《高考数学二轮复习培优》第08讲 导数及其应用

第八讲 导数及其应用

A组

一、选择题

1．已知定义在上的函数，是的导函数，若，且，

则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（   ）

A．     B．     C．  D．

答案C

解析：设，则，

∵，∴，∴，∴在定义域上单调递增，∵，∴，又∵，∴，∴，∴不等式的解集为故选：C.

2．设函数，其中，若仅有一个整数，使得，则的取值范围是（     ）

A．     B．     C．     D．

答案D.

解析：，由题意得，的单调性为先递减后递增，故，

即在上单调递减，在上单调递增，

又∵，，∴只需，

即实数的取值范围是，故选D.

3．（2017年高考全国3卷文）已知函数有唯一零点，则a=

A.     B.     C.     D. 1

【答案】C

【解析】函数的零点满足，

设，则，

当时， ；当时， ，函数单调递减；

当时， ，函数单调递增，

当时，函数取得最小值，为.

设，当时，函数取得最小值，为，

若，函数与函数没有交点；

若，当时，函数和有一个交点，

即，解得.故选C.

4.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（    ）

A．       B．      C．      D．

答案A

解析:因,故切线的斜率,切线方程，令得；令得，故围成的三角形的面积为，应选A。

5. 曲线在点处的切线方程是（   ）

A．         B．          

C．         D．

答案A

解析：，，，曲线在点处的切线方程是，故选A.

二、填空题

6．已知函数的导函数的图象关于原点对称，则      。

答案

解析：依题意关于原点对称，时为奇函数，符合题意。

7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．

答案

解析：，由题意在上有两个根，设，若，则在为增函数，最多只能有一解，不合题意，故，当或者时，，，当时，，时，，因此，由题意，所以．

三、解答题

8．已知函数其中.

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）当时，判断函数零点的个数.（只需写出结论）.

解析：

 （1）当时，，，

，所以切线方程为.

（2）的定义域：，

，

令，，

当时，令，得，令，得，

的增区间为，的减区间为.

当时，恒成立，在上单调递增，

当时，，或；，，

所以的增区间为，，的减区间为.

当时，，或，，，

所以的增区间为，，的减区间为.

（3）当时，零点的个数为.

9．设函数（其中为自然对数的底数，且），曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意，与有且只有两个交点，求的取值范围．

解析：（Ⅰ）由，得，

由题意得，

∵，∴；

（Ⅱ）令，则任意，与有且只有两个交点，等价于函数在有且只有两个零点，由，得，

①当时，由得，由得，

此时在上单调递减，在上单调递增，

∵，

，（或当时，亦可），∴要使得在上有且只有两个零点，则只需，即，

②当时，由得或，由得，此时在上单调递减，在和上单调递增．

此时，

∴此时在至多只有一个零点，不合题意，

③当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，

∴在至多只有一个零点，不合题意，

综上所述，的取值范围为．

10．已知，函数，.

（1）求的极小值；

（2）若在上为单调增函数，求的取值范围；

（3）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个，使得成立，求的取值范围.

解析：（1）由题意，，，

所以时，；当时，.

所以在上是减函数，在上是增函数，故.

（2）因为，所以，

由于在内为单调递增函数，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

故，所以的取值范围是.

（3）构造函数，

当时，由得，，

所以在上不存在一个，使得.

当时，.

因为，所以，，所以在上恒成立，

故在上单调递增，，

所以要在上存在一个，使得，必须且只需，

解得，故的取值范围是.

另外：（3）当时，，

当时，由，得.

令，则，

所以在上递减，.

综上，要在上存在一个，使得，必须且只需.

11．对于函数的定义域为，如果存在区间，同时满足下列条件：

①在上是单调函数；

②当的定义域为时，值域也是，则称区间是函数的“区间”．对于函数．

（1）若，求函数在处的切线方程；

（2）若函数存在“区间”，求的取值范围．

解析：（1）时，，则，

∴函数在处的切线方程为，即．

（2），

列表如下：

设函数存在“区间”是

（i）当时，由上表可知，

两式相减得，即，

所以，代入，得，

欲使此关于的方程组在时有解，需使与的图象有两个交点，在是减函数，在是增函数，且，所以此时满足存在“区间”的的取值范围是．

（ii）当时，由上表可知，，即，

设，当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

欲使此关于的方程有两解，需使与在有两个交点，

所以有，解得．

所以此时满足存在“区间”的的取值范围是．

（iii）当时，由上表可知，，两式相减得，，此式不可能成立，所以此时不存在“区间”．

综上所述，函数存在“区间”的的取值范围是．

B组

一、        选择题

1．已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（   ）

A．2               B．3               C．            D．

答案D

解析：因,即,故题设,所以,由于,因此当时, 单调递增；当时, 单调递减,所以函数在处取极大值,应选D.

2．设函数是函数的导函数，，则使得成立的的取值范围是（    ）

A．          B．          C．          D．

答案A

解析：令，由得，所以在定义域上递增，即是，可得，使得成立的的取值范围是，故选A。

3．定义在上的可导函数，当时，恒成立， 则的大小关系为（   ）

A．               B．         C．              D．

答案A

解析：构造函数 ，当 时，，即函数单调递增，则,同理,由,可知.故本题选A．

4．己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（    ）

A．        B．        C．         D．

答案D

解析：因为函数满足为偶函数且，所以且，令，则在上恒成立，即函数在上单调递减，又因为，所以由，得，即不等式的解集为；故选D．

二、填空题

5．若直线是曲线的一条切线，则______．

答案

解析：，设切点为，

则

将①代入②得，

即，或，

（舍去）或．

6．已知函数若与的图象上分别存在点 使得关于直线对称，则实数的取值范围是          ．

答案

解析：设,由题意,即在上有意义,即在上有意义,令,求导,当时,,则,即.

三、解答题

7．已知函数。

（1）曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值。

解析：（1）

切线的斜率

∴，∴。

（2）由题意，

设

①当时，因为，所以，

所以在上是单调递增函数，

所以关于的不等式不能恒成立，

②当时，

令，因为，得，

所以当时，，当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数，

故函数的最大值为

令，因为在上是减函数，

又因为，，所以当时，。

所以整数的最小值为2。

8．已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．

（1）求实数的值；

（2）用表示中的最小值，设函数，若函数

为增函数，求实数的取值范围．

解析：（1）对求导得．

设直线与曲线切于点，则

，解得，

所以的值为1.

（2）记函数，下面考察函数的符号，

对函数求导得

当时，恒成立

当时，，

从而

∴在上恒成立，故在上单调递减．

，∴，

又曲线 在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．

∴；，，

∴，

从而，

∴，

由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．

①当时，在上恒成立，即在上恒成立，

记，则，

当变化时，变化情况列表如下：

∴，

故“在上恒成立”只需，即 ．

②当时，，当时，在上恒成立，

综合①②知，当时，函数为增函数．

故实数的取值范围是

9．已知函数为常数） 的图象在处的切线方程为.

（1）判断函数的单调性；

（2）已知,且,若对任意,任意与中恰有一个恒成立, 求实数的取值范围.

解析:（1）由的定义域为,可得,

由条件可得,把代入可得,

,,

在上递减.

（2）由（1） 可知, 在上单调递减,

在上的最小值为,最大值为,

只需或,

即对恒成立，或对恒成立,

 令,则,令可得.而恒成立, 当时,单调递减；当时,单调递增.最大值为,而,显然,

在上最大值为.又

或,即或,

实数的取值范围是.

10．已知函数．

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）设函数，其中b为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．

解析：（1），因为切线过原点，

所以，解得：

（2），等价于，注意

令，所以

（i）当所以H（x）无零点，即F定义域内无零点。

（ii）当，当x<0时，

因为上单调递增，而

又

又因为，其中，取，

所以，由此

由零点存在定理知，在上存在唯一零点

（2）当时，单调递减；

当时，单调递增。

所以当时，H（x）有极小值也是最小值，。

（1）当

（2）当

（3）当

而

又因为

令，其中

所以，从而，

，

故

综上所述：

C组

一、        选择题

1．已知函数，设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（    ）

A．   B．    C．    D．

答案D

解析：设切点为，则由切点处的斜率相同且切线相同得，……①， ……②。因为，所以由①得,并将其代入②得，．设,利用导数法求得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以,则．选D．

2．已知直线是曲线：与曲线：的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标满足（   ）

A．              B．           C．           D．

答案D

解析：记直线与曲线的切点为因为,则直线的方程为,又直线的方程为,从而且,消去得,即,设,则,令解得,则函数在上递增，又，无零点，得在上单调递减，可得，所以，故选D.

3．已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为（   ）

A．                B．                  C．                    D．

答案B

解析：由题设可得,令,则.令.则函数的零点就是函数的极值点.设并记极值点为,则,由于,故,而且不难验证当时,,单调递减；当时,,单调递增,所以,因此,由于且,所以,故应选B.

4．已知函数，，若对恒成立（其中是自然对数的底数），则的取值范围是（    ）

A.      B．（-1,0）      C．      D．

答案A

解析：当时,,故函数在上单调递减；当时,,故当时,,函数在上单调递增；当时,,函数在上单调递减.故在上函数取最大值.而当时，设,可得，故不等式可化为,即不等式在恒成立，令，也即不等式在上恒成立。当对称轴时,只需，即时不等式恒成立;当时，只需，但这不可能；当时，则只需，这也不可能.所以综上实数的取值范围是,应选A。

二、填空题

5．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____.

答案.

解析：当时，，则函数的导数且恒成立，由解得即，此时函数单调递增，由解得即，此时函数单调递减，若在区间上单调递增，则解得，即当时，在区间上单调递增，满足条件．当时，在上单调递增，令，则则在 为减函数，在上为增函数则，解得.综上，实数的取值范围是，故答案为：.

6．已知函数在上是增函数，函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，则          ．

答案

解析：因为函数在上是增函数，所以在上恒成立，即，即；因为，若，即时，在单调递减，则（舍），当，即时，函数在上递减，在上递增，且，所以，即，解得；故填．

三、解答题

7．设函数．

（1）讨论函数在定义域上的单调性；

（2）若对任意的，总有，求的取值范围．

解析：（1）函数的定义域为．

令，则．

①当时，，所以，从而；

②当时，因为，所以，所以；

③当时，，方程有两个不相等的实数根（不妨设）．因为，所以，

所以当时，，从而；

当或时，，从而．

综上可知，当时，函数在定义域上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，其中．

（2） ，即．在区间上，．

令，则．

令，则，

所以函数在区间上单调递减．因为，

所以存在唯一的，使得，且时，，即；

当时，，即．

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此在上，．

因为，

所以，即．

故当时，．因此．

故实数的取值范围是．

8．已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间； 

（Ⅱ）求证：，不等式恒成立．

解析：（Ⅰ）的定义域为，

②     若，在上单调递增

②若，当时，，在单调递减，

当时，，在单调递增．

（Ⅱ）等价于

令，则

由（Ⅰ）知，当时，，即.

所以，则在上单调递增，所以

即有时，

9．已知函数．

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围．

解析：（1）因为函数，

所以，

又因为，所以函数在点处的切线方程为．

（2）由（1），，

因为当时，总有在上是增函数．

又，所以不等式的解集为，

故函数的单调增区间为，递减区间为．

（3）因为存在，使得成立，

而当时，，

所以只要即可

又因为的变化情况如下表所示：

所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值．

的最大值为和中的最大值．

因为，

令，因为，

所以在上是增函数，

而，故当时，，即；当时，，即．

所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．

综上可知，所求的取值范围为．

10．设函数

（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

（2）若，试比较当时，与的大小；

（3）证明：对任意的正整数，不等式成立．

解析：（1）∵又函数在定义域上是单调函数．

∴   或在上恒成立

若在上恒成立，即函数是定义域上的单调地增函数，则在上恒成立，由此可得；

若在上恒成立，则在上恒成立．即在上恒成立．

∵在上没有最小值

∴不存在实数使在上恒成立．

综上所述，实数的取值范围是．              

（2）当时，函数．

令

则

显然，当时，，所以函数在上单调递减

又，所以，当时，恒有，即恒成立．

故当时，有                         

（3）法1：证明：由（2）知

即

令，，即有

所以（）

因此

故对任意的正整数，不等式成立．

法2：数学归纳法证明：

1、当时，左边=，右边=，原不等式成立．

2、设当时，原不等式成立，

即

则当时，

左边=

只需证明

即证，即证

由（2）知

即

令，即有

所以当时成立

由1、2知，原不等式成立