,+∞) B． (0,ln22)
C． [e−1,+∞) D． {ln22}∪[e−1,+∞)
【答案】D
【解析】
当x>0，f(x)=−x(e1−x+ax2−a)单调递减，
可得x>0时，f'(x)=−x(e1−x+ax2−a)−x(−e1−x+a2)=(x−1)(e1−x−a)≤0在恒成立。
当0
由题意知：y=f(x)与y=−bx图象有三个交点，
当−b≥0时，只有一个交点，不合题意，
当−b<0时，由题意知，x=−b和x=0为两个图象交点，只需y=f(x)+bx在(0,+∞)有唯一零点。
x>0时，f(x)=−bx，即b=e1−x+x2−1有唯一解。
令g(x)=e1−x+x2−1，g'(x)=−e1−x+12.令g'x=0得x=1+ln2，
所以x∈0,1+ln2时，g'x<0，g(x)单调递减；x∈1+ln2，+∞时，g'x>0，g(x)单调递增。
g(x)min=g(1+ln2)=ln22 ，
x→0时，g(x)→e−1，x→+∞时，g(x)→+∞，
所以要使b=e1−x+x2−1在(0,+∞)有唯一解，
只需b=ln22或b≥e−1.
故选D.
6．设函数f(x)=|x+1|,x≤0,|log4x|,x>0,若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1
【答案】A
【解析】
画出函数fx的图像如下图所示，根据对称性可知，x1和x2关于x=−1对称，故x1+x2=−2.由于log4x=log41x，故1x3=x4,x3⋅x4=1.令log41x=1，解得x=14，所以x3∈14,1.x3(x1+x2)+1x32x4 =−2x3+1x3，由于函数y=−2x+1x在区间14,1为减函数，故−2x3+1x3∈−1,72，故选A.
7．设函数f(x)=ex(2x−1)−ax+a，其中，a<1，若存在唯一的整数t，使得f(t)<0，则a的取值范围是（ ）
A． [−32e,1) B． [32e,1) C． [−32e,34) D． [32e,34)
【答案】B
【解析】
设gx=ex2x−1，y=ax−a，
由题意知,存在唯一的整数x0使得gx0在直线y=ax−a的下方，
∵g'x=ex2x−1+2ex=ex2x+1，
∴当x<−12时，g'x<0，当x>−12时，g'x>0，
∴当x=−12时，gx取最小值−2e−12，
当x=0时，g0=−1，当x=1时，g1=e>0，
直线y=ax−a恒过定点1，0且斜率为a，故−a>g0=−1且g−1=−3e−1≥−a−a，解得32e≤a<1,故选：B．
8．对于任意的y∈1,e，关于x的方程x2ye1−x=ay+lny在x∈−1,4上有三个根，则实数a的取值范围是
A． 16e3,3e B． 0，16e3 C． 16e3,e2−3e D． 16e3,e2−1e
【答案】A
【解析】
原方程可以化成ex2ex=a+lnyy，取fx=ex2ex,x∈−1,4，gx=a+lnxx,x∈1,e.
f'x=e2x−x2ex,x∈−1,4，
当x∈−1,0时，f'x<0，故fx在−1,0上为减函数；
当x∈0,2时，f'x>0，故fx在0,2上为增函数；
当x∈2,4时，f'x<0，故fx在2,4上为增函数；
fx极小值=f0=0，fx极大值=f2=4e，f−1=e2,f4=16e3，
g'x=1−lnxx2,x∈1,e，故g'x>0，gx在1,e上为增函数.
因为关于x的方程ex2ex=a+lnyy在−1,4有三个不同的实数根，故
g1≥f4ge
A． (−2,+∞) B． (−1,+∞) C． (2,+∞) D． (3,+∞)
【答案】B
【解析】
f(x)=ex−ae−x为奇函数，∴f（0）=1−a=0 ，求得a=1 ，可得f（x）=ex−e−x．
不等式足f(x−1)>1e2−e2，即ex−1−e1−x＜1e2−e2 ，即f（x−1）＜f（−2） ．
再根据f（x）=ex−e−x 在R上单调递增，可得x−1＜−2，∴x＜−1 ，
故选B.．
10．若函数f(x)=52ln(x+1)+1a(x+1)−ax在(0,1)上为增函数，则a的取值范围为（ ）
A． (−∞,0)∪14,2 B． [−1,0)∪12,1
C． [−1,0)∪(0,14] D． (−∞,0)∪[12,1]
【答案】D
【解析】
依题意可得f'x=52x+1−1ax+12−a=−2a2x+12+5ax+1−2ax+12.
因fx为0,1的增函数，故f'x≥0在0,1上恒成立，
当a>0时，−2a2x+12+5ax+1−2≥0，令t=x+1∈1,2，则
−2a2t2+5at−2≥0即2a2t2−5at+2≤0，
令gt=2a2t2−5at+2，则g1≤0g2≤0，故2a2−5a+2≤08a2−10a+2≤0，解得12≤a≤1.
当a<0，则−2a2x+12+5ax+1−2≤0，令t=x+1∈1,2，则
−2a2t2+5at−2≤0即2a2t2−5at+2≥0，该不等式在1,2恒成立.
综上，a∈−∞,0∪12,1，故选D.
11．已知函数f(x)=cosπ2+x, x≤0ex−1, x>0，若f(x)≥ax−1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． [0,+∞) B． [0,e] C． [0,1] D． [e,+∞)
【答案】B
【解析】
由题意可以作出函数y=f(x)与y=ax−1的图象，如图所示．
若不等式f(x)≥ax−1恒成立，必有0≤a≤k，其中k是y=ex−1过点(0,−1)的切线斜率．设切点为(x0, ex0−1)，因为y'=ex，所以
k=ex0=(ex0−1)−(−1)x0−0，解得x0=1，所以k=e，故0≤a≤e
12．已知曲线f(x)=−13x3+a2x2−2x(a>0)与直线y=kx−13相切，且满足条件的k值有且只有3个，则实数a的取值范围是（ ）
A． [2,+∞) B． (2,+∞) C． [1,+∞) D． (1,+∞)
【答案】B
【解析】
由题意得：f'(x)=−x2+ax−2，设切点P(t,−13t3+a2t2−2t)，
则其切线的斜率为k=f'(t)=−t2+at−2，
所以切线方程为y+13t3−a2t2+2t=(−t2+at−2)(x−t)，又点(0,−13)在切线上，
∴−13+13t3−a2t2+2t=(−t2+at−2)(0−t)，即23t3−12at2+13=0，
由题意得，方程23t3−12at2+13=0有三个不同的实数解，记ℎ(t)=23t3−12at2+13，
则ℎ'(t)=2t2−at，当a>0时，令ℎ'(t)>0，解得t<0或t>a2，令ℎ'(t)<0，解得0
则ℎ(a2)<0，解得a>2，实数a的取值范围是(2,+∞)，故选B
13．若函数f(x)=52ln(x+1)+1a(x+1)−ax在(0,1)上为增函数，则a的取值范围为（ ）
A． (−∞,0)∪[14,2] B． (−∞,0)∪[12,1] C． [−1,0)∪(0,14] D． [−1,0)∪[12,1]
【答案】B
【解析】
依题意可得f'x=52x+1−1ax+12−a≥0对x∈(0,1)恒成立，令x+1=t(1
设g(t)= at2−52t+1a，t∈(1,2).
当a>0时，g1=a−52+1a≤0g2=4a−5+1a≤0
解得12≤a≤1.
当a<0时，g(0)=1a<0，-−522a=54a<0，∴gt<0对t∈(1,2)恒成立.
综上，a的取值范围为(−∞,0)∪[12,1].
故选B.
14．若函数f(x)=52lnx+1ax−ax−1在(1,2)上为增函数，则a的取值范围为（ ）
A． (−∞,0)∪[14,2] B． (−∞,0)∪[12,1] C． [−1,0)∪(0,14] D． [−1,0)∪[12,1]
【答案】B
【解析】
依题意可得f'x=52x−1ax2−a≥0对x∈(1,2)恒成立，
即ax2−52x+1a≤0对x∈(1,2)恒成立.
设g(x)= ax2−52x+1a，x∈(1,2).
当a>0时，g1=a−52+1a≤0g2=4a−5+1a≤0
解得12≤a≤1.
当a<0时，g(0)=1a<0，-−522a=54a<0，∴gx<0对x∈(1,2)恒成立.
综上，a的取值范围为(−∞,0)∪[12,1].
故选B.
15．若函数f(x)=e2x−2x+a,x>0ax+3a−2,x≤0在(−∞,+∞)上是单调函数，且f(x)存在负的零点，则a的取值范围是（ ）
A． (23,1] B． (23,32] C． (0,32] D． (23,+∞)
【答案】B
【解析】
当x>0时，f'x=2e2x−2>0,所以函数f(x)在(−∞,+∞)上只能是单调递增函数，又f(x)存在负的零点，而当x>0时，f(0)=1+a，当x≤0时，f（0）=3a-2，∴0<3a-2≤1+a，解得
23
16．设函数fx在定义域0,+∞上是单调函数，且∀x∈0,+∞,ffx−ex+x=e，若不等式fx+f'x≥ax对x∈(0,+∞)恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． −∞,e−2 B． −∞,e−1
C． −∞,2e−3 D． −∞,2e−1
【答案】D
【解析】
由题意易知fx−ex+x为定值，不妨设fx−ex+x=t，则fx=ex−x+t，
又ft=e，故et−t+t=e，解得：t=1，
即函数的解析式为fx=ex−x+1，f'x=ex−1，
由题意可知：ex−x+1+ex−1≥ax对x∈(0,+∞)恒成立，
即a≤2exx−1对x∈(0,+∞)恒成立，
令gx=2exx−1，则g'x=2exx−1x2，
据此可知函数gx在区间0,1上单调递减，在区间1,+∞上单调递增，
函数gx的最小值为g1=2e−1，
结合恒成立的结论可知：a的取值范围是−∞,2e−1.
本题选择D选项.
17．已知函数f(x)=aln(x+1)−x2在区间(0,1)内任取两个实数p,q，且p≠q，不等式f(p+1)−f(q+1)p−q>1恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
A． [11,+∞) B． [13,+∞) C． [15,+∞) D． [17,+∞)
【答案】C
【解析】
∵fp+1−fq+1p−q的几何意义，
表示点p+1,fp+1与点q+1,fq+1连线斜率，
∵实数p,q在区间0,1内，故p+1和q+1在1,2内，
不等式fp+1−fq+1p−q>1恒成立，
∴函数图象上在区间1,2内任意两点连线的斜率大于1 ,
故函数的导数大于1在1,2内恒成立，
∴f'x=ax+1−2x>1在1,2内恒成立，
由函数的定义域知，x>−1，
所以a>2x2+3x+1在1,2内恒成立，
由于二次函数y=2x2+3x+1在1,2上是单调递增函数，
故x=2时，y=2x2+3x+1在1,2上取最大值为15，
∴a≥15，∴a∈15,+∞，故选C.
18．已知函数f(x)=exx−a，g(x)=3(ex−ax)ex，若方程f(x)=g(x)有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是
A． −∞,e B． e,3∪3,+∞ C． −∞,0∪e,+∞ D． e,+∞
【答案】B
【解析】
由f(x)=g(x)得到exx−a=3(1−axex)，
令exx=t，则得t−a=3(1−at)，整理得t−3t−a=0．
由t(x)=exx得，当x<0时，t(x)<0；
当x>0时，t'(x)=ex(x−1)x2，t(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以当x>0时t(x)≥t(1)=e．
所以函数t(x)的值域为(−∞,0)∪[e,+∞)．
画出函数t(x)=exx的图象如下图所示．
由题意可得“方程f(x)=g(x)有4个不同的实数解”等价于“方程t−3t−a=0有两个大于e的不等实根”，
由于t=exx=3有两个不等实根，
所以只需方程t=exx=a有两个不同于上述方程的实根，
结合图象可得a>e且a≠3，
所以实数a的取值范围是e,3∪3,+∞．
故选B．
19．若函数f(x)=ex, x≥0−x2+2x+1, x<0（其中e是自然对数的底数），且函数y=f(x)−mx有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． (0,1) B． (0,e) C． (−∞,0)∪(1,+∞) D． (−∞,0)∪(e,+∞)
【答案】D
【解析】
由y=f(x)−mx=0，可得f(x)=mx，作出函数y=f(x)的图象，而y=mx表示过原点且斜率为m的直线，由图可知，当m<0时，y=f(x)与y=mx有两个不同
的交点，满足题意；
过原点(0,0)作y=ex的切线，设切点为(t,et)，因为y'=ex，
所以切线方程为y−et=et(x−t)，将(0,0)代入，得t=1，
此时切线的斜率为e，也即当m=e时，y=mx与y=ex相切，
由图可知，当m>e时，y=f(x)与y=mx有两个不同的交点，满足题意；
综上可知，实数m的取值范围是(−∞,0)∪(e,+∞)．
答案选D
20．已知函数f(x)=alnx−bx2，a,b∈R.若不等式f(x)≥x对所有的b∈(−∞,0]，x∈(e,e2]都成立，则a的取值范围是（ ）
A． [e,+∞) B． [e22,+∞) C． [e22,e2) D． [e2,+∞)
【答案】B
【解析】
由alnx−bx2≥x得alnx−x≥bx2，对任意b≤0，x∈e,e2都成立，故alnx−x≥0，即a≥xlnx对x∈e,e2都成立.构造函数ℎx=xlnx，其中x∈e,e2.ℎ'x=lnx−1lnx2，故当x∈e,e2时ℎ'x>0，即ℎx单调递增，最大值为ℎe2=e22，故a≥e22.
21．设函数fx是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒fx−f−x=0，当x∈−1,0时，fx=x2．若gx=fx−logax在x∈0,+∞上有且仅有三个零点，则a的取值范围为（ ）
A． 3,5 B． 4,6 C． 3,5 D． 4,6
【答案】C
【解析】
∵fx−f−x=0,∴fx=f−x，
∴fx是偶函数，
根据函数的周期和奇偶性作出fx的图象如图所示,
∵gx=fx−logax在x∈0,+∞上有且仅有三个零点，
∴y=fx和y=logax的图象在0,+∞上只有三个交点，
结合图象可得
∴loga3<1loga5>1a>1，解得3
22．设函数f(x)=lnx+a(x2−3x+2)，若f(x)>0在区间(1 ， +∞)上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． [0 ， 1] B． [−1 ， 0] C． [0 ， 2] D． [−1 ， 1]
【答案】A
【解析】
整理得ax2−3x+2>−lnx，如图，
为了满足不等式恒成立，则a≥0，
且在x=1处的切线斜率，f'1≤g'1，
所以f'x=−1x，g'x=a2x−3，
所以f'1≤g'1得a≤1，
综上，0≤a≤1。故选A。
23．已知函数f(x)=mx−1−nlnx (m>0,0≤n≤e)在区间[1,e]内有唯一零点，则n+2m+1的取值范围为（ ）
A． [e+2e2+e+1,e2+1] B． [2e+1,e2+1]
C． [2e+1,1] D． [1,e2+1]
【答案】A
【解析】
由题意m=nxlnx+x 在区间[1,e]内有唯一实数解
令g(x)＝nxlnx+x，x∈[1，e]，
∵g'(x)=nlnx+n+1=0，解得lnx=−n+1n<−1,x<1e, ，
∴函数g(x)在区间[1，e]上单调递增，
g（1）=1，ge=ne+e,∵0≤n≤e,∴1≤m≤e2+e
则2≤n+2≤e+2,2≤m+1≤e2+e+1 ，则n+2m+1的取值范围为[e+2e2+e+1,e2+1].
故选A.
24．已知函数fx=x2+2x−12x<0与gx=x2+log2x+a的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）
A． −∞,−2 B． −∞,2 C． −∞,22 D． −22,22
【答案】B
【解析】
依题意，存在x0>0，使得f(−x0)=g(x0) ，即|x0|+2−x0−12=|x0|+log2(x0+a) ；因而2−x0−12=log2(x0+a)，即函数y=2−x−12 与y=log2(x+a) 的图像在(0,+∞) 上有交点；如图所示，可知若函数y=2−x−12 与y=log2(x+a)的图象在上有交点，则当x=0 时，满足log2(0+a)<20−12⇒log2a<12 ，即0
A． 1,+∞ B． −1,4 C． −1,+∞ D． −1,6
【答案】C
【解析】
不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈2,3恒成立，等价于a≥yx−2yx2，对于x∈[1,2],y∈2,3恒成立，令t=yx，则1≤t≤3，∴a≥t−2t2在1,3上恒成立，∵y=−2t2+t=−2t−142+18，∴t=1时，ymax=−1,∴a≥−1，a的取值范围是−1,+∞，故选C.
26．已知函数f(x)=xlnx−2x,x>0x2+32x,x≤0，若方程f(x)−mx+1=0恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． (−1,−13) B． (−1,−12) C． (−34,−12) D． (−2,−12)
【答案】B
【解析】
因为y=xlnx−2x∴y'=lnx−1=0,x=e ，作图，由y=mx−1与y=x2+32x相切 得x2+(32−m)x+1=0,Δ=(32−m)2−4=0∴m=−12或72(舍) ，由y=mx−1与y=xlnx−2x相切得设切点(x0,x0lnx0−2x0),∴m=lnx0−1=x0lnx0−2x0+1x0 ，∴x0=1,m=−1.如图可得实数m的取值范围是(−1,−12)，选B.
27．已知函数fx=sinπx,0≤x≤1log2017x,x>1，若a,b,c互不相等，且fa=fb=fc，则a+b+c的取值范围是（ ）
A． (1,2017) B． (1,2018) C． [2,2018] D． (2,2018)
【答案】D
【解析】
由正弦函数图像得a+b=2×12=1 ，所以0
A． (0,1) B． (1,3) C． (0,1)∪(3,+∞) D． (0,1)∪(1,3)
【答案】D
【解析】
y=logax关于y轴对称函数为y=loga−x，0
A． k<−e2 B． k<−e2−e
C． k>−e2−e D． k>−e2
【答案】B
【解析】
因为f(x)=xex，
所以f'x=x+1ex，
可得f(x)在−∞,−1上递减，在−1,+∞递增，
所以，f(x)=xex有最小值f−1=−1e，且x<0时，fx<0，
所以，−1e
即ℎt=kt2−t+1=0在−1e,0有两个根时，
gx=0的零点最多为4个，
∴g0=1>0g−1e=k×1e2+1e+1>0Δ=1−4k>0−1e<12k<0，解得k<−e2−e，故选B.
30．已知函数f(x)=|lnx|,0
【答案】B
【解析】
当2
31．设函数f(x)=ex+e−x−1x2+1，则使得f(2x)>f(x+1)成立的x的取值范围是（ ）
A． (−∞,1) B． (1,+∞) C． (−13,1) D． (−∞,−13)∪(1,+∞)
【答案】D
【解析】
f−x=e−x+ex−1x2+1，所以f−x=fx，fx为R上的偶函数，
又f'x=ex−e−x+2xx2+12，当x>0时，f'x>0，故fx在0,+∞上为增函数.
因f2x=f2x,fx+1=fx+1，由f2x>fx+1 得到2x>x+1，
故3x2−2x−1>0，x<−13或x>1，选D.
32．设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xlnx⋅f'(x)<−f(x)，则使得(x2−4)f(x)>0成立的x的取值范围是（ ）
A． (−2,0)∪(0,2) B． (−∞,−2)∪(2,+∞) C． (−2,0)∪(2,+∞) D． (−∞,−2)∪(0,2)
【答案】D
【解析】
根据题意，设gx=lnx⋅fxx>0，
其导数g'x=lnx'fx+lnxf'x=1xfx+lnxf'x ，
又由当x>0时，lnx⋅f'x<−1xfx，
则有 g'x=1xfx+lnx⋅f'x<0，
即函数gx在0,+∞ 上为减函数，
又由g1=ln1⋅f1=0，
则在区间0,1上，gx=lnx⋅fx>g1=0，
又由lnx<0，则fx<0，
在区间1,+∞上，gx=lnx⋅fx
则fx在0,1和1,+∞上，fx<0，
又由fx为奇函数，则在区间−1,0和−∞,−1上，都有fx>0，
x2−4fx>0⇔x2−4>0fx>0或x2−4<0fx<0，
解可得x<−2或0
33．已知函数f(x)=exx−ax，x∈(0,+∞)，当x2>x1时，不等式f(x1)x2−f(x2)x1<0恒成立，则实数a的取值范围为
A． (−∞,e] B． (−∞,e) C． (−∞,e2) D． (−∞,e2]
【答案】D
【解析】
不等式f(x1)x2−f(x2)x1<0即x1fx1−x2fx2x1x2<0，
结合x2>x1>0可得x1fx1−x2fx2<0恒成立，即x2fx2>x1fx1恒成立，
构造函数gx=xfx=ex−ax2，由题意可知函数gx在定义域内单调递增，
故g'x=ex−2ax≥0恒成立，即a≤ex2x恒成立，
令ℎx=ex2xx>0，则ℎ'x=exx−12x2，
当0
则ℎx的最小值为ℎ1=e12×1=e2，
据此可得实数a的取值范围为(−∞,e2].
本题选择D选项.
34．设f(x)=lnx+1x，若函数y=f(x)−ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． 0,e23 B． e23,e C． 1e,1 D． 0,1e∪e23
【答案】A
【解析】
y=fx−ax2恰有3个零点，则lnx+1x3=a恰有3个根，
令gx=lnx+1x3，即gx 与y=a恰有3个交点，
gx=lnx+1x3=−lnx−1x3,x∈0,1elnx+1x3,x∈1e,+∞，
当x∈0,1e时，g'x=3lnx+2x4<0，所以gx在0,1e上是减函数；
当x∈1e,+∞时，g'x=−3lnx+2x4，
当x∈e−1,e−23时，g'x>0，
当x∈e−23,+∞时，g'x<0，
所以gx在e−1,e−23时增函数，在e−23,+∞时减函数，且fe−23=e23，f1e=0
所以a∈(0,e23)
故选A．
35．已知函数f(x)=x2+2(1−a)x+(1−a)2,g(x)=x−1，若fx和gx图象有三条公切线，则a的取值范围是（ ）
A． a>1+334 B． a<1+334 C． 0
【解析】
设公切线与f(x),g(x)分别相切于点(m,f(m)),(n,g(n)),f'(x)=2(x+1−a)
g'(x)=−x−2,g'(x0)=f'(x1)=g(x0)−f(x1)x0−x1，−n−2=2(m+1−a)=n−1−(m+1−a)2n−m
解得m=−n−22−(1−a)，代入化简得a=1+2n+n−24=1+n+n+n−24≥1+334 (n>0)，
函数ℎ(n)=1+2n+n−24在区间(−∞,0)递增，在区间(0,134)递减，在区间(134，+∞)递增，
且n→0,ℎ(n)→+∞，可知无上界，即时，
方程a=ℎ(n),(n≠0)有三解，故选A.
36．对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=ex﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（ ）
A． [73，3] B． [2，73] C． [2，3] D． [2，4]
【答案】C
【解析】
：f(x)=ex−1+x−2，f(x)为单调递增的函数，且x=1是函数唯一的零点，由fx,g(x)互为“零点相邻函数”，则g(x)的零点在[0,2]之间。
（1）当g(x)有唯一的零点时，∆=0，解得a=2，解得x=1满足题意；
（2）当g(x)在[0,2]之间有唯一零点时，g0g2≤0,解得 a∈[73,3];
（3）当g(x)在[0,2]之间有两个点时，∆>0,g0g2≥0,解得 a∈(2,3]
综上所述，解得a∈[2,3]。故选C。
37．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)+xf'(x)<2恒成立，则使x2f(x)−f(1)
C． (−1,1) D． (−1,0)∪(0,1)
【答案】B
【解析】
fx是R上的偶函数，则函数gx=x2fx−x2也是R上的偶函数，
对任意的实数x，都有2f(x)+xf'(x)<2恒成立，
则g'x=x2fx+xf'x−2.
当x≥0时，g'x<0，当x<0时，g'x>0，
即偶函数gx在区间−∞,0上单调递增，在区间0,+∞上单调递减，
不等式x2f(x)−f(1)
即实数x的取值范围为(−∞,−1)∪(1,+∞).
本题选择B选项.
38．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{xf(x)=0};β∈{xg(x)=0}，若所有的α,β，都有α−β≤1，则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”.f(x)=ex−1+x−2与g(x)=x2−ax−a+3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（ ）
A． 2,4 B． 2,73 C． 73,3 D． 2,3
【答案】D
【解析】
：f(x)=ex−1+x−2，f(x)为单调递增的函数，且x=1是函数唯一的零点，由fx,g(x)互为“零点相邻函数”，则g(x)的零点在[0,2]之间。
（1）当g(x)有唯一的零点时，∆=0，解得a=2，解得x=1满足题意；
（2）当g(x)在[0,2]之间有唯一零点时，g0g2≤0,解得 a∈[73,3];
（3）当g(x)在[0,2]之间有两个点时，∆>0,g0g2≥0,解得 a∈(2,3]
综上所述，解得a∈[2,3]。故选D。
39．已知函数f(x)=−x2+2x+4x，g(x)=11x⋅3x−1−2x3x，实数a，b满足a
【答案】A
【解析】
由g(x)=11x⋅3x−1−2x3x =113x−23x可知函数gx在区间−1,1上单调递增，
函数的最大值gxmax=g1=3，
函数的最小值为gxmin=g−1=−113−32=−316，
f(x)=−x2+2x+4x =−2−x+4x，
结合函数平移的结论和对勾函数的性质绘制函数图象如图所示，
当x=−2时，函数有极小值f−2=2，
当x=2时，函数有极大值f2=−6<−316，
令fx=−2−x+4x=3可得：x=−1或x=−4，
据此可知，b−a的最大值为−4−−1=−3.
本题选择A选项.
40．已知函数fx={x+1x−1,x>12−ex,x≤1，若函数gx=fx−mx−1有两个零点，则实数m的取值范围是
A． −2,0 B． −1,0 C． −2,0∪0,+∞ D． −1,0∪0,+∞
【答案】D
【解析】
若函数gx=fx−mx−1有两个零点，
则函数fx的图象与y=m（x−1）有且仅有两个交点，
在同一坐标系内画出函数fx的图象与y=m（x−1）的图象如下：
由图可得：当m＞0时，满足条件；
由m=−1时，y=2−ex与y=m（x−1）相切得：
−1＜m＜ 0时，满足条件；
故m∈（−1，0）∪（0，+∞），
故选：D．
41．已知函数f(x)=ex−1,x>0−x2−2x+1,x≤0，若关于x的方程f2(x)−3f(x)+a=0(a∈R)有8个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． 0,14 B． 13,3 C． (1,2) D． 2,94
【答案】D
【解析】
绘制函数f(x)=ex−1,x>0−x2−2x+1,x≤0的图象如图所示，
令fx=t，由题意可知，方程t2−3t+a=0在区间1,2上有两个不同的实数根，
令gt=t2−3t+a1
本题选择D选项.
二、填空题
42．若∀x∈(0,+∞)，不等式eλx−lnxλ≥0恒成立，则正实数λ的取值范围是_____.
【答案】[1e,+∞)
【解析】
实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx−lnxλ≥0恒成立，
即为（eλx−lnxλ ）min≥0，
设f（x）＝eλx−lnxλ，x＞0，f′（x）＝λeλx−1λx，
令f′（x）＝0，可得eλx=1λ2x，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得y＝eλx和y=1λ2x有且只有一个交点，
设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值．
即有eλm=1λ2m，令eλm−lnmλ=0，
可得m＝e，λ=1e．
则当λ≥1e时，不等式eλx−lnxλ≥0恒成立．
故答案为[1e,+∞).
43．已知函数f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），设f（x）的导函数为f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围为_____．
【答案】32,5
【解析】
f（x）=﹣ax2+x3+x2=x3+（1﹣a）x2，f′（x）=3x2+2（1﹣a）x，
f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，
即﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2恒成立，
﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x，可化为（a+3）x+2（1﹣a）＞0，
∴a+3≥0a+3+21−a≥0，解得﹣3≤a≤5①；
3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2可化为2a＞﹣x2+2x+2，
而﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3＜3，
∴2a≥3，即a≥32②，
由①②可得32≤a≤5，
∴实数a的取值范围是32,5，故答案为32,5．
44．若函数fx=2x+2−a,x≤0x3−ax+2,x>0有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
【答案】3,+∞
【解析】
由题意可将函数fx有三个不同的零点转化为函数y=a与g（x）=2x+2,x≤0x3+2x,x>0有三个不同的交点，如图所示：
当x≤0时，y=2x+2的图象易得，当x>0时，函数g(x)=x3+2x，g'x=2x3−2x2=0，x=1,
∴gx在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增，如图所示：
有三个不同的交点，∴a＞3
故答案为：3,+∞.
45．已知函数f(x)=lgx,x>0.2x,x≤0.若函数y=2f(x)−a−1存在5个零点，则实数a的取值范围为________.
【答案】1，3
【解析】
先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)，
当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数y=2f(x)−a−1存在4个零点，不合题意.
当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数y=2f(x)−a−1存在5个零点，符合题意.
当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数y=2f(x)−3−1存在6个零点，不符合题意.
所以实数a的取值范围为1，3.
故答案为：1，3
46．设m∈R，若函数fx=x3−3x−m在x∈0,3上的最大值与最小值之差为2，则实数m的取值范围是__________．
【答案】(−∞,−2]∪[0,+∞)
【解析】
设gx=x3−3x,x∈[0,3]，
则g'x=3x2−3=3(x−1)(x+1)，
所以函数y=gx在区间0,1上单调递减，在区间1,3上单调递增．
∵g0=0，g1=−2，g3=0，
∴函数y=gx的值域为−2,0，最大值与最小值之差为2，
∴函数y=x3−3x−m,x∈[0,3]的值域为−2−m,−m，最大值与最小值之差也为2．
∵函数fx=x3−3x−m在x∈[0,3]上的最大值与最小值之差为2，
∴−2−m≥0或−m≤0，
解得m≤−2或m≥0.
∴实数m的取值范围为(−∞,−2]∪[0,+∞)．
故答案为(−∞,−2]∪[0,+∞)．
47．已知函数f（x）＝lg（1－x）－lg（1＋x），函数g（x）＝2－ax（a＞0且a≠1）．若当x∈[0，1）时，函数f（x）与函数g（x）的值域的交集非空，则实数a的取值范围为__________．
【答案】2,+∞
【解析】
依题意，fx=lg1−x−lg1+x=lg1−x1+x=lg−1+2x+1；
当x∈0,1时, fx=lg(−1+2x+1)是减函数，∴f(x)∈-∞，0，
当a>1时,gx=2−ax,x∈0,1时单调递减, g(x)∈2−a，1，
∴2−a<0，∴a>2；
当0
48．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)，且当x∈[−2,0]时，f(x)=(13)x−6.在区间(−2,6]内关于x的方程f(x)−loga(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是_________.
【答案】(34,2)
【解析】
如图所示，当x∈[−2，0]时，f(x)=(13)x﹣6，可得图象．
根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），
画出[2，6]的图象．
画出函数y=loga（x+2）（a＞1）的图象．
∵在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，
∴loga8＞3，loga4＜3，
∴4＜a3＜8，
解得34＜a＜2．
故答案为：(34,2)
49．不等式(acos2x−3)sinx≥−3对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】−32,12
【解析】
令sin=t,−1≤t≤1，
则原函数化为gt=−at2+a−3t，
即gt=−at3+a−3t，
由−at3+a−3t≥−3,−att2−1−3t−1≥0，
t−1−att+1−3≥0及t−1≤0知，
−att+1−3≤0，即at2+t≥−3，
当t=0,−1时（1）总成立，
对0
50．已知函数f(x)=−x2(x≥0),2x−1(x<0)，若函数g(x)=f(x)−b有两个零点，则实数b的取值范围是___________.
【答案】−1
作出函数fx=−x2,x≥02x−1,<0的图象，
令gx=0,可得fx=b ,
画出直线y=b ,平移可得当−1
则gx的零点有两个，
故b的取值范围是−1
【解析】
由f(−3−x)=f(1+x)可知函数f(x)关于直线x=−1对称；在(−∞,−1)中任意取两个不相等的实数x1, x2，都有(x1−x2)f(x1)−f(x2)<0恒成立；可知函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，由对称性可知函数f(x)在区间(−1,+∞)上单调递增，不妨设f(x)=(x+1)2，则由f(2a−1)
答案为：−∞,15∪1,+∞
52．已知函数f(x)=(m+3)(x+m+1)(x+m),g(x)=2x−2，若对任意x∈R，有f(x)>0 或g(x)>0 成立，则实数 m的取值范围是____________
【答案】-3
由gx=2x−2>0 ,得x>1，故对x>1时，gx>0恒成立，
由gx=2x−2≤0 ,得x≤1，故对x≤1时，gx>0不成立，
从而对任意x≤1， fx=m+3x+m+1x+m>0恒成立，
画出函数的图象，由图可知，
函数f(x)=(m+3)(x+m+1)(x+m)的图象开口向上，
且两个零点都大于1,
可得m满足m+3>0−m−1>1−m>1，解得−3
【答案】a≥e+4
【解析】
当x≥1时，x+4x≥4 （当且仅当x=2时取等号），当x<1时，a−ex>a−e ，因此a−e≥4∴a≥e+4.
54．已知函数fx=ex+cosx,若f1nab+flnba−2f1>0,则ab的取值范围是____________ .
【答案】 (0,1e)∪(e,+∞)
【解析】
∵ fx=ex+cosx，
∴f−x=e−x+cos−x
=ex+cosx=fx，
∴fx是偶函数，
x>0时，f'x=ex−sinx>0，
∴fx在0,+∞上递增，
由fx是偶函数可得fx在−∞,0上递减，
flnab+flnba−2f1>0，
flnab+f−lnab−2f1>0
化为2flnab>2f1，flnab>f1，
等价于lnab>1，lnab>1或lnab<−1，
ab>e或0
55．已知直线l:y=kx与圆x2+y2−2x−2y+1=0相交于A,B两点，点M(0,b)，且MA⊥MB，若b∈(1,32)，则实数k的取值范围是__________．
【答案】(1,6−23)∪(6+23,+∞)
【解析】
MA,MB由y＝kxx2+y2−2x−2y+1＝0，
消去y得：（k2+1）x2-（2k+2）x+1=0，①
设P（x1，y1）Q（x2，y2），∴x1+x2=21+k1+k2，x1⋅x2=11+k2，
∵MA⊥MB，
∴MA⋅MB=0，
（x1，y1-b）（x2，y2-b）=0，即x1•x2+（y1-b）（y2-b）=0
∵y1=kx1，y2=kx2，
∴（1+k2）x1•x2-kb（x1+x2）+b2=0，
∴（1+k2）⋅11+k2−kb⋅21+k1+k2+b2=0，
即2k1+k1+k2=2+2k−21+k2=b2+1b=b+1b ，
∵b∈(1,32)，
设f（b）=b+1b ，在区间(1,32)上单调递增，求得f（b）∈（2，136） ，可得2k−2k2+1∈（0，16），，解得：1＜k＜6−23或k＞6+23，
k的取值范围（(1,6−23)∪(6+23,+∞)．
56．已知函数fx=x2−2ax+a2−1，gx=2x−a，∀x1∈−1,1,∃x2∈−1,1，使fx2=gx1，则实数a的取值范围是__________.
【答案】−2,−1
【解析】
∀x1∈−1,1,∃x2∈−1,1，使fx2=gx1，即g(x)的值域是fx的子集
g(x)∈[−2−a,2−a]
fx=x2−2ax+a2−1，x∈−1,1
当a≤-1时，f(x)∈[a2+2a,a2−2a]，即a2+2a≤−2−a，2−a≤a2−2a，解得a∈[−2,−1]
当-1
综上所述，a的范围为[−2,−1]
57．已知函数f(x)=2x+1−4−2x的定义域为D，当x∈D时，f(x)≤m恒成立，则实数m的取值范围是__________
【答案】[5,+∞)
【解析】
【详解】
令4−2x≥0，解得x≤2，所以函数的定义域为(−∞,2]，
当x∈D时，f(x)≤m恒成立，即为f(x)max≤m成立，
又因为f(x)=2x+1−4−2x在其定义域上是增函数，
故f(x)max=f(2)=5，所以m≥5，
故答案是[5,+∞).
58．已知函数fx=xlnx，gx=−x2+ax−3，对一切x∈0,+∞，2fx≥gx恒成立，则实数a的取值范围为________.
【答案】−∞,4
【解析】
因为2fx≥gx，代入解析式可得2xlnx≥−x2+ax−3
分离参数a可得
a≤2lnx+x+3x
令ℎ(x)=2lnx+x+3x（x>0 ）
则ℎ'(x)=x+3x−1x2，令ℎ'(x)=0解得x1=−3,x2=1
所以当0＜x＜1，ℎ'(x)<0，所以h（x）在（0，1）上单调递减
当1＜x，ℎ'(x)>0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值．
所以h（x）≥h（1）=4．
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）min=4．
所以a的取值范围为−∞,4
59．已知不等式20n−mlnmn≥0对任意正整数n恒成立，则实数m取值范围是__________．
【答案】4,5
【解析】
由题意，20n−m≥0，且lnmn≥0，或20n−m≤0，且lnmn≤0，
∴m≤20n，且mn≥1，或m≥20n，且0
∵n为正整数，
∴n=4或5，
∴4⩽m⩽5，
故答案为：[4,5].
60．已知f(x)=(x+1)3⋅e−x+1，g(x)=(x+1)2+a，若∃x1,x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】−∞,27e
【解析】
f'(x)=3(x+1)2e−x+1−(x+1)3e−x+1=(x+1)2e−x+1(2−x)，
则可知f(x)在−∞,2单调递增，在2，,+∞单调递减.故f(x)max=f(2)=27e.
g(x)=(x+1)2+a在−∞,−1单调递减，在−1，,+∞单调递增.故g(x)min=g(−1)=a.
∃x1,x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则f(x)max≥g(x)min，所以a≤27e.
61．已知函数fx=xx−1lnx，偶函数gx=kx2+bexk≠0的图像与曲线y=fx有且仅有一个公共点，则k的取值范围为_________.
【答案】k∈(0,1)∪(1,+∞)
【解析】
∵gx=kx2+bexk≠0为偶函数，∴b=0
∴gx=kx2
令fx= gx，可得k=x−1xlnx，
令ℎx=x−1xlnx，则ℎ'x=lnx−x+1xlnx2<0
∴ℎx在0，1和1，+∞上单调递减
由洛必达法则知limx→1ℎx=limx→1x−1xlnx=limx→11lnx+1=1
∵ℎx>0恒成立，limx→+∞ℎx=limx→+∞x−1xlnx=limx→+∞1lnx+1=0
∵k=ℎx只有一解
则k的取值范围为(0，1)∪(1，+∞)
62．已知关于x的不等式logm(mx2－x＋12)＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________
【答案】(12,58)∪(32,+∞)
【解析】
①当0
当12m<1，即12
当1<12m<2，，即14≤m<12时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，
则需f(1)<0,f(2)<0，无解；
当12m≥2，即0
②当m>1时，函数f(x)=logm(mx2−x+12)外层单调递增，
12m<12，二次函数单调递增，函数单调递增，
所以f(x)min=f(1)=logm(m−12)>0，解得：m>32.
综上所述：12
63．已知函数fx={lnx，x>0ax2+x，x<0，其中a>0，若函数y=fx的图象上恰好有两对关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为____．
【答案】0,1
【解析】
已知函数fx={lnx，x>0ax2+x，x<0，其中a>0，若函数y=fx的图象上恰好有两对关于y轴对称的点，
即x＞0时，y=lnx与y=ax2−x，有两个交点，y=lnx恒过（1，0），y=ax2−x中1a是函数的零点，所以必须满足0＜1a，
解得a∈（0，1） ．
故答案为：（0，1）．
64．已知函数f(x)=x22e ， x≥a ， lnx ， 0
【解析】
令ℎ(x)=lnx−x22e，ℎ'(x)=1x−xe，
所以函数h(x)在(0 ， e)上递增，在(e ， +∞)上递减，
又ℎ(e)=0，所以lnx≤x22e，当且仅当x=e时等号成立，
因为对任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)=kx0成立，
且过原点的直线与y=lnx切于点(e ， 1)，
所以函数f(x)的图象是不间断的，故a=e．
所以实数a 的取值集合为{e}.
故答案为：{e}
65．已知函数f(x)=x2−x+a ， x ≥−a ，x2+x+3a ， x<−a ． 记A={x|f(x)=0}，若A∩(−∞ ， 2)≠∅，则实数a的取值范围为______．
【答案】−∞，14
【解析】
由题意，条件可转化为函数fx=x2−x+a+2a，在(−∞,2)上存在零点，
所以方程x2=x+a−2a有根，所以函数gx=x2与ℎx=x+a−2a的图象有交点的横坐标在(−∞ ， 2)上，
所以函数ℎx=x+a−2a的图象为顶点(−a,−2a)在直线y=2x上移动的折线，
如图所示，可得2a≤12，即a≤14，所以实数a的取值范围是(−∞,14].
66．函数f(x)满足f(x)=f(−x),f(x)=f(2−x),当x∈[0,1]时, f(x)=x2,过点P(0,94)且斜率为k的直线与f(x)在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点,则k的取值范围为_________．
【答案】(1,1312)
【解析】
∵f(x)=f(−x)，f(x)=f(2−x)，
∴f−x= f(2−x)，即fx+2=f(x)，
∴函数f(x)的周期为T=2．
由x∈[0，1]时， f(x)=x2，
则当x∈[−1，0]时，− x∈[0，1]，故f−x=f(x)=x2，
因此当x∈[−1，1]时， f(x)=x2．
结合函数f(x)的周期性，画出函数f(x)(x∈[0，4])图象如下图所示．
又过点P(0，94)且斜率为k的直线方程为y=kx−94．
结合图象可得：
当x∈[0，1]时， f(x)=x2．与y=kx−94联立消去y整理得x2−kx+94=0，
由Δ=k2−9=0，得k=3或k=−3(舍去)，
此时x切=k2=32∉[0,1]，故不可能有三个交点；
当x∈[2,3]时，点(0,−94)与点(3,1)连线的斜率为1312，此时直线与y=f(x)有两个交点，又f(x)=(x−2)2，
若同y=kx−94相切，将两式联立消去y整理得x2−(k+4)x +254=0，
由Δ=(k+4)2−25=0，得k=1或k=−9(舍去)，
此时x切=k+42=52 ∈(2,3)，
所以当1
67．已知函数fx=2ex+12ax2+ax+1有两个极值，则实数a的取值范围为__________．
【答案】−∞,−2
【解析】
f'x=2ex+ax+a,由题意知f'x有两个零点，
由2ex+ax+a=0可得2ex=−ax+a，
即y=2exy=−ax+1有两个交点，
如图所示，考查临界条件：设y=2ex与y=−ax+1的切点为x0,y0，
即y0=2ex0，y'=2ex，则y'|x=x0=2ex0，
切线方程为y−2ex0=2ex0x−x0.
把−1,0代入切线方程可得x0=0，y'|x=x0=2，
据此可得：−a>2，即a<−2，
实数a的取值范围为−∞,−2.
68．定义maxa,b为a,b中的最大值，函数fx=maxlog2x+1,2−x,x>−1的最小值为c，如果函数gx=2m−1x+34,x≥cmx,x
【解析】
根据题意，fx=maxlog2x+1,2−x,x>−1，
则f（x）=2−x，x＜1log2x+1，x≥1 ，
分析可得，当x=1时，fx取得最小值2，则有c=1 ，
则x=2m−1x+34,x≥1mx,x<1，若gx为减函数，
必有(2m−1)＜00＜m＜1(2m−1)+34≤m，
解可得：0＜m≤14，即m的取值范围为0,14；
故答案为：0,14．
69．函数g(x)x∈R的图象如图所示，关于x的方程g(x)2+m⋅g(x)+2m+3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是__________
【答案】−32,−43
【解析】
根据函数gxx∈R的图象，设gx=t，
∵关于x的方程gx2+m⋅gx+2m+3=0有三个不同的实数解，
即为t2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在0,1上，一个在1,+∞上，
设ℎt=t2+mt+2m+3，
①当有一个根为1时，ℎ1=1+m+2m+3=0,m=−43，此时另一个根为13，符合题意；②当没有根为1时，则ℎ0=2m+3>0ℎ1=1+m+2m+3<0，解得−32
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