《高考数学二轮复习培优》第31讲以数列为背景的取值范围问题专题练习

这是一份《高考数学二轮复习培优》第31讲以数列为背景的取值范围问题专题练习，共17页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三十一讲 以数列为背景的取值范围问题专题一、选择题1．已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，若对一切，恒有，则能取到的最大整数是（    ）A．6    B．7    C．8    D．9【答案】B【解析】设数列{an}的公差为d，由题意得，，解得，∴an=n，且，∴Sn=1+，令Tn=S2n﹣Sn=，则，即＞=0∴Tn+1＞Tn，则Tn随着n的增大而增大，即Tn在n=1处取最小值，∴T1=S2﹣S1=，∵对一切n∈N*，恒有成立，∴即可，解得m＜8，故m能取到的最大正整数是7．故选：B2．已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为(　　)A．5    B．6    C．7    D．8【答案】D【解析】由题意，等差数列的前项和为，，，根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式，可得，，则，可求得数列的通项公式为，令，即，解得，又由，可得等差数列中，当时，，当时，，所以使取得最大值时的值为8，故选D.3．等差数列{an}中，，,且，为其前n项之和，则使的最大正整数是（    ）A．198    B．199    C．200    D．201【答案】B【解析】由题意可得：，则，结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质可知：，而，据此可得使的最大正整数是199.本题选择B选项.4．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，2]    B．(－∞，2)    C．(－∞，3]    D．(－∞，3)【答案】D【解析】∵数列{an}中，且{an}单调递增∴an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）=2n+1﹣k＞0对于n∈N*恒成立∴k＜2n+1对于n∈N*恒成立，即k＜3故选：D．5．巳知集合P={}，Q={}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}，记为数列{}的前n项和，则使得<1000成立的的最大值为A．9    B．32    C．35    D．61【答案】C【解析】数列{an}的前n项依次为：1，2，3，22，5，7，23，……．利用列举法可得：当n=35时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，所以数列{an}的前35项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…，69，2，4，8，16，32，64Sn=29+ +=29+=967<1000当n=36时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，所以数列{an}的前36项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…，71，2，4，8，16，32，64Sn=30++=900+126=1026>1000所以n的最大值35.故选：C6．数列满足，且，若，则的最小值为        (    )A．3    B．4    C．5    D．6【答案】C【解析】∵，即，∴数列{2nan}为公差是1的等差数列，又a1=1，∴21a1=2，即其首项为2，∴2nan=2+（n﹣1）×1=n+1，∴an=．∴a1=1，a2=，a3=，a4=＞，a5==＜=，∴若，则n的最小值为5，故选：C．7．对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列具有性质P（t），若数列的通项公式为，且具有性质P（t），则t的最大值为A．6    B．3    C．2    D．1【答案】A【解析】由题意可得：对任意的恒成立，，且具有性质P（t），则恒成立，即恒成立，据此可知数列是递增数列或常数列，据此可得：，整理可得：恒成立，由于，故，故，t的最大值为6.本题选择A选项.8．在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为　　A．第5项    B．第6项    C．第7项    D．第8项【答案】B【解析】数列中，，，得到：，，，，上边个式子相加得：，解得：．当时，首项符合通项．故：．数列满足，则，由于，故：，解得：，由于是正整数，故．故选B．9．已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为（   ）A．3    B．4    C．5    D．6【答案】B【解析】由题意，数列满足，则当时，，两式相减可得，所以，又由，所以，即，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，所以，又由，即，即，即对任意的正整数恒成立，即对任意的正整数恒成立，设，则，所以，当时，求得最大值，此时最大值为，所以，即，所以的最大整数为4，故选B.10．（题文）已知各项均为正数的递增数列的前项和为满足， ，若成等差数列，则的最大值为A．    B．C．    D．【答案】D【解析】由题，则，作差得，，，由成等差数列，可得，分离化简得，故，，选D.11．已知数列的首项，且满足，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】由题意时， ，由，即，∴且，，，其中最小项为，，其中最大项为，因此．故选C．  二、填空题12．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为_______.【答案】6【解析】数列为正项的递增等比数列，，a2•a4=81=a1a5，即解得，则公比，∴，则 ，∴，即，得，此时正整数的最大值为6.故答案为6.13．已知数列的通项公式为，请写出一个能说明“若为递增数列，则”是假命题的的值_____________【答案】内任意一个数均可【解析】由题意，数列的通项公式为，若为递增数列，则恒成立，即恒成立，所以实数，所以“若为递增数列，则”是假命题的的值可取.14．已知n∈N*,，，，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若 对任意的n∈N*恒成立，则实数的最大值是______．【答案】【解析】设，即∴∴即，由与图象可知：在第一象限n取正整数时，仅有n=3时，即∴，即实数的最大值是故答案为：15．若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】钝角三角形内角的度数成等差数列，则 ，可设三个角分别为，故 ，又，令，且 ，则 ，在 上是增函数，，故答案为. 16．已知数列的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由,令,得；当n⩾2时,， 若n为偶数,则,∴(n为正奇数)；若n为奇数,则∴(n为正偶数).函数 (n为正奇数)为减函数,最大值为，函数 (n为正偶数)为增函数,最小值为，若恒成立，则,即.故答案为：.17．已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，若恒成立，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，．可得，由，解得，又，由，可得，当时，，又，两式相减可得，即有，由.可得，又.正项数列为首项为2，公差为2的等差数列，可得；，设，，可得，即有，为最大项．若恒成立，可得，故答案为：．18．在等比数列中，已知，若，则的最小值是______．【答案】12【解析】在等比数列中，，，化为：．若，则，当且仅当时取等号．若，则，与矛盾，不合题意综上可得，的最小值是，故答案为12．19．已知数列，令，则称为的“伴随数列”，若数列的“伴随数列”的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，则实数取值范围为__________．【答案】【解析】由题意得,所以, 相减得-，所以,也满足. 因此数列的前项和为 , 20．数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．【答案】或【解析】当时，恒成立，当时：当数列的公差时，即，据此可得，则，当数列的公差时，由题意有：，，两式作差可得：，整理可得：，即：，①则，②②-①整理可得：恒成立，由于，故，据此可得：，综上可得：的值为或.21．等差数列中，已知，，则的取值范围是______。【答案】【解析】依题意有，目标函数为，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为，没有最小值，故取值范围为.22．已知首项为2的正项数列{}的前n项和为，且当n≥2时，3－2＝－3．若≤m恒成立，则实数m的取值范围为_______________．【答案】【解析】由题意可得：，两式相减可得：，因式分解可得：，由与数列为正项数列，所以，故数列为以2为首项，3为公差的等差数列，所以，所以恒成立，即其最大值小于等于m.由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当n较大时，函数值越来越小，n较小时存在最大值，经代入验证，当时有最大值，所以.23．设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，,若为数列中的项，则所有的正整数的取值集合为_________．【答案】【解析】由得：，由得：， 联立解得，所以，，令，得到，所以为偶数且且为奇数，故或，进而得到或，当时，n不为整数，舍去，故.24．已知数列满足,是其前项和，若，（其中），则的最小值是_________________.【答案】【解析】根据题意，由已知得：，
把以上各式相加得：，
即：，，
则即的最小值是，
故答案为：．25．已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】要使函数在时单调递减，，解得，要使函数在单调递减，则必须满足，解得，又函数在时，单调递减，则，解得，故实数的取值范围是，故答案为.26．已知数列的前项和为，满足，且对任意都有，函数，方程的根从小到大组成数列，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】∵，∴，∴，整理得．又,，∴．∵，∴．设，则，∴．∵，∴，即方程在内有且仅有一个实数根，∴．∴．当时，；当时，．综上可得的取值范围是．27．设为数列的前项和,已知,对任意 ,都有,则 的最小值为__________．【答案】30【解析】：当时，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴，，∴当且仅当即时，等号成立， 三、解答题28．已知数列的前n项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为，，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数m的最大值．【解析】（Ⅰ）∵        ①∴    ②∴②－①得∴，即，∴成等比数列，公比为2．∴．（Ⅱ）由题意得，，∴成等差数列，公差为．首项，∴，，当时，，当时，成立，∴．∴，令，只需．∴            ③        ④③－④得，∴．∵．∴为递增数列，且，∴．∴，实数m的最大值为4．29．已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=（n∈N*）（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{nan}是等比数列，并求数列{an}的通项an；（Ⅱ）求数列{n2an}的前n项和Tn；（Ⅲ）对任意n∈N*，使得 恒成立，求实数λ的最小值．【解析】（Ⅰ）[证明]：由a1+2a2+3a3+…+nan=，得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=（n≥2），①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{nan}是等比数列，又a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=，得a2=1，则2a2=2，∴，∴（n≥2），∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴Tn=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n﹣2，则，两式作差得：，得：；（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，即对任意n∈N*恒成立．当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．30．已知数列的前n项和为, 其中，数列满足. (1)求数列的通项公式;(2)令，数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数k的最小值.【解析】（1）由可得，两式相减得: ，又由可得， 数列是首项为2，公比为4的等比数列，从而， 于是. （2）由（1）知， 于是 ，   依题意对一切恒成立， 令，则  由于易知，即有， ∴只需，     从而所求k的最小值为.31．公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列的前n项和为，且满足．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ令，数列的前n项和为，求的取值范围．【解析】Ⅰ依题意，等差数列的公差，，，成等比数列，，即，整理得：，即，又等差数列的前10项和为100，，即，整理得：，，；，，即，当时，，即，数列是首项为1、公比为2的等比数列，；Ⅱ由可知，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，则，，，，，，记，则，故数列随着n的增大而减小，又，，．