高中人教A版 (2019)1.1 集合的概念精品课时训练

1.3  集合的基本运算

【知识点梳理】

知识点一：集合的运算

1.并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}

Venn图表示：

知识点诠释：

（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．

（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).

2.交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：

知识点诠释：

（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．

（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．

（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.

3.补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：

知识点诠释：

（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．

（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．

（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．

4.集合基本运算的一些结论

，

若A∩B=A，则，反之也成立

若A∪B=B，则，反之也成立

若x(A∩B)，则xA且xB

若x(A∪B)，则xA，或xB

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.

【题型归纳目录】

题型一：集合的交集运算

题型二：并集运算

题型三：补集运算

题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算

题型五：已知集合的交集、并集求参数

题型六：韦恩图在集合运算中的应用

【典型例题】

题型一：集合的交集运算

例1.（2022·云南文山·高二期末（文））已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

例2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））设集合，则（       ）

A． B． C． D．

例3．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

例4．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知集合，，，，则的元素个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

例5．（2022·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校高一阶段练习）若集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【技巧总结】

求集合A∩B的步骤与注意点

(1)步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素;

②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式;

③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可(相同元素只写一个).

(2)注意:若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示.

题型二：并集运算

例6.（2022·云南德宏·高一期末）已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

例7．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知集合，，则（       ）

A． B． C．  D．

例8．（2022·安徽省六安中学高一期中）对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：且．如果，则（       ）

A． B．或

C．或 D．或

例9．（2018·全国·高一课时练习）当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”，若集合的孤星集为，集合的孤星集为，则(　　)

A． B．

C． D．

【技巧总结】

求集合并集的两个方法

(1)若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集.

(2)若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得.

题型三：补集运算

例10．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习（理））已知集合，集合，则（       ）

A． B． C． D．

例11．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）设集合，则（       ）

A． B． C． D．

例12．（2022·四川甘孜·高一期末）已知集合，，，则（       ）

A．{6，8} B．{2，3，6，8} C．{2} D．{2，6，8}

例13．（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知全集，集合，，则（       ）

A．{1，2，3，4} B．{1，2，4，5} C．{1，4} D．{2}

【技巧总结】

补集的求解步骤及方法

(1)步骤:①确定全集:在进行补集的简单运算时，应首先明确全集;

②紧扣定义求解补集.

(2)方法:①借助Venn图或数轴求解;

②借助补集性质求解.

题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算

例14.（多选题）（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）图中的阴影表示的集合是（       ）

A． B．

C． D．

例15．（2022·天津·油田三中高一阶段练习）已知全集，，，则______．

例16．（2022·陕西·西安高级中学高一阶段练习）若{|是小于9的正整数}，{|是奇数}，{|是3的倍数}，则______

例17．（2022·北京市十一学校高一期中）设集合，则________.

例18．（2020·内蒙古·包头市第四中学高一期中）已知全集U=R，，，P={x|x≤0或}，求

(1)

(2)

【技巧总结】

求解与不等式有关的集合问题的方法

解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.

题型五：已知集合的交集、并集求参数

例19．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.

(1)求A∪B，；

(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.

例20．（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）已知集合，.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围.

例21．（2022·福建省德化第一中学高一阶段练习）设全集，集合

(1)求；

(2)若集合，且，求a的取值范围．

例22．（2022·江苏省江阴市第一中学高一期中）已知集合，，且.

(1)求集合的所有非空子集；

(2)求实数的值组成的集合.

例23．（2022·辽宁·大连市第十五中学高一阶段练习）已知集合，，若，求实数的取值集合.

例24．（2022·湖南·高一课时练习）设R为全集，，，且，求的取值范围．

例25．（2022·浙江湖州·高一期末）已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若，求实数m的取值范围．

例26．（2022·广西·高一阶段练习）设全集，，且，求实数p的值．

【技巧总结】

利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点

(1)方法:利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B，

A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B.

(2)关注点:当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解.

题型六：韦恩图在集合运算中的应用

例27．（2022·江苏·徐州市第七中学高一期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人?只参加游泳一项比赛的有___________人?

例28．（2022·湖南·高一课时练习）市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸（日报和晚报）方面的取向，抽样调查了500个市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人．试问：

(1)只订日报不订晚报的有多少人？

(2)只订晚报不订日报的有多少人？

(3)至少订一种报纸的有多少人？

(4)有多少人不订报纸？

例29．（2020·全国·高一课时练习）设全集，若，，，则__________．

【同步练习】

一、单选题

1．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·贵州·凯里一中高一期中）已知且，若集合，，则（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·湖北·模拟预测）非空集合A、B满足，，，则（       ）

A． B．R C．A D．B

4．（2022·江苏省天一中学高二期中）已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））如图，全集，集合，集合，则阴影部分表示集合（       ）

A． B．

C． D．

6．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知集合，则（       ）

A． B．

C． 或 D．

7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合，满足，，全集，则下列说法中不可能正确的有（       ）

A．没有最大元素，有一个最小元素 B．有一个最大元素，没有最小元素

C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．没有最大元素，也没有最小元素

8．（2022·全国·高三专题练习（理））设，，若，则实数的值不可以是（　　）

A．0 B． C． D．2

二、多选题

9．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）集合，且，实数a的值为 （     ）

A．0 B．1 C． D．2

10．（2022·浙江·杭州市富阳区实验中学高二阶段练习）已知集合，则下列结论错误的是（　　）

A． B．

C． D．

11．（2022·湖南·高一课时练习）(多选)已知集合，．若，则实数m的值为（       ）

A．0 B．1

C．3 D．3

12．（2022·全国·高一期末）在整数集中被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，､､､､.则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．“整数､属于同一类”的充要条件是“”

三、填空题

13．（2022·山西运城·高二阶段练习）设集合，若，则实数a的取值范围为____．

14．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）若全集，集合，，则___________.

15．（2022·全国·高一专题练习）某校有17名学生，每人至少参加全国数学､物理､化学三科竞赛中的一科，已知其中参加数学竞赛的有11人，参加物理竞赛的有7人，参加化学竞赛的有9人，同时参加数学和物理竞赛的有4人，同时参加数学和化学竞赛的有5人，同时参加物理和化学竞赛的有3人，则三科竞赛都参加的有___________人.

16．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）设集合，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第位的子集是_________.

四、解答题

17．（2022·湖南·高一课时练习）设，，，求：

(1)，，；

(2)，，．

18．（2022·广西钦州·高一期末）已知全集，，集合．

(1)求；

(2)求．

19．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）已知集合，．

(1)若，求；

(2)若，求实数m的取值范围．

20．（2022·广东惠州·高一期末）已知全集，集合，集合．

(1)若集合中只有一个元素，求的值；

(2)若，求．

21．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则．

(1)若，求出A中其他所有元素；

(2)是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素

22．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合，.

(1)若，求；

(2)若，求a的取值集合.